Le cours
1. Qu'est-ce qu'une suite ?
Une suite numérique associe à chaque entier n un nombre noté uₙ (le terme de rang n). On peut la définir de façon explicite (uₙ en fonction de n) ou par récurrence (chaque terme à partir du précédent).
Une suite décrit une évolution discrète, étape par étape.
Suite explicite : uₙ = 2n + 1 (u₀ = 1, u₁ = 3…). Par récurrence : u₀ = 5 et uₙ₊₁ = uₙ + 3.
2. Les suites arithmétiques
Une suite est arithmétique si l'on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre, la raison r. Son terme général est uₙ = u₀ + n × r. Elle modélise une évolution à pas constant (une augmentation fixe).
La représentation graphique d'une suite arithmétique est alignée.
u₀ = 5, raison r = 3 : 5, 8, 11, 14… et uₙ = 5 + 3n.
3. Les suites géométriques
Une suite est géométrique si l'on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre, la raison q. Son terme général est uₙ = u₀ × qⁿ. Elle modélise une évolution en pourcentage (intérêts, croissance).
Augmenter de 5 % chaque année revient à multiplier par 1,05.
u₀ = 1000, raison q = 1,05 (soit +5 % par an) : uₙ = 1000 × 1,05ⁿ.
4. Sens de variation et limite
On étudie comment une suite évolue : elle est croissante si ses termes augmentent, décroissante s'ils diminuent. Certaines suites tendent vers une valeur quand n devient grand. Ces comportements s'analysent à partir de la définition de la suite.
Comprendre l'évolution permet de prévoir le long terme.
La suite géométrique de raison q = 0,5 décroît vers 0 ; celle de raison 2 augmente sans limite.
Pour approfondir ce chapitrefacultatif
Définitions clés
- Suite numérique
- Une liste ordonnée de nombres (u₀, u₁, u₂…), où chaque terme est repéré par son indice n.
- Suite arithmétique
- Une suite où l'on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre, la raison r : uₙ₊₁ = uₙ + r.
- Suite géométrique
- Une suite où l'on passe d'un terme au suivant en multipliant par un même nombre, la raison q : uₙ₊₁ = uₙ × q.
- Terme général
- La formule qui donne uₙ directement en fonction de n, sans calculer les termes précédents.
Explications détaillées
Suites arithmétiques : une addition répétée
Dans une suite arithmétique, on ajoute toujours la même raison r. Le terme général se calcule directement : uₙ = u₀ + n × r.
Exemple : si u₀ = 3 et r = 2, alors u₅ = 3 + 5 × 2 = 13. Les suites arithmétiques modélisent des évolutions « à pas constant » (un salaire augmentant d'un montant fixe chaque année).
Suites géométriques : une multiplication répétée
Dans une suite géométrique, on multiplie toujours par la même raison q. Le terme général est : uₙ = u₀ × qⁿ.
Exemple : si u₀ = 2 et q = 3, alors u₄ = 2 × 3⁴ = 2 × 81 = 162. Les suites géométriques modélisent des évolutions « à pourcentage constant » (un capital augmentant de 5 % par an).
Méthode pas à pas
Reconnaître la nature d'une suite
- Calculer la différence entre termes consécutifs : si elle est constante → arithmétique (raison r).
- Sinon, calculer le quotient entre termes consécutifs : s'il est constant → géométrique (raison q).
- Écrire le terme général adapté : u₀ + n·r ou u₀ × qⁿ.
- Vérifier sur un ou deux termes connus.
Exemple corrigé pas à pas
Calculer un terme d'une suite géométrique
Une suite géométrique a pour premier terme u₀ = 5 et pour raison q = 2. Calculer u₆.
- Terme général d'une suite géométrique : uₙ = u₀ × qⁿ.
- On remplace : u₆ = 5 × 2⁶.
- 2⁶ = 64.
- u₆ = 5 × 64 = 320.
Erreurs fréquentes à éviter
- Confondre suite arithmétique et géométrique.Arithmétique : on AJOUTE la raison ; géométrique : on MULTIPLIE par la raison.
- Se tromper d'indice dans le terme général.Avec u₀ comme premier terme, uₙ = u₀ + n·r (et non (n−1)·r) : il faut être cohérent avec le premier indice.
- Additionner la raison dans une suite géométrique.Dans une suite géométrique, on multiplie par q à chaque étape, on n'ajoute pas.
Pour aller plus loin
Les suites, pour modéliser le temps
Les suites décrivent des évolutions étape par étape : intérêts bancaires, croissance d'une population, propagation d'une rumeur. Les suites géométriques, en particulier, révèlent la puissance de la croissance « exponentielle ». En Terminale, l'étude des limites de suites permettra de prévoir leur comportement à très long terme.
Ce qu'il faut absolument retenir
Ce qu'il faut absolument retenir
- Une suite associe à chaque entier n un terme uₙ ; elle peut être définie explicitement ou par récurrence.
- Suite arithmétique : on ajoute toujours la raison r ; terme général uₙ = u₀ + n·r (évolution à pas constant).
- Suite géométrique : on multiplie toujours par la raison q ; terme général uₙ = u₀·qⁿ (évolution en pourcentage).
- Augmenter de t % revient à multiplier par (1 + t/100) ; diminuer de t % par (1 − t/100).
- Une suite peut être croissante, décroissante, et parfois tendre vers une valeur quand n devient grand.
Vérifie ta compréhension
Exercice 1Une suite où l'on ajoute toujours le même nombre est dite…
Ajouter toujours la même raison r définit une suite arithmétique (uₙ = u₀ + n·r).
Exercice 2Pour une suite géométrique de premier terme u₀ et de raison q, quel est le terme général ?
Le terme général d'une suite géométrique est uₙ = u₀ × qⁿ.
Exercice 3Augmenter une quantité de 5 % revient à la multiplier par…
+5 % revient à multiplier par 1 + 5/100 = 1,05 (c'est une suite géométrique de raison 1,05).
Exercice 4Une suite arithmétique modélise une évolution à pas constant (une même augmentation à chaque étape).
Vrai : on ajoute la même raison r à chaque étape, donc l'évolution est à pas constant.
Exercice 5Soit la suite u₀ = 5 et uₙ₊₁ = uₙ + 3. Que vaut u₂ ?
u₁ = 5 + 3 = 8, puis u₂ = 8 + 3 = 11.
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