Le cours
1. Les ensembles de nombres
Les nombres se rangent en grandes familles emboîtées, comme des poupées russes : — les entiers naturels ℕ : 0, 1, 2, 3… ; — les entiers relatifs ℤ : les naturels + leurs opposés négatifs (…, −2, −1, 0, 1, 2…) ; — les décimaux 𝔻 : les nombres à virgule finie (comme 3,25) ; — les rationnels ℚ : tous les quotients d'entiers (les fractions, comme 1/3) ; — les réels ℝ : tous les nombres de la droite graduée, y compris ceux comme √2 ou π.
Chaque famille est incluse dans la suivante : ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ. Ainsi, un entier naturel est aussi un réel. Certains réels (comme √2 ou π) ne sont pas rationnels : on dit qu'ils sont irrationnels.
−3 est dans ℤ (et ℝ) mais pas dans ℕ ; 1/3 est dans ℚ ; √2 est dans ℝ mais pas dans ℚ.
2. Les intervalles
Un intervalle décrit un « morceau » continu de la droite des réels. On le note avec des crochets : [2 ; 5] désigne tous les réels compris entre 2 et 5, bornes COMPRISES.
Un crochet retourné (ouvert) exclut la borne : ]2 ; 5] exclut 2 mais inclut 5. Pour dire « aussi grand qu'on veut », on utilise le symbole d'infini : [3 ; +∞[ désigne tous les réels supérieurs ou égaux à 3. Attention : à côté de l'infini, le crochet est toujours ouvert (on n'atteint jamais l'infini).
Exemples : x ≥ 0 s'écrit [0 ; +∞[ ; −1 < x ≤ 4 s'écrit ]−1 ; 4]. Les intervalles servent notamment à exprimer les solutions d'une inéquation ou l'ensemble de définition d'une fonction.
x ≥ 3 s'écrit x ∈ [3 ; +∞[ ; 2 < x ≤ 5 s'écrit x ∈ ]2 ; 5].
3. Calculer avec les puissances et les racines
On consolide le calcul sur les nombres. Les puissances suivent des règles précises : aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ (on additionne les exposants), (aᵐ)ⁿ = aᵐˣⁿ, et a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Exemple : 2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128.
Les racines carrées ont aussi leurs règles : √a × √b = √(ab), et √(a²) = a (pour a positif). Exemple : √8 = √(4 × 2) = 2√2.
On manipule également les fractions (mise au même dénominateur pour additionner) et le calcul littéral. La maîtrise de ce calcul « à la main » est indispensable au lycée : elle permet de simplifier les expressions et d'obtenir des résultats exacts, sans dépendre de la calculatrice.
2³ × 2⁴ = 2⁷ ; √12 = √(4 × 3) = 2√3.
4. Valeurs exactes et valeurs approchées
Une valeur exacte garde sa forme précise, sans aucune approximation : √2, 1/3, ou π sont des valeurs exactes. Une valeur approchée est un arrondi : √2 ≈ 1,41, ou π ≈ 3,14.
En mathématiques, on privilégie toujours la valeur exacte, car elle ne perd aucune information. Écrire « le résultat est 1/3 » est plus juste que « 0,33 », qui est arrondi.
Les arrondis restent utiles pour se représenter un ordre de grandeur ou donner un résultat concret (un prix, une mesure). On indique alors le symbole ≈ (« environ ») et la précision : « 5,7 cm au dixième près ». Confondre = et ≈ est une erreur à éviter : l'un affirme une égalité, l'autre une approximation.
1/3 est exact ; 0,333 n'est qu'une valeur approchée (arrondie).
Pour approfondir ce chapitrefacultatif
Définitions clés
- Ensembles de nombres
- ℕ (entiers naturels), ℤ (entiers relatifs), ℚ (rationnels, fractions), ℝ (réels). Chacun est inclus dans le suivant : ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ.
- Intervalle
- Un ensemble de nombres réels compris entre deux bornes, noté par exemple [a ; b] ou ]a ; b[.
- Crochet fermé / ouvert
- Un crochet fermé [ inclut la borne ; un crochet ouvert ] l'exclut. On utilise toujours un crochet ouvert vers l'infini.
- Valeur absolue
- La distance d'un nombre à zéro, notée |x|. Ainsi |−3| = 3 et |3| = 3.
Explications détaillées
Les ensembles de nombres et leurs inclusions
Les nombres se rangent dans des ensembles emboîtés. Les entiers naturels (0, 1, 2…) forment ℕ ; en ajoutant les négatifs, on obtient ℤ ; en ajoutant les fractions, ℚ ; et en ajoutant les nombres comme √2 ou π, on obtient ℝ, l'ensemble des réels.
Chaque ensemble est inclus dans le suivant : ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ. Savoir à quel ensemble appartient un nombre est essentiel au lycée.
Traduire une condition avec des intervalles
Un intervalle traduit une condition sur x. « x compris entre 2 et 5, bornes comprises » s'écrit x ∈ [2 ; 5]. Si les bornes sont exclues : ]2 ; 5[.
Vers l'infini, on ouvre toujours le crochet : « x supérieur ou égal à 3 » s'écrit x ∈ [3 ; +∞[.
Méthode pas à pas
Écrire un intervalle à partir d'une condition
- Repérer les deux bornes de la condition.
- Déterminer si chaque borne est incluse (≤, ≥) ou exclue (<, >).
- Placer un crochet fermé pour une borne incluse, ouvert pour une borne exclue.
- Vers l'infini, utiliser toujours un crochet ouvert.
Exemple corrigé pas à pas
De la condition à l'intervalle
Écrire sous forme d'intervalle : « x est strictement supérieur à −1 et inférieur ou égal à 4 ».
- Bornes : −1 et 4.
- « Strictement supérieur à −1 » : borne −1 exclue → crochet ouvert.
- « Inférieur ou égal à 4 » : borne 4 incluse → crochet fermé.
- Résultat : x ∈ ]−1 ; 4].
Erreurs fréquentes à éviter
- Confondre crochet ouvert et fermé.[ inclut la borne (≤, ≥) ; ] l'exclut (<, >).
- Fermer le crochet du côté de l'infini.L'infini n'est pas un nombre : on écrit toujours [3 ; +∞[, jamais [3 ; +∞].
- Confondre ℚ et ℝ.ℚ ne contient que les fractions ; ℝ ajoute les irrationnels comme √2 et π.
Pour aller plus loin
Les nombres irrationnels
Certains nombres, comme √2 ou π, ne peuvent s'écrire sous forme de fraction : ce sont les irrationnels. Les Grecs anciens furent bouleversés de découvrir que √2 était irrationnel, ce qui remettait en cause leur vision du monde. Ces nombres, indispensables en géométrie et en analyse, complètent l'ensemble des réels ℝ.
Ce qu'il faut absolument retenir
Ce qu'il faut absolument retenir
- Ensembles de nombres emboîtés : ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ (naturels, relatifs, rationnels, réels).
- Un intervalle décrit un morceau continu de ℝ ; crochet fermé [ ] = borne incluse, ouvert ] [ = borne exclue.
- Pour l'infini, la borne est toujours ouverte : [3 ; +∞[.
- Règles de calcul : puissances (aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ) et racines (√a × √b = √(ab)).
- Une valeur exacte (√2, 1/3) est préférable à une valeur approchée (un arrondi).
Vérifie ta compréhension
Exercice 1À quel ensemble appartient le nombre −5 ?
−5 est un entier négatif : il appartient à ℤ (et à ℚ, ℝ), mais pas à ℕ.
Exercice 2Comment écrit-on l'ensemble des réels x tels que 2 < x ≤ 5 ?
2 est exclu (crochet ouvert) et 5 est inclus (crochet fermé) : ]2 ; 5].
Exercice 3Que vaut 2³ × 2⁴ ?
On additionne les exposants : 2³ × 2⁴ = 2³⁺⁴ = 2⁷.
Exercice 4Du côté de l'infini, l'intervalle se note toujours avec un crochet ouvert.
Vrai : on ne peut jamais inclure l'infini, donc le crochet est toujours ouvert ([3 ; +∞[).
Exercice 5Quelle est la valeur exacte de √12 simplifiée ?
√12 = √(4 × 3) = √4 × √3 = 2√3.
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