CoursMathématiques · 1re
Une suite, c'est une liste ordonnée de nombres qui suit une règle. Les suites permettent de modéliser une évolution étape par étape : une population, un capital, une dose de médicament. C'est l'un des premiers grands outils de la spécialité maths.
Le cours
Une suite numérique associe à chaque entier n un nombre noté uₙ (le terme de rang n). On peut la définir de façon explicite (uₙ en fonction de n) ou par récurrence (chaque terme à partir du précédent).
Une suite décrit une évolution discrète, étape par étape.
Suite explicite : uₙ = 2n + 1 (u₀ = 1, u₁ = 3…). Par récurrence : u₀ = 5 et uₙ₊₁ = uₙ + 3.
Une suite est arithmétique si l'on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre, la raison r. Son terme général est uₙ = u₀ + n × r. Elle modélise une évolution à pas constant (une augmentation fixe).
La représentation graphique d'une suite arithmétique est alignée.
u₀ = 5, raison r = 3 : 5, 8, 11, 14… et uₙ = 5 + 3n.
Une suite est géométrique si l'on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre, la raison q. Son terme général est uₙ = u₀ × qⁿ. Elle modélise une évolution en pourcentage (intérêts, croissance).
Augmenter de 5 % chaque année revient à multiplier par 1,05.
u₀ = 1000, raison q = 1,05 (soit +5 % par an) : uₙ = 1000 × 1,05ⁿ.
On étudie comment une suite évolue : elle est croissante si ses termes augmentent, décroissante s'ils diminuent. Certaines suites tendent vers une valeur quand n devient grand. Ces comportements s'analysent à partir de la définition de la suite.
Comprendre l'évolution permet de prévoir le long terme.
La suite géométrique de raison q = 0,5 décroît vers 0 ; celle de raison 2 augmente sans limite.
Ce qu'il faut absolument retenir
Vérifie ta compréhension
Exercice 1Une suite où l'on ajoute toujours le même nombre est dite…
Ajouter toujours la même raison r définit une suite arithmétique (uₙ = u₀ + n·r).
Exercice 2Pour une suite géométrique de premier terme u₀ et de raison q, quel est le terme général ?
Le terme général d'une suite géométrique est uₙ = u₀ × qⁿ.
Exercice 3Augmenter une quantité de 5 % revient à la multiplier par…
+5 % revient à multiplier par 1 + 5/100 = 1,05 (c'est une suite géométrique de raison 1,05).
Exercice 4Une suite arithmétique modélise une évolution à pas constant (une même augmentation à chaque étape).
Vrai : on ajoute la même raison r à chaque étape, donc l'évolution est à pas constant.
Exercice 5Soit la suite u₀ = 5 et uₙ₊₁ = uₙ + 3. Que vaut u₂ ?
u₁ = 5 + 3 = 8, puis u₂ = 8 + 3 = 11.