Le cours
1. La probabilité conditionnelle
La probabilité conditionnelle est la probabilité d'un événement A sachant qu'un autre événement B est réalisé. On la note P_B(A) (ou P(A|B)). Elle permet de réviser une probabilité quand on dispose d'une information supplémentaire.
Elle traduit l'idée de « probabilité de A, sachant que B ».
Probabilité qu'il pleuve, sachant que le ciel est déjà couvert : une probabilité conditionnelle.
2. L'arbre de probabilité
On représente souvent les situations par un arbre de probabilité : chaque branche porte une probabilité. La probabilité d'un chemin s'obtient en multipliant les probabilités le long des branches.
L'arbre est un outil visuel très efficace pour organiser les calculs.
Sur un arbre, la probabilité d'un chemin = produit des probabilités des branches suivies.
3. Événements indépendants
Deux événements sont indépendants si la réalisation de l'un ne change pas la probabilité de l'autre. Dans ce cas, P(A et B) = P(A) × P(B). À l'inverse, des événements dépendants s'influencent mutuellement.
Reconnaître l'indépendance simplifie les calculs.
Deux lancers de dé sont indépendants : le premier n'influence pas le second.
4. Variables aléatoires
Une variable aléatoire associe un nombre au résultat d'une expérience aléatoire. On peut calculer son espérance, qui représente la valeur moyenne attendue si on répétait l'expérience un grand nombre de fois.
L'espérance est centrale, par exemple pour évaluer un jeu ou un risque.
L'espérance d'un jeu indique le gain moyen attendu sur un grand nombre de parties.
Pour approfondir ce chapitrefacultatif
Définitions clés
- Probabilité conditionnelle
- La probabilité d'un événement B sachant qu'un événement A est réalisé, notée P_A(B) = P(A ∩ B) / P(A).
- Arbre pondéré
- Un schéma en branches où chaque branche porte une probabilité ; il aide à organiser les calculs.
- Événements indépendants
- Deux événements sont indépendants si la réalisation de l'un ne change pas la probabilité de l'autre : P(A ∩ B) = P(A) × P(B).
- Variable aléatoire
- Une grandeur qui associe un nombre à chaque issue d'une expérience aléatoire (par exemple un gain).
Explications détaillées
Conditionner : « sachant que… »
La probabilité conditionnelle P_A(B) répond à la question : « quelle est la probabilité de B, sachant que A s'est produit ? ». Elle se calcule par P_A(B) = P(A ∩ B) / P(A).
Attention : P_A(B) et P_B(A) sont en général différentes. Conditionner, c'est se placer dans un « nouvel univers » réduit à l'événement A.
Arbres pondérés et indépendance
Un arbre pondéré organise les probabilités : on multiplie le long d'un chemin, on additionne entre chemins. C'est un outil visuel très efficace.
Deux événements sont indépendants si P(A ∩ B) = P(A) × P(B) : savoir que l'un s'est produit n'apporte aucune information sur l'autre. À ne pas confondre avec des événements incompatibles (qui ne peuvent pas se produire ensemble).
Méthode pas à pas
Utiliser un arbre pondéré
- Construire l'arbre en plaçant les probabilités sur les branches.
- Pour la probabilité d'un chemin : multiplier les probabilités le long de ce chemin.
- Pour un événement réalisé par plusieurs chemins : additionner les probabilités de ces chemins.
- Vérifier que la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut 1.
Exemple corrigé pas à pas
Une probabilité le long d'un arbre
Une urne : on tire deux boules sans remise. La probabilité de tirer une boule rouge est 1/2, puis, sachant qu'on a tiré rouge, la probabilité de tirer à nouveau rouge est 1/3. Probabilité de deux rouges ?
- Premier tirage rouge : probabilité 1/2.
- Deuxième rouge sachant le premier rouge : probabilité 1/3.
- Le long du chemin « rouge puis rouge », on multiplie : 1/2 × 1/3.
- = 1/6. La probabilité de tirer deux rouges est 1/6.
Erreurs fréquentes à éviter
- Confondre P_A(B) et P_B(A).« La probabilité de B sachant A » n'est pas « la probabilité de A sachant B » : ces deux valeurs diffèrent en général.
- Confondre événements indépendants et incompatibles.Indépendants : l'un n'influence pas l'autre. Incompatibles : ils ne peuvent pas se produire ensemble. Ce n'est pas la même chose.
- Additionner les probabilités le long d'un chemin d'arbre.Le long d'un chemin, on MULTIPLIE ; on additionne seulement entre chemins différents.
Pour aller plus loin
Les probabilités conditionnelles, partout utiles
Le raisonnement conditionnel est essentiel : en médecine (fiabilité d'un test de dépistage), en justice, en intelligence artificielle. Il révèle des pièges d'intuition célèbres, où une probabilité « évidente » se révèle fausse. En Terminale, la loi des probabilités totales et les lois de probabilité prolongeront ces outils au cœur des statistiques modernes.
Ce qu'il faut absolument retenir
Ce qu'il faut absolument retenir
- La probabilité conditionnelle P_B(A) est la probabilité de A sachant que B est réalisé.
- Sur un arbre de probabilité, la probabilité d'un chemin = produit des probabilités des branches suivies.
- Deux événements sont indépendants si l'un n'influe pas sur l'autre ; alors P(A et B) = P(A) × P(B).
- Une variable aléatoire associe un nombre au résultat d'une expérience aléatoire.
- L'espérance d'une variable aléatoire est la valeur moyenne attendue sur un grand nombre de répétitions.
Vérifie ta compréhension
Exercice 1Que représente la probabilité conditionnelle P_B(A) ?
P_B(A) est la probabilité de l'événement A sachant que B est réalisé.
Exercice 2Sur un arbre de probabilité, comment calcule-t-on la probabilité d'un chemin ?
La probabilité d'un chemin s'obtient en multipliant les probabilités le long des branches suivies.
Exercice 3Si A et B sont indépendants, que vaut P(A et B) ?
Pour des événements indépendants, P(A et B) = P(A) × P(B).
Exercice 4L'espérance d'une variable aléatoire représente la valeur moyenne attendue sur un grand nombre de répétitions.
Vrai : l'espérance correspond à la moyenne des valeurs si l'on répétait l'expérience un grand nombre de fois.
Exercice 5Deux lancers d'un dé sont-ils indépendants ? Justifie.
Oui : le résultat du premier lancer n'influence pas le second. Les deux événements sont donc indépendants, et la probabilité d'obtenir deux résultats donnés est le produit de leurs probabilités.
L'essentiel en images
