CoursMathématiques · 1re
Quand un événement dépend d'un autre, comment calculer sa probabilité ? Les probabilités conditionnelles répondent à cette question essentielle, présente partout : tests médicaux, météo, jeux. Elles affinent notre façon de mesurer le hasard.
Le cours
La probabilité conditionnelle est la probabilité d'un événement A sachant qu'un autre événement B est réalisé. On la note P_B(A) (ou P(A|B)). Elle permet de réviser une probabilité quand on dispose d'une information supplémentaire.
Elle traduit l'idée de « probabilité de A, sachant que B ».
Probabilité qu'il pleuve, sachant que le ciel est déjà couvert : une probabilité conditionnelle.
On représente souvent les situations par un arbre de probabilité : chaque branche porte une probabilité. La probabilité d'un chemin s'obtient en multipliant les probabilités le long des branches.
L'arbre est un outil visuel très efficace pour organiser les calculs.
Sur un arbre, la probabilité d'un chemin = produit des probabilités des branches suivies.
Deux événements sont indépendants si la réalisation de l'un ne change pas la probabilité de l'autre. Dans ce cas, P(A et B) = P(A) × P(B). À l'inverse, des événements dépendants s'influencent mutuellement.
Reconnaître l'indépendance simplifie les calculs.
Deux lancers de dé sont indépendants : le premier n'influence pas le second.
Une variable aléatoire associe un nombre au résultat d'une expérience aléatoire. On peut calculer son espérance, qui représente la valeur moyenne attendue si on répétait l'expérience un grand nombre de fois.
L'espérance est centrale, par exemple pour évaluer un jeu ou un risque.
L'espérance d'un jeu indique le gain moyen attendu sur un grand nombre de parties.
Ce qu'il faut absolument retenir
Vérifie ta compréhension
Exercice 1Que représente la probabilité conditionnelle P_B(A) ?
P_B(A) est la probabilité de l'événement A sachant que B est réalisé.
Exercice 2Sur un arbre de probabilité, comment calcule-t-on la probabilité d'un chemin ?
La probabilité d'un chemin s'obtient en multipliant les probabilités le long des branches suivies.
Exercice 3Si A et B sont indépendants, que vaut P(A et B) ?
Pour des événements indépendants, P(A et B) = P(A) × P(B).
Exercice 4L'espérance d'une variable aléatoire représente la valeur moyenne attendue sur un grand nombre de répétitions.
Vrai : l'espérance correspond à la moyenne des valeurs si l'on répétait l'expérience un grand nombre de fois.
Exercice 5Deux lancers d'un dé sont-ils indépendants ? Justifie.
Oui : le résultat du premier lancer n'influence pas le second. Les deux événements sont donc indépendants, et la probabilité d'obtenir deux résultats donnés est le produit de leurs probabilités.