Le cours
1. Développer et factoriser
Développer et factoriser sont deux opérations fondamentales du calcul algébrique, qui permettent de transformer des expressions. Comprendre ces techniques est essentiel, car elles sont utilisées constamment en mathématiques.
Développer et factoriser sont deux transformations inverses d'une expression algébrique. Développer, c'est transformer un produit en une somme : on distribue et on effectue les multiplications. Par exemple, développer 3(x + 2) donne 3x + 6. On utilise notamment la distributivité et les identités remarquables (comme (a + b)² = a² + 2ab + b²). Factoriser, c'est l'opération inverse : transformer une somme en un produit, en mettant en facteur. Par exemple, factoriser 3x + 6 donne 3(x + 2). Factoriser consiste à repérer un facteur commun ou à utiliser les identités remarquables. Ces deux opérations sont essentielles : développer permet de simplifier ou de calculer, factoriser est particulièrement utile pour résoudre des équations (car un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul). Maîtriser le développement et la factorisation est indispensable pour manipuler les expressions algébriques, résoudre des équations, et travailler avec les fonctions. Comprendre ces techniques, c'est acquérir des outils fondamentaux du calcul algébrique, utilisés tout au long des mathématiques.
Comprendre le développement et la factorisation est essentiel, car ce sont des techniques de base du calcul algébrique. Ces techniques sont fondamentales en mathématiques. Elles sont approfondies dans le supérieur, où la manipulation des expressions algébriques est constamment utilisée.
(x + 3)² = x² + 6x + 9 ; x² − 25 = (x − 5)(x + 5).
2. Résoudre une équation
Résoudre une équation, c'est trouver les valeurs de l'inconnue qui la vérifient. Comprendre comment résoudre une équation est essentiel, car les équations sont un outil central en mathématiques et dans les sciences.
Une équation est une égalité contenant une inconnue (souvent notée x). Résoudre l'équation, c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue pour lesquelles l'égalité est vraie : ce sont les solutions. Par exemple, résoudre l'équation 2x + 3 = 11 consiste à trouver la valeur de x : ici, x = 4 (car 2 × 4 + 3 = 11). Pour résoudre une équation, on la transforme en respectant des règles (on peut ajouter, soustraire, multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre) jusqu'à isoler l'inconnue. Pour certaines équations (comme les équations produit, du type A × B = 0), on utilise le fait qu'un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul. Résoudre des équations est une compétence essentielle : les équations permettent de répondre à de nombreux problèmes, en mathématiques comme dans les autres sciences (physique, chimie, économie), où l'on traduit souvent un problème par une équation à résoudre. Comprendre comment résoudre une équation, c'est maîtriser un outil fondamental des mathématiques, aux applications innombrables.
Comprendre comment résoudre une équation est essentiel, car les équations sont un outil central en mathématiques et en sciences. Cette compétence est fondamentale. Elle est approfondie dans le supérieur, où la résolution d'équations, de plus en plus variées, est constamment utilisée.
(x − 2)(x + 3) = 0 ⟺ x = 2 ou x = −3.
3. Les inéquations
Les inéquations, proches des équations, font intervenir des inégalités plutôt que des égalités. Comprendre comment les résoudre est essentiel, car elles permettent de traiter de nombreux problèmes.
Une inéquation est comme une équation, mais avec un signe d'inégalité (< , > , ≤ , ≥) au lieu du signe égal. Par exemple, 2x + 1 > 5 est une inéquation. Résoudre une inéquation, c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue qui vérifient l'inégalité : ici, les valeurs de x pour lesquelles 2x + 1 est supérieur à 5. Contrairement à une équation, dont les solutions sont souvent quelques valeurs, les solutions d'une inéquation forment généralement un intervalle (un ensemble de valeurs). Pour résoudre une inéquation, on procède comme pour une équation (ajouter, soustraire, multiplier, diviser des deux côtés), mais avec une règle importante : quand on multiplie ou divise par un nombre négatif, il faut inverser le sens de l'inégalité. Les solutions se présentent souvent sous forme d'intervalle. Les inéquations sont utiles pour de nombreux problèmes où l'on cherche non pas une valeur précise, mais un ensemble de valeurs (par exemple, à partir de quelle quantité une option devient plus avantageuse). Comprendre comment résoudre les inéquations, c'est acquérir un outil essentiel, complémentaire des équations, pour traiter des problèmes faisant intervenir des comparaisons.
Comprendre les inéquations est essentiel, car elles permettent de traiter de nombreux problèmes de comparaison. Cette notion est fondamentale en mathématiques. Elle est approfondie dans le supérieur, où les inéquations et l'étude des inégalités sont constamment utilisées.
−2x > 6 ⟺ x < −3 (on divise par −2 et on inverse le sens).
4. Mettre un problème en équation
L'une des grandes utilités des équations est de résoudre des problèmes concrets, en les mettant en équation. Comprendre cette démarche est essentiel, car elle relie les mathématiques aux situations réelles.
Mettre un problème en équation consiste à traduire un problème concret (posé avec des mots) en une équation mathématique, que l'on peut ensuite résoudre. La démarche comporte plusieurs étapes. D'abord, choisir l'inconnue : identifier la quantité recherchée et la nommer (par exemple, x). Ensuite, traduire les données du problème en une équation, en exprimant les relations décrites dans l'énoncé à l'aide de cette inconnue. Puis, résoudre l'équation obtenue pour trouver la valeur de l'inconnue. Enfin, interpréter le résultat dans le contexte du problème (et vérifier qu'il a du sens). Par exemple, un problème du type « je pense à un nombre, je le multiplie par 2 et j'ajoute 3, j'obtiens 11 » se traduit par l'équation 2x + 3 = 11, dont la solution est x = 4. Cette démarche est très utile : elle permet de résoudre de nombreux problèmes concrets grâce aux mathématiques, dans la vie courante comme dans les autres sciences. Mettre un problème en équation est une compétence essentielle, car elle fait le lien entre les mathématiques et les situations réelles. Comprendre cette démarche, c'est apprendre à utiliser les mathématiques comme un outil pour résoudre des problèmes du monde réel.
Comprendre comment mettre un problème en équation est essentiel, car cela relie les mathématiques aux situations réelles. Cette démarche est fondamentale. Elle est approfondie dans le supérieur, où la modélisation de problèmes par des équations est constamment utilisée, dans toutes les sciences.
« Le double d'un nombre augmenté de 5 vaut 17 » : 2x + 5 = 17, donc x = 6.
Pour approfondir ce chapitrefacultatif
Définitions clés
- Équation / Inéquation
- Une équation est une égalité à résoudre ; une inéquation compare deux expressions avec <, >, ≤ ou ≥.
- Équation-produit
- Une équation de la forme A × B = 0. Un produit est nul si, et seulement si, l'un au moins de ses facteurs est nul.
- Identités remarquables
- (a + b)² = a² + 2ab + b² ; (a − b)² = a² − 2ab + b² ; (a + b)(a − b) = a² − b².
- Factoriser
- Transformer une somme en produit, souvent pour résoudre une équation ou étudier un signe.
Explications détaillées
Résoudre une équation-produit
La règle du produit nul est fondamentale : A × B = 0 équivaut à « A = 0 OU B = 0 ». On résout alors séparément chaque facteur.
Exemple : (x − 2)(x + 3) = 0 donne x − 2 = 0 ou x + 3 = 0, soit x = 2 ou x = −3. La factorisation permet ainsi de résoudre des équations qu'on ne saurait pas résoudre directement.
Résoudre une inéquation : attention au signe
On résout une inéquation comme une équation, à une règle près : lorsqu'on multiplie ou divise les deux membres par un nombre négatif, on inverse le sens de l'inégalité.
Exemple : −2x > 4. On divise par −2 (négatif), donc on inverse : x < −2. Oublier d'inverser le sens est l'erreur la plus fréquente.
Méthode pas à pas
Résoudre une inéquation du premier degré
- Regrouper les termes en x d'un côté, les nombres de l'autre.
- Isoler le terme en x.
- Diviser par le coefficient de x.
- Si ce coefficient est négatif, inverser le sens de l'inégalité.
Exemple corrigé pas à pas
Résoudre une équation-produit
Résoudre (x − 5)(2x + 1) = 0.
- Un produit est nul si un facteur est nul : x − 5 = 0 ou 2x + 1 = 0.
- Premier facteur : x − 5 = 0, donc x = 5.
- Second facteur : 2x + 1 = 0, donc 2x = −1, soit x = −0,5.
- Solutions : x = 5 ou x = −0,5.
Erreurs fréquentes à éviter
- Oublier d'inverser le sens d'une inéquation en divisant par un négatif.Multiplier ou diviser par un nombre négatif inverse le sens : −2x > 4 donne x < −2.
- Croire que A × B = 0 impose A = 0 ET B = 0.Il suffit qu'UN facteur soit nul : A = 0 OU B = 0.
- Développer au lieu de factoriser pour résoudre.Pour résoudre, on cherche souvent à factoriser afin d'utiliser la règle du produit nul.
Pour aller plus loin
Vers le second degré
La factorisation et la règle du produit nul sont la porte d'entrée vers les équations du second degré, étudiées en Première. Résoudre des équations est au cœur des mathématiques appliquées : physique, économie, informatique… Partout, on modélise un problème par une équation, puis on la résout.
Ce qu'il faut absolument retenir
Ce qu'il faut absolument retenir
- Identités remarquables : (a + b)² = a² + 2ab + b² ; (a − b)² = a² − 2ab + b² ; (a + b)(a − b) = a² − b².
- Équation-produit : un produit est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul.
- Inéquation : on inverse le sens de l'inégalité quand on multiplie ou divise par un nombre négatif.
- Les solutions d'une inéquation s'expriment souvent sous forme d'intervalle.
- Mettre en équation : choisir l'inconnue, traduire, résoudre, interpréter.
Vérifie ta compréhension
Exercice 1Développe (x + 3)² grâce à l'identité remarquable.
(a + b)² = a² + 2ab + b², donc (x + 3)² = x² + 6x + 9.
Exercice 2Factorise x² − 25.
C'est une différence de carrés : a² − b² = (a − b)(a + b), donc x² − 25 = (x − 5)(x + 5).
Exercice 3Résous l'inéquation −2x > 6.
On divise par −2 en inversant le sens : x < −3.
Exercice 4(a + b)² est égal à a² + b².
Faux : (a + b)² = a² + 2ab + b². Il ne faut pas oublier le double produit 2ab.
Exercice 5Les solutions de (x − 2)(x + 3) = 0 sont…
Un produit est nul si un facteur est nul : x − 2 = 0 ou x + 3 = 0, donc x = 2 ou x = −3.
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