CoursMathématiques · 2de
La seconde ouvre une nouvelle façon de parler des nombres : avec des ensembles et des intervalles. On range les nombres en grandes familles et on apprend un langage précis pour décrire des groupes de nombres — la base du langage mathématique du lycée.
Le cours
Les nombres se rangent en grandes familles emboîtées. Les entiers naturels (ℕ : 0, 1, 2…), les entiers relatifs (ℤ, qui ajoutent les négatifs), les décimaux (𝔻), les rationnels (ℚ, les fractions) et les réels (ℝ, tous les nombres de la droite graduée).
Chaque ensemble est inclus dans le suivant : ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ.
−3 est dans ℤ (et ℝ) mais pas dans ℕ ; 1/3 est dans ℚ ; √2 est dans ℝ mais pas dans ℚ.
Un intervalle décrit un « morceau » continu de la droite des réels. On utilise des crochets : [2 ; 5] désigne tous les réels entre 2 et 5 (bornes comprises). Un crochet ouvert ] exclut la borne : ]2 ; 5] exclut 2 mais inclut 5.
Le symbole ∞ (l'infini) sert pour les intervalles non bornés : [3 ; +∞[.
x ≥ 3 s'écrit x ∈ [3 ; +∞[ ; 2 < x ≤ 5 s'écrit x ∈ ]2 ; 5].
On consolide le calcul : les puissances (aⁿ, avec les règles comme aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ) et les racines carrées (√a × √b = √(ab)). On manipule aussi les fractions et le calcul avec des lettres.
La maîtrise du calcul est indispensable pour toute la suite.
2³ × 2⁴ = 2⁷ ; √12 = √(4 × 3) = 2√3.
Une valeur exacte garde sa forme précise (comme √2 ou 1/3) ; une valeur approchée est un arrondi (√2 ≈ 1,41). En mathématiques, on privilégie la valeur exacte, qui ne perd aucune information.
Les arrondis ne servent que pour des résultats concrets.
1/3 est exact ; 0,333 n'est qu'une valeur approchée (arrondie).
Ce qu'il faut absolument retenir
Vérifie ta compréhension
Exercice 1À quel ensemble appartient le nombre −5 ?
−5 est un entier négatif : il appartient à ℤ (et à ℚ, ℝ), mais pas à ℕ.
Exercice 2Comment écrit-on l'ensemble des réels x tels que 2 < x ≤ 5 ?
2 est exclu (crochet ouvert) et 5 est inclus (crochet fermé) : ]2 ; 5].
Exercice 3Que vaut 2³ × 2⁴ ?
On additionne les exposants : 2³ × 2⁴ = 2³⁺⁴ = 2⁷.
Exercice 4Du côté de l'infini, l'intervalle se note toujours avec un crochet ouvert.
Vrai : on ne peut jamais inclure l'infini, donc le crochet est toujours ouvert ([3 ; +∞[).
Exercice 5Quelle est la valeur exacte de √12 simplifiée ?
√12 = √(4 × 3) = √4 × √3 = 2√3.