Le cours
1. La fonction polynôme du second degré
Un polynôme du second degré (ou trinôme) s'écrit sous la forme f(x) = ax² + bx + c, où a, b, c sont des nombres réels et a ≠ 0 (sinon il n'y aurait pas de terme en x², et le degré serait 1). Le coefficient a est déterminant : il commande la forme de la courbe.
La représentation graphique d'un trinôme est une parabole. Si a > 0, la parabole est tournée vers le haut (en forme de vallée, avec un minimum) ; si a < 0, elle est tournée vers le bas (en forme de colline, avec un maximum). Le sommet de la parabole est un point remarquable : c'est là que la fonction atteint son extremum.
Exemple : f(x) = x² − 4x + 3 a pour coefficients a = 1, b = −4, c = 3. Comme a > 0, sa parabole est tournée vers le haut. Le trinôme est un objet central en mathématiques et en physique (trajectoire d'un projectile, optimisation), d'où l'importance de bien le maîtriser dès la Première.
f(x) = x² − 4x + 3 est une fonction du second degré (a = 1 > 0, parabole en U).
2. Forme canonique et sommet
Au-delà de la forme développée ax² + bx + c, tout trinôme peut s'écrire sous forme canonique, qui met en évidence le sommet de la parabole. Cette forme s'écrit a(x − α)² + β, où le point de coordonnées (α ; β) est précisément le sommet.
L'abscisse du sommet se calcule par α = −b / (2a), et l'ordonnée β s'obtient en calculant f(α). Le sommet donne l'extremum de la fonction : un minimum si a > 0, un maximum si a < 0. C'est l'information clé pour tout problème d'optimisation.
Exemple : pour f(x) = x² − 4x + 3, on a α = −(−4)/(2×1) = 2, puis β = f(2) = 4 − 8 + 3 = −1. Le sommet est donc le point (2 ; −1), et comme a > 0, c'est un minimum : la fonction ne descend jamais en dessous de −1. Ce raisonnement — trouver le sommet pour optimiser — se retrouve directement en économie (maximiser un profit, minimiser un coût), ce qui explique son importance dans la suite des études.
Le sommet d'une parabole donne directement la valeur optimale (max ou min) de la fonction.
3. Le discriminant et les racines
Résoudre l'équation ax² + bx + c = 0, c'est chercher les valeurs de x qui annulent le trinôme : ce sont les racines. La méthode repose sur le calcul du discriminant, noté Δ (delta), défini par Δ = b² − 4ac. Son signe indique le nombre de solutions.
Trois cas se présentent. Si Δ > 0, l'équation a deux racines distinctes, données par x = (−b ± √Δ) / (2a). Si Δ = 0, il y a une seule racine (dite double), x = −b / (2a). Si Δ < 0, l'équation n'a aucune solution réelle.
Exemple : pour x² − 5x + 6 = 0, on a a = 1, b = −5, c = 6, donc Δ = (−5)² − 4×1×6 = 25 − 24 = 1. Comme Δ > 0, il y a deux racines : x = (5 + 1)/2 = 3 et x = (5 − 1)/2 = 2. On peut vérifier : 3 et 2 annulent bien le trinôme. Cette méthode, systématique et fiable, est un outil de base réutilisé en physique, en économie et dans tout le supérieur scientifique.
Pour x² − 4x + 3 : Δ = 16 − 12 = 4 > 0 → deux racines (x = 1 et x = 3).
4. Le signe du trinôme
Connaître le signe d'un trinôme ax² + bx + c selon les valeurs de x est essentiel, notamment pour résoudre des inéquations. La règle se retient simplement : le trinôme est du signe de a partout, SAUF entre les racines (lorsqu'elles existent), où il est du signe opposé.
Concrètement, si Δ > 0 et que les racines sont x₁ et x₂ (avec x₁ < x₂) : à l'extérieur de l'intervalle [x₁ ; x₂], le trinôme a le signe de a ; à l'intérieur, il a le signe contraire. Si Δ = 0, le trinôme est du signe de a partout sauf en la racine où il s'annule. Si Δ < 0, le trinôme garde le signe de a pour toute valeur de x.
Exemple : pour x² − 5x + 6 (racines 2 et 3, a = 1 > 0), le trinôme est positif avant 2 et après 3, et négatif entre 2 et 3. Résoudre x² − 5x + 6 < 0 revient donc à trouver l'intervalle ]2 ; 3[. Cette lecture du signe est constamment mobilisée pour étudier des fonctions et résoudre des problèmes.
x² − 4x + 3 (a > 0) est positif hors de [1 ; 3] et négatif entre 1 et 3.
Pour approfondir ce chapitrefacultatif
Définitions clés
- Fonction polynôme du second degré
- Une fonction de la forme f(x) = ax² + bx + c, avec a ≠ 0.
- Discriminant
- Le nombre Δ = b² − 4ac. Son signe indique le nombre de solutions de l'équation ax² + bx + c = 0.
- Racines
- Les solutions de l'équation ax² + bx + c = 0 (les valeurs de x qui l'annulent).
- Parabole
- La courbe représentative d'une fonction du second degré ; elle est tournée vers le haut si a > 0, vers le bas si a < 0.
Explications détaillées
Le rôle du discriminant
Le discriminant Δ = b² − 4ac détermine le nombre de racines :
— si Δ > 0 : deux racines distinctes, x = (−b ± √Δ) / (2a) ; — si Δ = 0 : une racine double, x = −b / (2a) ; — si Δ < 0 : aucune racine réelle.
Calculer Δ est donc la première étape pour résoudre une équation du second degré.
De l'équation à la parabole
Les racines correspondent aux points où la parabole coupe l'axe des abscisses. Si Δ < 0, la parabole ne touche pas cet axe.
La parabole possède aussi un sommet (son extremum) : c'est le point le plus bas si a > 0, le plus haut si a < 0. Cette propriété est très utile pour les problèmes d'optimisation (aire maximale, coût minimal…).
Méthode pas à pas
Résoudre une équation du second degré
- Identifier les coefficients a, b et c.
- Calculer le discriminant Δ = b² − 4ac.
- Étudier le signe de Δ (positif, nul ou négatif).
- Appliquer la formule des racines correspondante, ou conclure qu'il n'y a pas de solution réelle.
Exemple corrigé pas à pas
Résoudre x² − 5x + 6 = 0
Résoudre l'équation x² − 5x + 6 = 0.
- Coefficients : a = 1, b = −5, c = 6.
- Discriminant : Δ = (−5)² − 4 × 1 × 6 = 25 − 24 = 1.
- Δ > 0 : deux racines, x = (5 ± √1) / 2.
- x = (5 + 1)/2 = 3 ou x = (5 − 1)/2 = 2. Les solutions sont 2 et 3.
Erreurs fréquentes à éviter
- Se tromper de signe en calculant Δ (surtout avec b négatif).b² est toujours positif : (−5)² = 25. On applique ensuite Δ = b² − 4ac avec soin.
- Oublier le dénominateur 2a dans la formule des racines.La formule est x = (−b ± √Δ) / (2a) : le 2a est indispensable.
- Chercher des racines quand Δ < 0.Si Δ < 0, l'équation n'a aucune solution réelle : la parabole ne coupe pas l'axe des abscisses.
Pour aller plus loin
Le second degré dans le monde réel
Les fonctions du second degré modélisent d'innombrables situations : la trajectoire d'un ballon (une parabole), l'aire à maximiser d'un enclos, le profit optimal d'une entreprise. Rechercher le sommet d'une parabole, c'est résoudre un problème d'optimisation — l'une des applications les plus utiles des mathématiques.
Ce qu'il faut absolument retenir
Ce qu'il faut absolument retenir
- Fonction du second degré : f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0), courbe = parabole (U si a > 0, ∩ si a < 0).
- La forme canonique fait apparaître le sommet (extremum) ; utile pour l'optimisation.
- Discriminant Δ = b² − 4ac : Δ > 0 → deux racines, Δ = 0 → une, Δ < 0 → aucune racine réelle.
- Les racines sont les points où la parabole croise l'axe des abscisses.
- Signe du trinôme : du signe de a à l'extérieur des racines, du signe opposé entre les racines.
Vérifie ta compréhension
Exercice 1Quelle est la formule du discriminant pour ax² + bx + c ?
Le discriminant est Δ = b² − 4ac.
Exercice 2Si le discriminant Δ est strictement négatif, combien l'équation a-t-elle de solutions réelles ?
Si Δ < 0, il n'y a aucune solution réelle (la parabole ne croise pas l'axe des abscisses).
Exercice 3Pour x² − 4x + 3, le discriminant vaut Δ = 4. Combien y a-t-il de racines ?
Δ = 4 > 0, donc il y a deux racines (ici x = 1 et x = 3).
Exercice 4Si a > 0, la parabole de f(x) = ax² + bx + c est tournée vers le haut (en forme de U).
Vrai : si a > 0, la parabole est tournée vers le haut ; si a < 0, vers le bas.
Exercice 5Décris la méthode pour résoudre une équation du second degré ax² + bx + c = 0.
On calcule le discriminant Δ = b² − 4ac. Si Δ > 0, il y a deux racines ; si Δ = 0, une racine double ; si Δ < 0, aucune racine réelle. On utilise ensuite les formules des racines pour les déterminer.
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