Le cours
1. La probabilité conditionnelle
Une probabilité conditionnelle mesure la probabilité d'un événement sachant qu'un autre événement s'est déjà réalisé. C'est une idée centrale : l'information dont on dispose modifie souvent la probabilité qu'on attribue à un événement.
On note P(A sachant B), ou P_B(A), la probabilité de A sachant que B est réalisé. Elle se calcule par la formule P_B(A) = P(A ∩ B) / P(B), où P(A ∩ B) est la probabilité que A et B se produisent tous les deux. Autrement dit, on « réduit l'univers » à l'ensemble des cas où B est vrai.
Exemple : dans une classe, on sait qu'un élève est une fille (événement B) et on cherche la probabilité qu'elle soit interne (événement A). On ne considère alors que les filles, et on regarde la proportion d'internes parmi elles. Les probabilités conditionnelles sont essentielles dans tous les domaines où l'on raisonne à partir d'informations partielles : médecine (probabilité d'une maladie sachant un test positif), assurance, intelligence artificielle. C'est une base des statistiques du supérieur.
Probabilité qu'il pleuve, sachant que le ciel est déjà couvert : une probabilité conditionnelle.
2. L'arbre de probabilité
L'arbre pondéré est un outil visuel très efficace pour représenter et calculer des probabilités, surtout lorsqu'il y a plusieurs étapes successives. Chaque branche porte une probabilité, et l'arbre organise clairement toutes les possibilités.
Les règles d'utilisation sont simples et systématiques. Le long d'un chemin (d'une succession de branches), on MULTIPLIE les probabilités pour obtenir la probabilité de ce chemin complet. Pour obtenir la probabilité d'un événement qui correspond à plusieurs chemins, on ADDITIONNE les probabilités de ces chemins. Enfin, la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut toujours 1.
Exemple : une urne, un tirage, puis un second tirage. Chaque niveau de l'arbre représente un tirage, et suivre une branche jusqu'au bout en multipliant donne la probabilité d'un scénario précis. Les arbres pondérés rendent intuitives des situations qui paraîtraient compliquées avec des formules seules. Ils sont abondamment utilisés, et la logique « multiplier le long d'un chemin, additionner les chemins » se retrouve dans tout le calcul des probabilités.
Sur un arbre, la probabilité d'un chemin = produit des probabilités des branches suivies.
3. Événements indépendants
Deux événements sont indépendants lorsque la réalisation de l'un ne change rien à la probabilité de l'autre. C'est une notion clé, qu'il ne faut pas confondre avec l'incompatibilité (deux événements qui ne peuvent pas se produire en même temps).
Mathématiquement, A et B sont indépendants si P(A ∩ B) = P(A) × P(B) : la probabilité qu'ils se produisent tous les deux est simplement le produit de leurs probabilités. De façon équivalente, P_B(A) = P(A) : savoir que B est réalisé n'apporte aucune information sur A.
Exemple : lancer deux dés distincts sont des événements indépendants — le résultat du premier n'influence pas le second. En revanche, tirer deux cartes sans remise dans un jeu ne l'est pas : la première carte modifie la composition du jeu pour la seconde. Reconnaître l'indépendance est crucial, car elle simplifie beaucoup les calculs. Cette notion est fondamentale en statistiques et en probabilités, disciplines omniprésentes dans le supérieur, de l'économie à la psychologie en passant par la biologie.
Deux lancers de dé sont indépendants : le premier n'influence pas le second.
4. Variables aléatoires
Une variable aléatoire associe un nombre à chaque résultat d'une expérience aléatoire. Par exemple, à un jeu de hasard, on peut associer le gain correspondant à chaque issue. Cela permet de raisonner quantitativement sur le hasard.
La loi de probabilité d'une variable aléatoire donne, pour chaque valeur possible, la probabilité qu'elle soit prise. À partir de là, on calcule l'espérance, notée E(X), qui est la moyenne des valeurs pondérées par leurs probabilités : E(X) = Σ (valeur × probabilité). L'espérance représente le gain (ou le résultat) moyen qu'on obtiendrait en répétant l'expérience un très grand nombre de fois.
Exemple : à un jeu, on gagne 10 € avec une probabilité de 0,2 et on perd 3 € avec une probabilité de 0,8. L'espérance de gain est E(X) = 10 × 0,2 + (−3) × 0,8 = 2 − 2,4 = −0,4 €. En moyenne, on perd donc 0,4 € par partie : le jeu est défavorable au joueur. L'espérance est un outil de décision essentiel, utilisé en économie, en finance, en assurance et dans toutes les applications des probabilités. C'est une notion qu'on approfondit largement dans le supérieur.
L'espérance d'un jeu indique le gain moyen attendu sur un grand nombre de parties.
Pour approfondir ce chapitrefacultatif
Définitions clés
- Probabilité conditionnelle
- La probabilité d'un événement B sachant qu'un événement A est réalisé, notée P_A(B) = P(A ∩ B) / P(A).
- Arbre pondéré
- Un schéma en branches où chaque branche porte une probabilité ; il aide à organiser les calculs.
- Événements indépendants
- Deux événements sont indépendants si la réalisation de l'un ne change pas la probabilité de l'autre : P(A ∩ B) = P(A) × P(B).
- Variable aléatoire
- Une grandeur qui associe un nombre à chaque issue d'une expérience aléatoire (par exemple un gain).
Explications détaillées
Conditionner : « sachant que… »
La probabilité conditionnelle P_A(B) répond à la question : « quelle est la probabilité de B, sachant que A s'est produit ? ». Elle se calcule par P_A(B) = P(A ∩ B) / P(A).
Attention : P_A(B) et P_B(A) sont en général différentes. Conditionner, c'est se placer dans un « nouvel univers » réduit à l'événement A.
Arbres pondérés et indépendance
Un arbre pondéré organise les probabilités : on multiplie le long d'un chemin, on additionne entre chemins. C'est un outil visuel très efficace.
Deux événements sont indépendants si P(A ∩ B) = P(A) × P(B) : savoir que l'un s'est produit n'apporte aucune information sur l'autre. À ne pas confondre avec des événements incompatibles (qui ne peuvent pas se produire ensemble).
Méthode pas à pas
Utiliser un arbre pondéré
- Construire l'arbre en plaçant les probabilités sur les branches.
- Pour la probabilité d'un chemin : multiplier les probabilités le long de ce chemin.
- Pour un événement réalisé par plusieurs chemins : additionner les probabilités de ces chemins.
- Vérifier que la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut 1.
Exemple corrigé pas à pas
Une probabilité le long d'un arbre
Une urne : on tire deux boules sans remise. La probabilité de tirer une boule rouge est 1/2, puis, sachant qu'on a tiré rouge, la probabilité de tirer à nouveau rouge est 1/3. Probabilité de deux rouges ?
- Premier tirage rouge : probabilité 1/2.
- Deuxième rouge sachant le premier rouge : probabilité 1/3.
- Le long du chemin « rouge puis rouge », on multiplie : 1/2 × 1/3.
- = 1/6. La probabilité de tirer deux rouges est 1/6.
Erreurs fréquentes à éviter
- Confondre P_A(B) et P_B(A).« La probabilité de B sachant A » n'est pas « la probabilité de A sachant B » : ces deux valeurs diffèrent en général.
- Confondre événements indépendants et incompatibles.Indépendants : l'un n'influence pas l'autre. Incompatibles : ils ne peuvent pas se produire ensemble. Ce n'est pas la même chose.
- Additionner les probabilités le long d'un chemin d'arbre.Le long d'un chemin, on MULTIPLIE ; on additionne seulement entre chemins différents.
Pour aller plus loin
Les probabilités conditionnelles, partout utiles
Le raisonnement conditionnel est essentiel : en médecine (fiabilité d'un test de dépistage), en justice, en intelligence artificielle. Il révèle des pièges d'intuition célèbres, où une probabilité « évidente » se révèle fausse. En Terminale, la loi des probabilités totales et les lois de probabilité prolongeront ces outils au cœur des statistiques modernes.
Ce qu'il faut absolument retenir
Ce qu'il faut absolument retenir
- La probabilité conditionnelle P_B(A) est la probabilité de A sachant que B est réalisé.
- Sur un arbre de probabilité, la probabilité d'un chemin = produit des probabilités des branches suivies.
- Deux événements sont indépendants si l'un n'influe pas sur l'autre ; alors P(A et B) = P(A) × P(B).
- Une variable aléatoire associe un nombre au résultat d'une expérience aléatoire.
- L'espérance d'une variable aléatoire est la valeur moyenne attendue sur un grand nombre de répétitions.
Vérifie ta compréhension
Exercice 1Que représente la probabilité conditionnelle P_B(A) ?
P_B(A) est la probabilité de l'événement A sachant que B est réalisé.
Exercice 2Sur un arbre de probabilité, comment calcule-t-on la probabilité d'un chemin ?
La probabilité d'un chemin s'obtient en multipliant les probabilités le long des branches suivies.
Exercice 3Si A et B sont indépendants, que vaut P(A et B) ?
Pour des événements indépendants, P(A et B) = P(A) × P(B).
Exercice 4L'espérance d'une variable aléatoire représente la valeur moyenne attendue sur un grand nombre de répétitions.
Vrai : l'espérance correspond à la moyenne des valeurs si l'on répétait l'expérience un grand nombre de fois.
Exercice 5Deux lancers d'un dé sont-ils indépendants ? Justifie.
Oui : le résultat du premier lancer n'influence pas le second. Les deux événements sont donc indépendants, et la probabilité d'obtenir deux résultats donnés est le produit de leurs probabilités.
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