Le cours
1. Les ensembles de nombres
En mathématiques, les nombres sont classés en plusieurs grands ensembles, emboîtés les uns dans les autres. Comprendre cette organisation est essentiel, car elle structure tout le travail sur les nombres au lycée.
On distingue plusieurs ensembles de nombres, du plus simple au plus large. Les entiers naturels (notés ℕ) : 0, 1, 2, 3… (les nombres pour compter). Les entiers relatifs (ℤ) : les entiers naturels et leurs opposés, comme −3, −2, −1, 0, 1, 2… (ils permettent les nombres négatifs). Les nombres décimaux (𝔻) : ceux qui ont un nombre fini de chiffres après la virgule, comme 3,25. Les nombres rationnels (ℚ) : ceux qui peuvent s'écrire comme une fraction de deux entiers, comme 2/3 ou 7/4. Enfin, les nombres réels (ℝ) : tous les nombres, y compris ceux qui ne sont pas rationnels (comme √2 ou π, qui ont une infinité de décimales sans se répéter). Ces ensembles sont emboîtés : ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ (chaque ensemble est inclus dans le suivant). Comprendre cette classification permet de savoir à quel type de nombre on a affaire et d'utiliser le vocabulaire mathématique correct.
Comprendre les ensembles de nombres est essentiel, car ils structurent tout le travail sur les nombres. Cette classification est fondamentale en mathématiques. Elle est approfondie dans le supérieur, où l'étude des ensembles de nombres et de leurs propriétés est au cœur de l'analyse et de l'algèbre.
−3 est dans ℤ (et ℝ) mais pas dans ℕ ; 1/3 est dans ℚ ; √2 est dans ℝ mais pas dans ℚ.
2. Les intervalles
Les intervalles permettent de décrire des ensembles de nombres réels compris entre deux valeurs. Comprendre cette notion est essentiel, car les intervalles sont très utilisés, notamment pour les fonctions et les inéquations.
Un intervalle est un ensemble de nombres réels compris entre deux bornes. Par exemple, l'intervalle [2 ; 5] désigne tous les nombres réels compris entre 2 et 5, bornes incluses. On utilise des crochets pour indiquer si les bornes sont incluses ou non : un crochet fermé [ inclut la borne, un crochet ouvert ] (ou tourné vers l'extérieur) l'exclut. Ainsi, [2 ; 5] inclut 2 et 5, tandis que ]2 ; 5[ les exclut. On peut aussi avoir des intervalles infinis, avec le symbole ∞ (l'infini) : par exemple, [3 ; +∞[ désigne tous les nombres supérieurs ou égaux à 3. Les intervalles permettent de décrire simplement des ensembles de nombres, par exemple l'ensemble des solutions d'une inéquation, ou l'ensemble sur lequel une fonction est définie ou étudiée. Comprendre les intervalles et leur notation, c'est acquérir un outil essentiel pour décrire des ensembles de nombres réels, très utilisé tout au long du lycée.
Comprendre les intervalles est essentiel, car ils sont très utilisés pour les fonctions et les inéquations. Cette notion est fondamentale en mathématiques. Elle est approfondie dans le supérieur, en analyse, où les intervalles sont omniprésents dans l'étude des fonctions.
x ≥ 3 s'écrit x ∈ [3 ; +∞[ ; 2 < x ≤ 5 s'écrit x ∈ ]2 ; 5].
3. Calculer avec les puissances et les racines
Les puissances et les racines carrées sont des outils de calcul essentiels en mathématiques. Comprendre comment calculer avec elles est indispensable pour de nombreux domaines des mathématiques.
Une puissance est une façon d'écrire un produit de facteurs identiques : par exemple, 2⁵ (2 puissance 5) signifie 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32. Le calcul avec les puissances suit des règles précises (propriétés des puissances) : par exemple, quand on multiplie deux puissances d'un même nombre, on additionne les exposants (aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ). Il existe aussi des puissances d'exposant négatif (a⁻ⁿ = 1/aⁿ). La racine carrée d'un nombre positif est le nombre positif dont le carré donne ce nombre : par exemple, √9 = 3, car 3² = 9. Les racines carrées ont aussi leurs règles de calcul (par exemple, √(a × b) = √a × √b). Maîtriser le calcul avec les puissances et les racines est essentiel : ces outils interviennent constamment en mathématiques (calcul, fonctions, équations) et dans les autres sciences (grandeurs, formules physiques, notation scientifique des très grands ou très petits nombres). Comprendre comment calculer avec les puissances et les racines, c'est acquérir des techniques de calcul fondamentales, indispensables pour la suite des mathématiques.
Comprendre le calcul avec les puissances et les racines est essentiel, car ces outils sont omniprésents en mathématiques et en sciences. Ces techniques sont fondamentales. Elles sont approfondies dans le supérieur, où le calcul avec puissances et racines est constamment utilisé.
2³ × 2⁴ = 2⁷ ; √12 = √(4 × 3) = 2√3.
4. Valeurs exactes et valeurs approchées
En mathématiques, il est important de distinguer les valeurs exactes des valeurs approchées d'un nombre. Comprendre cette distinction est essentiel pour calculer avec rigueur et présenter correctement les résultats.
Certains nombres ont une écriture exacte simple (comme 1/3 ou √2), mais leur écriture décimale est infinie (1/3 = 0,333… ; √2 = 1,414…). Une valeur exacte est l'écriture précise et rigoureuse du nombre (par exemple, √2 ou 1/3). Une valeur approchée est une valeur proche, mais pas exactement égale, obtenue en arrêtant l'écriture décimale à un certain nombre de chiffres (par exemple, 1,41 est une valeur approchée de √2). On utilise le symbole ≈ (environ égal) pour les valeurs approchées : √2 ≈ 1,41. La valeur exacte est préférable en mathématiques, car elle est rigoureuse : écrire √2 est plus exact qu'écrire 1,41. Les valeurs approchées sont utiles en pratique (pour donner un ordre de grandeur, faire des calculs concrets), mais il faut savoir qu'elles ne sont pas exactes. Il est important, dans un calcul, de garder les valeurs exactes le plus longtemps possible et de ne donner une valeur approchée qu'à la fin si nécessaire, pour éviter d'accumuler des erreurs. Comprendre la distinction entre valeurs exactes et approchées, c'est apprendre à calculer avec rigueur et à présenter les résultats correctement, une exigence importante en mathématiques.
Comprendre la distinction entre valeurs exactes et approchées est essentiel, car elle est au cœur de la rigueur du calcul. Cette notion est importante en mathématiques. Elle est approfondie dans le supérieur, où la manipulation des valeurs exactes et le contrôle des approximations sont essentiels.
1/3 est exact ; 0,333 n'est qu'une valeur approchée (arrondie).
Pour approfondir ce chapitrefacultatif
Définitions clés
- Ensembles de nombres
- ℕ (entiers naturels), ℤ (entiers relatifs), ℚ (rationnels, fractions), ℝ (réels). Chacun est inclus dans le suivant : ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ.
- Intervalle
- Un ensemble de nombres réels compris entre deux bornes, noté par exemple [a ; b] ou ]a ; b[.
- Crochet fermé / ouvert
- Un crochet fermé [ inclut la borne ; un crochet ouvert ] l'exclut. On utilise toujours un crochet ouvert vers l'infini.
- Valeur absolue
- La distance d'un nombre à zéro, notée |x|. Ainsi |−3| = 3 et |3| = 3.
Explications détaillées
Les ensembles de nombres et leurs inclusions
Les nombres se rangent dans des ensembles emboîtés. Les entiers naturels (0, 1, 2…) forment ℕ ; en ajoutant les négatifs, on obtient ℤ ; en ajoutant les fractions, ℚ ; et en ajoutant les nombres comme √2 ou π, on obtient ℝ, l'ensemble des réels.
Chaque ensemble est inclus dans le suivant : ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ. Savoir à quel ensemble appartient un nombre est essentiel au lycée.
Traduire une condition avec des intervalles
Un intervalle traduit une condition sur x. « x compris entre 2 et 5, bornes comprises » s'écrit x ∈ [2 ; 5]. Si les bornes sont exclues : ]2 ; 5[.
Vers l'infini, on ouvre toujours le crochet : « x supérieur ou égal à 3 » s'écrit x ∈ [3 ; +∞[.
Méthode pas à pas
Écrire un intervalle à partir d'une condition
- Repérer les deux bornes de la condition.
- Déterminer si chaque borne est incluse (≤, ≥) ou exclue (<, >).
- Placer un crochet fermé pour une borne incluse, ouvert pour une borne exclue.
- Vers l'infini, utiliser toujours un crochet ouvert.
Exemple corrigé pas à pas
De la condition à l'intervalle
Écrire sous forme d'intervalle : « x est strictement supérieur à −1 et inférieur ou égal à 4 ».
- Bornes : −1 et 4.
- « Strictement supérieur à −1 » : borne −1 exclue → crochet ouvert.
- « Inférieur ou égal à 4 » : borne 4 incluse → crochet fermé.
- Résultat : x ∈ ]−1 ; 4].
Erreurs fréquentes à éviter
- Confondre crochet ouvert et fermé.[ inclut la borne (≤, ≥) ; ] l'exclut (<, >).
- Fermer le crochet du côté de l'infini.L'infini n'est pas un nombre : on écrit toujours [3 ; +∞[, jamais [3 ; +∞].
- Confondre ℚ et ℝ.ℚ ne contient que les fractions ; ℝ ajoute les irrationnels comme √2 et π.
Pour aller plus loin
Les nombres irrationnels
Certains nombres, comme √2 ou π, ne peuvent s'écrire sous forme de fraction : ce sont les irrationnels. Les Grecs anciens furent bouleversés de découvrir que √2 était irrationnel, ce qui remettait en cause leur vision du monde. Ces nombres, indispensables en géométrie et en analyse, complètent l'ensemble des réels ℝ.
Ce qu'il faut absolument retenir
Ce qu'il faut absolument retenir
- Ensembles de nombres emboîtés : ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ (naturels, relatifs, rationnels, réels).
- Un intervalle décrit un morceau continu de ℝ ; crochet fermé [ ] = borne incluse, ouvert ] [ = borne exclue.
- Pour l'infini, la borne est toujours ouverte : [3 ; +∞[.
- Règles de calcul : puissances (aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ) et racines (√a × √b = √(ab)).
- Une valeur exacte (√2, 1/3) est préférable à une valeur approchée (un arrondi).
Vérifie ta compréhension
Exercice 1À quel ensemble appartient le nombre −5 ?
−5 est un entier négatif : il appartient à ℤ (et à ℚ, ℝ), mais pas à ℕ.
Exercice 2Comment écrit-on l'ensemble des réels x tels que 2 < x ≤ 5 ?
2 est exclu (crochet ouvert) et 5 est inclus (crochet fermé) : ]2 ; 5].
Exercice 3Que vaut 2³ × 2⁴ ?
On additionne les exposants : 2³ × 2⁴ = 2³⁺⁴ = 2⁷.
Exercice 4Du côté de l'infini, l'intervalle se note toujours avec un crochet ouvert.
Vrai : on ne peut jamais inclure l'infini, donc le crochet est toujours ouvert ([3 ; +∞[).
Exercice 5Quelle est la valeur exacte de √12 simplifiée ?
√12 = √(4 × 3) = √4 × √3 = 2√3.
L'essentiel en images
