CoursMathématiques · 1re
Les fonctions du second degré (les paraboles) sont partout : trajectoire d'un ballon, optimisation d'une aire, calculs de bénéfice. Savoir les étudier et résoudre une équation du second degré est une compétence centrale de la première.
Le cours
Une fonction du second degré s'écrit f(x) = ax² + bx + c (avec a ≠ 0). Sa courbe est une parabole. Si a > 0, elle est tournée vers le haut (en U) ; si a < 0, vers le bas. Elle possède un sommet, qui est un extremum.
C'est la fonction de référence pour modéliser de nombreux phénomènes.
f(x) = x² − 4x + 3 est une fonction du second degré (a = 1 > 0, parabole en U).
Toute fonction du second degré peut s'écrire sous forme canonique, qui fait apparaître les coordonnées du sommet de la parabole. Le sommet donne le maximum ou le minimum de la fonction.
La forme canonique est utile pour les problèmes d'optimisation.
Le sommet d'une parabole donne directement la valeur optimale (max ou min) de la fonction.
Pour résoudre ax² + bx + c = 0, on calcule le discriminant Δ = b² − 4ac. Si Δ > 0, il y a deux solutions (racines) ; si Δ = 0, une seule ; si Δ < 0, aucune solution réelle. Les racines sont les points où la parabole croise l'axe des abscisses.
Le signe de Δ détermine le nombre de solutions.
Pour x² − 4x + 3 : Δ = 16 − 12 = 4 > 0 → deux racines (x = 1 et x = 3).
Le signe de ax² + bx + c dépend de a et des racines. Règle clé : le trinôme est du signe de a à l'extérieur des racines, et du signe contraire entre les racines. S'il n'y a pas de racine, il garde partout le signe de a.
Cela sert à résoudre des inéquations du second degré.
x² − 4x + 3 (a > 0) est positif hors de [1 ; 3] et négatif entre 1 et 3.
Ce qu'il faut absolument retenir
Vérifie ta compréhension
Exercice 1Quelle est la formule du discriminant pour ax² + bx + c ?
Le discriminant est Δ = b² − 4ac.
Exercice 2Si le discriminant Δ est strictement négatif, combien l'équation a-t-elle de solutions réelles ?
Si Δ < 0, il n'y a aucune solution réelle (la parabole ne croise pas l'axe des abscisses).
Exercice 3Pour x² − 4x + 3, le discriminant vaut Δ = 4. Combien y a-t-il de racines ?
Δ = 4 > 0, donc il y a deux racines (ici x = 1 et x = 3).
Exercice 4Si a > 0, la parabole de f(x) = ax² + bx + c est tournée vers le haut (en forme de U).
Vrai : si a > 0, la parabole est tournée vers le haut ; si a < 0, vers le bas.
Exercice 5Décris la méthode pour résoudre une équation du second degré ax² + bx + c = 0.
On calcule le discriminant Δ = b² − 4ac. Si Δ > 0, il y a deux racines ; si Δ = 0, une racine double ; si Δ < 0, aucune racine réelle. On utilise ensuite les formules des racines pour les déterminer.