CoursMathématiques · 1re
Comment mesurer un angle autrement qu'en degrés ? Comment calculer un angle entre deux directions ? La trigonométrie et le produit scalaire donnent des outils puissants pour relier géométrie, angles et calculs, très utilisés en physique.
Le cours
En plus des degrés, on mesure les angles en radians, une unité naturelle liée au cercle. Sur le cercle trigonométrique (de rayon 1), on repère les angles et on définit le cosinus et le sinus d'un angle comme les coordonnées d'un point.
Le radian est l'unité d'angle privilégiée en mathématiques.
Un tour complet vaut 360° ou 2π radians ; un angle droit vaut π/2 radians.
Pour un angle, le cosinus et le sinus sont définis sur le cercle trigonométrique. Ils vérifient la relation fondamentale : cos²(x) + sin²(x) = 1. Ces fonctions sont périodiques (elles se répètent) et servent à décrire des phénomènes qui oscillent.
Elles modélisent tout ce qui est cyclique.
Relation fondamentale : cos²(x) + sin²(x) = 1, valable pour tout angle x.
Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre qui combine leurs longueurs et l'angle entre eux. Il se calcule à partir des coordonnées des vecteurs. Le produit scalaire fait le lien entre les vecteurs et les angles.
C'est un outil central de la géométrie au lycée.
Le produit scalaire de deux vecteurs se calcule simplement à partir de leurs coordonnées.
Une propriété très utile : deux vecteurs sont orthogonaux (perpendiculaires) si et seulement si leur produit scalaire est nul. Le produit scalaire permet ainsi de prouver des perpendicularités, de calculer des angles et des distances.
Il relie le calcul et la géométrie de l'espace.
Deux vecteurs sont perpendiculaires exactement quand leur produit scalaire vaut 0.
Ce qu'il faut absolument retenir
Vérifie ta compréhension
Exercice 1Combien vaut un tour complet en radians ?
Un tour complet vaut 360°, soit 2π radians.
Exercice 2Quelle est la relation fondamentale de la trigonométrie ?
La relation fondamentale est cos²(x) + sin²(x) = 1, valable pour tout angle x.
Exercice 3Deux vecteurs sont perpendiculaires si et seulement si leur produit scalaire est…
Deux vecteurs sont orthogonaux exactement quand leur produit scalaire est nul.
Exercice 4Les fonctions cosinus et sinus sont périodiques.
Vrai : elles se répètent régulièrement, ce qui permet de modéliser des phénomènes qui oscillent.
Exercice 5Comment peut-on utiliser le produit scalaire pour prouver que deux droites sont perpendiculaires ?
On considère un vecteur directeur de chaque droite et on calcule leur produit scalaire. Si ce produit scalaire est nul, alors les vecteurs (et donc les droites) sont perpendiculaires.