CoursMathématiques · 2de
L'algèbre du lycée pousse plus loin le calcul littéral du collège : on développe, on factorise, et on résout des équations et des inéquations plus riches. C'est un outil de raisonnement puissant, utile dans toutes les sciences.
Le cours
On consolide les deux opérations inverses. Développer transforme un produit en somme ; factoriser fait l'inverse. On utilise les identités remarquables : (a + b)² = a² + 2ab + b², (a − b)² = a² − 2ab + b², et (a + b)(a − b) = a² − b².
Ces identités accélèrent énormément les calculs.
(x + 3)² = x² + 6x + 9 ; x² − 25 = (x − 5)(x + 5).
Résoudre une équation, c'est trouver les valeurs de l'inconnue qui rendent l'égalité vraie. On isole x par opérations équivalentes. Pour une équation-produit, on utilise : un produit est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul.
La factorisation est souvent la clé pour résoudre.
(x − 2)(x + 3) = 0 ⟺ x = 2 ou x = −3.
Une inéquation compare deux expressions avec <, >, ≤ ou ≥. On la résout comme une équation, avec une règle cruciale : quand on multiplie ou divise les deux membres par un nombre négatif, on inverse le sens de l'inégalité.
Les solutions s'écrivent souvent sous forme d'intervalle.
−2x > 6 ⟺ x < −3 (on divise par −2 et on inverse le sens).
L'algèbre sert à résoudre des problèmes concrets : on choisit l'inconnue, on traduit l'énoncé par une équation ou une inéquation, on résout, puis on interprète le résultat.
Traduire un problème en langage mathématique est une compétence centrale.
« Le double d'un nombre augmenté de 5 vaut 17 » : 2x + 5 = 17, donc x = 6.
Ce qu'il faut absolument retenir
Vérifie ta compréhension
Exercice 1Développe (x + 3)² grâce à l'identité remarquable.
(a + b)² = a² + 2ab + b², donc (x + 3)² = x² + 6x + 9.
Exercice 2Factorise x² − 25.
C'est une différence de carrés : a² − b² = (a − b)(a + b), donc x² − 25 = (x − 5)(x + 5).
Exercice 3Résous l'inéquation −2x > 6.
On divise par −2 en inversant le sens : x < −3.
Exercice 4(a + b)² est égal à a² + b².
Faux : (a + b)² = a² + 2ab + b². Il ne faut pas oublier le double produit 2ab.
Exercice 5Les solutions de (x − 2)(x + 3) = 0 sont…
Un produit est nul si un facteur est nul : x − 2 = 0 ou x + 3 = 0, donc x = 2 ou x = −3.