Le cours
1. Qu'est-ce qu'une suite ?
Une suite numérique associe à chaque entier n un nombre noté uₙ, appelé terme de rang n. On peut la voir comme une liste ordonnée de nombres : u₀, u₁, u₂, u₃… où chaque terme a une position précise.
Il existe deux grandes façons de définir une suite. La définition explicite donne uₙ directement en fonction de n : par exemple uₙ = 2n + 1 permet de calculer n'importe quel terme immédiatement (u₅ = 2×5 + 1 = 11). La définition par récurrence donne le premier terme et une relation pour passer d'un terme au suivant : par exemple u₀ = 3 et uₙ₊₁ = uₙ + 2. Ici, il faut calculer les termes de proche en proche : u₁ = 5, u₂ = 7, u₃ = 9…
Une suite décrit une évolution discrète, étape par étape (contrairement à une fonction continue). On la rencontre partout : évolution d'un capital placé, d'une population, d'une dose de médicament éliminée chaque heure. Comprendre les suites, c'est comprendre comment une quantité évolue par paliers successifs.
Suite explicite : uₙ = 2n + 1 (u₀ = 1, u₁ = 3…). Par récurrence : u₀ = 5 et uₙ₊₁ = uₙ + 3.
2. Les suites arithmétiques
Une suite est arithmétique lorsqu'on passe d'un terme au suivant en AJOUTANT toujours le même nombre, appelé la raison r. Autrement dit : uₙ₊₁ = uₙ + r. La raison peut être positive (la suite croît) ou négative (elle décroît).
Exemple : la suite 5, 8, 11, 14, 17… est arithmétique de raison r = 3 (on ajoute 3 à chaque fois) et de premier terme u₀ = 5. La formule explicite est uₙ = u₀ + n×r, soit ici uₙ = 5 + 3n. On peut ainsi calculer directement u₁₀ = 5 + 3×10 = 35 sans dérouler tous les termes.
Les suites arithmétiques modélisent une évolution à rythme constant : un loyer qui augmente de 20 € par an, un réservoir qui se vide de 5 litres par minute. Pour reconnaître une suite arithmétique, on vérifie que la différence uₙ₊₁ − uₙ est toujours la même. Retenir la formule de la somme des termes consécutifs est aussi très utile : la somme de termes régulièrement espacés vaut le nombre de termes multiplié par la moyenne du premier et du dernier.
u₀ = 5, raison r = 3 : 5, 8, 11, 14… et uₙ = 5 + 3n.
3. Les suites géométriques
Une suite est géométrique lorsqu'on passe d'un terme au suivant en MULTIPLIANT toujours par le même nombre, appelé la raison q. Autrement dit : uₙ₊₁ = uₙ × q. C'est le modèle des évolutions en pourcentage.
Exemple : la suite 2, 6, 18, 54, 162… est géométrique de raison q = 3 (on multiplie par 3 à chaque fois) et de premier terme u₀ = 2. La formule explicite est uₙ = u₀ × qⁿ, soit ici uₙ = 2 × 3ⁿ. Ainsi u₄ = 2 × 3⁴ = 2 × 81 = 162.
Les suites géométriques sont essentielles en économie et en finance : un capital de 1000 € placé à 4 % par an est multiplié chaque année par 1,04, donc suit une suite géométrique de raison 1,04. Attention à ne pas confondre : une hausse de 4 % correspond à une multiplication par 1,04 (et non par 0,04). Si q > 1 la suite croît de plus en plus vite (croissance exponentielle) ; si 0 < q < 1 elle décroît vers 0. Reconnaître une suite géométrique : le quotient uₙ₊₁ / uₙ est toujours constant.
u₀ = 1000, raison q = 1,05 (soit +5 % par an) : uₙ = 1000 × 1,05ⁿ.
4. Sens de variation et limite
Étudier le sens de variation d'une suite, c'est déterminer si elle croît, décroît, ou ni l'un ni l'autre. La méthode la plus simple consiste à étudier le signe de la différence uₙ₊₁ − uₙ : si elle est toujours positive, la suite est croissante ; toujours négative, elle est décroissante.
Pour une suite arithmétique, tout dépend du signe de la raison : r > 0 donne une suite croissante, r < 0 une suite décroissante. Pour une suite géométrique à termes positifs, tout dépend de la raison q : si q > 1 la suite croît, si 0 < q < 1 elle décroît.
La notion de limite décrit le comportement de la suite quand n devient très grand. Certaines suites tendent vers une valeur fixe (elles convergent), d'autres croissent sans limite (elles divergent vers +∞). Par exemple, une suite géométrique de raison 0,5 (chaque terme est la moitié du précédent) se rapproche de plus en plus de 0. Cette idée, abordée intuitivement en Première, sera formalisée rigoureusement dans le supérieur : c'est l'une des bases de l'analyse.
La suite géométrique de raison q = 0,5 décroît vers 0 ; celle de raison 2 augmente sans limite.
Pour approfondir ce chapitrefacultatif
Définitions clés
- Suite numérique
- Une liste ordonnée de nombres (u₀, u₁, u₂…), où chaque terme est repéré par son indice n.
- Suite arithmétique
- Une suite où l'on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre, la raison r : uₙ₊₁ = uₙ + r.
- Suite géométrique
- Une suite où l'on passe d'un terme au suivant en multipliant par un même nombre, la raison q : uₙ₊₁ = uₙ × q.
- Terme général
- La formule qui donne uₙ directement en fonction de n, sans calculer les termes précédents.
Explications détaillées
Suites arithmétiques : une addition répétée
Dans une suite arithmétique, on ajoute toujours la même raison r. Le terme général se calcule directement : uₙ = u₀ + n × r.
Exemple : si u₀ = 3 et r = 2, alors u₅ = 3 + 5 × 2 = 13. Les suites arithmétiques modélisent des évolutions « à pas constant » (un salaire augmentant d'un montant fixe chaque année).
Suites géométriques : une multiplication répétée
Dans une suite géométrique, on multiplie toujours par la même raison q. Le terme général est : uₙ = u₀ × qⁿ.
Exemple : si u₀ = 2 et q = 3, alors u₄ = 2 × 3⁴ = 2 × 81 = 162. Les suites géométriques modélisent des évolutions « à pourcentage constant » (un capital augmentant de 5 % par an).
Méthode pas à pas
Reconnaître la nature d'une suite
- Calculer la différence entre termes consécutifs : si elle est constante → arithmétique (raison r).
- Sinon, calculer le quotient entre termes consécutifs : s'il est constant → géométrique (raison q).
- Écrire le terme général adapté : u₀ + n·r ou u₀ × qⁿ.
- Vérifier sur un ou deux termes connus.
Exemple corrigé pas à pas
Calculer un terme d'une suite géométrique
Une suite géométrique a pour premier terme u₀ = 5 et pour raison q = 2. Calculer u₆.
- Terme général d'une suite géométrique : uₙ = u₀ × qⁿ.
- On remplace : u₆ = 5 × 2⁶.
- 2⁶ = 64.
- u₆ = 5 × 64 = 320.
Erreurs fréquentes à éviter
- Confondre suite arithmétique et géométrique.Arithmétique : on AJOUTE la raison ; géométrique : on MULTIPLIE par la raison.
- Se tromper d'indice dans le terme général.Avec u₀ comme premier terme, uₙ = u₀ + n·r (et non (n−1)·r) : il faut être cohérent avec le premier indice.
- Additionner la raison dans une suite géométrique.Dans une suite géométrique, on multiplie par q à chaque étape, on n'ajoute pas.
Pour aller plus loin
Les suites, pour modéliser le temps
Les suites décrivent des évolutions étape par étape : intérêts bancaires, croissance d'une population, propagation d'une rumeur. Les suites géométriques, en particulier, révèlent la puissance de la croissance « exponentielle ». En Terminale, l'étude des limites de suites permettra de prévoir leur comportement à très long terme.
Ce qu'il faut absolument retenir
Ce qu'il faut absolument retenir
- Une suite associe à chaque entier n un terme uₙ ; elle peut être définie explicitement ou par récurrence.
- Suite arithmétique : on ajoute toujours la raison r ; terme général uₙ = u₀ + n·r (évolution à pas constant).
- Suite géométrique : on multiplie toujours par la raison q ; terme général uₙ = u₀·qⁿ (évolution en pourcentage).
- Augmenter de t % revient à multiplier par (1 + t/100) ; diminuer de t % par (1 − t/100).
- Une suite peut être croissante, décroissante, et parfois tendre vers une valeur quand n devient grand.
Vérifie ta compréhension
Exercice 1Une suite où l'on ajoute toujours le même nombre est dite…
Ajouter toujours la même raison r définit une suite arithmétique (uₙ = u₀ + n·r).
Exercice 2Pour une suite géométrique de premier terme u₀ et de raison q, quel est le terme général ?
Le terme général d'une suite géométrique est uₙ = u₀ × qⁿ.
Exercice 3Augmenter une quantité de 5 % revient à la multiplier par…
+5 % revient à multiplier par 1 + 5/100 = 1,05 (c'est une suite géométrique de raison 1,05).
Exercice 4Une suite arithmétique modélise une évolution à pas constant (une même augmentation à chaque étape).
Vrai : on ajoute la même raison r à chaque étape, donc l'évolution est à pas constant.
Exercice 5Soit la suite u₀ = 5 et uₙ₊₁ = uₙ + 3. Que vaut u₂ ?
u₁ = 5 + 3 = 8, puis u₂ = 8 + 3 = 11.
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