Le cours
1. Le radian et le cercle trigonométrique
Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1 centré à l'origine d'un repère. Il sert à définir les fonctions trigonométriques (cosinus et sinus) pour n'importe quel angle, et à mesurer les angles en radians.
Le radian est une unité de mesure d'angle : un tour complet correspond à 2π radians (soit 360°), un demi-tour à π radians (180°), un quart de tour à π/2 radians (90°). Pour un angle donné, on place un point sur le cercle ; son abscisse est le cosinus de l'angle, son ordonnée est le sinus. Ainsi, cosinus et sinus sont toujours compris entre −1 et 1.
Quelques valeurs remarquables sont à connaître : cos(0) = 1 et sin(0) = 0 ; cos(π/2) = 0 et sin(π/2) = 1. Le cercle trigonométrique donne aussi une lecture visuelle des signes et des symétries. La trigonométrie, née de la mesure des triangles et des phénomènes périodiques, est essentielle en physique (ondes, oscillations) et dans de nombreux domaines techniques.
Un tour complet vaut 360° ou 2π radians ; un angle droit vaut π/2 radians.
2. Cosinus et sinus
Les fonctions cosinus et sinus associent à chaque angle un nombre compris entre −1 et 1. Elles sont périodiques : leurs valeurs se répètent tous les 2π (un tour complet), ce qui les rend idéales pour décrire tout ce qui est cyclique.
Ces fonctions possèdent des propriétés de symétrie utiles : le cosinus est une fonction paire (cos(−x) = cos(x)), le sinus est impaire (sin(−x) = −sin(x)). La relation fondamentale de la trigonométrie relie les deux : cos²(x) + sin²(x) = 1, valable pour tout angle x. Elle découle directement du théorème de Pythagore appliqué dans le cercle de rayon 1.
Ces fonctions décrivent les phénomènes périodiques : le mouvement d'un pendule, une onde sonore, un signal électrique alternatif, les marées. En physique et en ingénierie, cosinus et sinus sont omniprésents. Leur étude en Première pose les bases d'outils qu'on retrouve massivement dans le supérieur scientifique, notamment pour l'analyse des signaux et des ondes.
Relation fondamentale : cos²(x) + sin²(x) = 1, valable pour tout angle x.
3. Le produit scalaire
Le produit scalaire est une opération entre deux vecteurs qui donne un nombre (un scalaire), et non un vecteur. Il mesure en quelque sorte à quel point deux vecteurs « pointent dans la même direction », et constitue un outil géométrique très puissant.
Pour deux vecteurs u et v, le produit scalaire se note u·v. Une formule pratique utilise les coordonnées : si u a pour coordonnées (x ; y) et v pour coordonnées (x' ; y'), alors u·v = xx' + yy'. Une autre expression fait intervenir les normes (longueurs) et l'angle entre les vecteurs : u·v = ‖u‖ × ‖v‖ × cos(θ).
Exemple : pour u(3 ; 2) et v(1 ; 4), le produit scalaire vaut 3×1 + 2×4 = 3 + 8 = 11. Le produit scalaire a une conséquence remarquable : deux vecteurs non nuls sont perpendiculaires (orthogonaux) si et seulement si leur produit scalaire est nul. Cet outil, qui unifie calcul et géométrie, est fondamental en physique (travail d'une force) et en mathématiques du supérieur (géométrie, algèbre linéaire).
Le produit scalaire de deux vecteurs se calcule simplement à partir de leurs coordonnées.
4. Orthogonalité et applications
Le produit scalaire et la trigonométrie permettent de résoudre de nombreux problèmes géométriques : calculer des longueurs, des angles, ou démontrer des propriétés de figures.
Une application majeure est le test d'orthogonalité : pour montrer que deux droites ou deux vecteurs sont perpendiculaires, il suffit de vérifier que leur produit scalaire est nul. On peut aussi calculer l'angle entre deux vecteurs en utilisant la formule avec le cosinus, ce qui est très utile en physique et en géométrie. La trigonométrie, de son côté, permet de calculer des longueurs et des angles dans des triangles quelconques.
Ces méthodes montrent comment l'algèbre (les calculs de coordonnées) et la géométrie (les figures) se rejoignent. Cette rencontre entre calcul et géométrie, initiée en Première, se développe considérablement dans le supérieur, où le produit scalaire se généralise à des espaces de dimension quelconque : c'est l'un des fondements de l'algèbre linéaire, discipline centrale en maths, physique et informatique.
Deux vecteurs sont perpendiculaires exactement quand leur produit scalaire vaut 0.
Pour approfondir ce chapitrefacultatif
Définitions clés
- Radian
- Une unité de mesure des angles ; un tour complet vaut 2π radians (soit 360°).
- Cercle trigonométrique
- Un cercle de rayon 1 sur lequel on lit le cosinus et le sinus d'un angle.
- Produit scalaire
- Une opération entre deux vecteurs qui donne un nombre : u⃗·v⃗ = xᵤ×xᵥ + yᵤ×yᵥ (dans un repère orthonormé).
- Orthogonalité
- Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux (perpendiculaires) si, et seulement si, leur produit scalaire est nul.
Explications détaillées
Mesurer les angles en radians
Le radian relie l'angle à la longueur d'arc sur le cercle de rayon 1. Correspondances utiles : 180° = π radians, 90° = π/2, 360° = 2π.
Sur le cercle trigonométrique (rayon 1), à chaque angle correspond un point dont l'abscisse est le cosinus et l'ordonnée le sinus. Ce cadre unifie toute la trigonométrie.
Le produit scalaire et ses usages
Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre. Avec les coordonnées : u⃗·v⃗ = xᵤxᵥ + yᵤyᵥ. Il s'exprime aussi par u⃗·v⃗ = ‖u⃗‖ × ‖v⃗‖ × cos(θ), où θ est l'angle entre les vecteurs.
Ses usages sont nombreux : tester si deux vecteurs sont orthogonaux (produit scalaire nul), calculer un angle, ou démontrer des propriétés géométriques.
Méthode pas à pas
Calculer un produit scalaire et tester l'orthogonalité
- Relever les coordonnées des deux vecteurs.
- Appliquer u⃗·v⃗ = xᵤ×xᵥ + yᵤ×yᵥ.
- Calculer la somme obtenue.
- Si le résultat est nul, les vecteurs sont orthogonaux ; sinon, ils ne le sont pas.
Exemple corrigé pas à pas
Deux vecteurs sont-ils orthogonaux ?
Soit u⃗(2 ; 3) et v⃗(3 ; −2). Ces vecteurs sont-ils orthogonaux ?
- Produit scalaire : u⃗·v⃗ = xᵤ×xᵥ + yᵤ×yᵥ.
- u⃗·v⃗ = 2 × 3 + 3 × (−2).
- = 6 − 6 = 0.
- Le produit scalaire est nul : les vecteurs sont orthogonaux.
Erreurs fréquentes à éviter
- Confondre radians et degrés.π radians = 180°. On convertit avant tout calcul : ne pas mélanger les deux unités.
- Croire que le produit scalaire est un vecteur.Le produit scalaire est un NOMBRE (un scalaire), pas un vecteur.
- Oublier que l'orthogonalité équivaut à un produit scalaire nul.Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si, et seulement si, leur produit scalaire vaut 0.
Pour aller plus loin
Le produit scalaire en physique
Le produit scalaire n'est pas qu'un outil géométrique : en physique, le travail d'une force est le produit scalaire de la force et du déplacement. Il apparaît partout où l'on combine deux grandeurs vectorielles selon leur orientation. C'est un bel exemple de notion mathématique au service des sciences.
Ce qu'il faut absolument retenir
Ce qu'il faut absolument retenir
- Les angles se mesurent aussi en radians : un tour = 2π rad, un angle droit = π/2 rad.
- Sur le cercle trigonométrique, cosinus et sinus sont les coordonnées d'un point ; relation : cos²(x) + sin²(x) = 1.
- Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques : elles décrivent les phénomènes qui oscillent.
- Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre combinant longueurs et angle ; il se calcule par les coordonnées.
- Deux vecteurs sont orthogonaux (perpendiculaires) si et seulement si leur produit scalaire est nul.
Vérifie ta compréhension
Exercice 1Combien vaut un tour complet en radians ?
Un tour complet vaut 360°, soit 2π radians.
Exercice 2Quelle est la relation fondamentale de la trigonométrie ?
La relation fondamentale est cos²(x) + sin²(x) = 1, valable pour tout angle x.
Exercice 3Deux vecteurs sont perpendiculaires si et seulement si leur produit scalaire est…
Deux vecteurs sont orthogonaux exactement quand leur produit scalaire est nul.
Exercice 4Les fonctions cosinus et sinus sont périodiques.
Vrai : elles se répètent régulièrement, ce qui permet de modéliser des phénomènes qui oscillent.
Exercice 5Comment peut-on utiliser le produit scalaire pour prouver que deux droites sont perpendiculaires ?
On considère un vecteur directeur de chaque droite et on calcule leur produit scalaire. Si ce produit scalaire est nul, alors les vecteurs (et donc les droites) sont perpendiculaires.
L'essentiel en images
