Le cours
1. Résumer une série statistique
Pour résumer une série de données par quelques nombres, on utilise des indicateurs. Les indicateurs de position donnent une valeur « centrale » représentative : — la moyenne : la somme de toutes les valeurs divisée par leur nombre ; — la médiane : la valeur qui partage la série ordonnée en deux moitiés (autant de valeurs en dessous qu'au-dessus).
Ces deux indicateurs se complètent : la médiane est moins sensible aux valeurs extrêmes que la moyenne. Par exemple, un seul salaire très élevé tire la moyenne vers le haut, mais ne modifie guère la médiane.
On mesure aussi la dispersion (l'étalement des données) avec l'étendue (différence entre la plus grande et la plus petite valeur). Choisir le bon indicateur selon la situation est une compétence essentielle en statistiques.
Une seule valeur très élevée tire la moyenne vers le haut, mais pas la médiane.
2. Médiane et quartiles
La médiane partage la série ordonnée en deux moitiés égales. Les quartiles vont plus loin en la partageant en quatre parts : — le premier quartile Q1 : au moins 25 % des valeurs lui sont inférieures ou égales ; — le troisième quartile Q3 : au moins 75 % des valeurs lui sont inférieures ou égales.
L'écart interquartile (Q3 − Q1) mesure la dispersion de la « moitié centrale » des données, en ignorant les valeurs extrêmes : c'est un indicateur de dispersion robuste.
Ces indicateurs permettent de résumer et de comparer des séries, et de repérer d'éventuelles valeurs atypiques. On les visualise souvent avec un diagramme en boîte (ou « boîte à moustaches »), qui représente d'un coup d'œil la médiane, les quartiles et l'étendue. C'est un outil très utilisé pour comparer plusieurs séries de données.
Q1 = 25 % des données sont en dessous ; Q3 = 75 % sont en dessous.
3. Modéliser une expérience aléatoire
Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat dépend du hasard : on ne peut pas le prévoir à l'avance (lancer un dé, tirer une carte, jouer à pile ou face).
Quelques mots de vocabulaire précis : l'ensemble de tous les résultats possibles s'appelle l'univers ; chaque résultat possible est une issue ; un événement est un ensemble d'issues (par exemple « obtenir un nombre pair » en lançant un dé).
La probabilité d'un événement est un nombre entre 0 et 1 qui mesure sa chance de se produire : 0 signifie impossible, 1 signifie certain, et 0,5 signifie « une chance sur deux ». Plus la probabilité est proche de 1, plus l'événement est probable. Modéliser une expérience aléatoire, c'est décrire son univers et attribuer des probabilités à ses issues.
Lancer un dé : univers = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ; P(obtenir 4) = 1/6.
4. Calculer des probabilités
En situation d'équiprobabilité — quand toutes les issues ont exactement la même chance de se produire (un dé équilibré, une pièce non truquée) — le calcul des probabilités devient simple.
La probabilité d'un événement vaut alors : nombre d'issues favorables ÷ nombre total d'issues. Exemple : la probabilité d'obtenir un nombre pair avec un dé à 6 faces est 3/6 = 1/2 (trois issues favorables : 2, 4, 6, sur six possibles).
On utilise aussi des propriétés utiles : la probabilité de l'événement contraire vaut 1 moins la probabilité de l'événement (probabilité de « ne pas obtenir 6 » = 1 − 1/6 = 5/6). Ces calculs permettent d'évaluer des chances dans les jeux, mais aussi dans des situations concrètes (contrôle qualité, prévisions…). Les probabilités mettent le hasard en équations.
P(obtenir un nombre pair avec un dé) = 3/6 = 1/2 ; P(ne pas l'obtenir) = 1 − 1/2 = 1/2.
Pour approfondir ce chapitrefacultatif
Définitions clés
- Médiane et quartiles
- La médiane partage la série en deux ; les quartiles Q1 et Q3 la partagent en quatre (25 %, 50 %, 75 %).
- Étendue / Écart interquartile
- L'étendue = max − min ; l'écart interquartile = Q3 − Q1, mesure la dispersion « au centre ».
- Probabilité
- Un nombre entre 0 et 1 mesurant la chance d'un événement.
- Réunion / Intersection
- A ∪ B (« A ou B ») ; A ∩ B (« A et B »). Elles interviennent dans le calcul des probabilités.
Explications détaillées
Résumer une série : position et dispersion
Pour décrire une série, on utilise des indicateurs de position (moyenne, médiane) et de dispersion (étendue, écart interquartile, écart-type).
La médiane et les quartiles résistent mieux aux valeurs extrêmes que la moyenne. L'écart interquartile (Q3 − Q1) indique la dispersion de la moitié « centrale » des données : deux séries de même moyenne peuvent avoir des dispersions très différentes.
Probabilités : réunion et complémentaire
Pour deux événements, la formule fondamentale est : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). On soustrait l'intersection pour ne pas la compter deux fois.
L'événement contraire (complémentaire) est aussi très utile : P(non A) = 1 − P(A). Souvent, calculer le contraire est plus simple que de calculer directement.
Méthode pas à pas
Déterminer la médiane et les quartiles
- Ranger les valeurs dans l'ordre croissant.
- Médiane : la valeur qui partage la série en deux moitiés.
- Q1 : valeur telle qu'au moins 25 % des données lui sont inférieures ou égales.
- Q3 : valeur telle qu'au moins 75 % des données lui sont inférieures ou égales.
Exemple corrigé pas à pas
Probabilité d'une réunion
On tire une carte dans un jeu de 52. Quelle est la probabilité d'obtenir un roi OU un cœur ?
- P(roi) = 4/52 ; P(cœur) = 13/52.
- Le roi de cœur est compté deux fois : P(roi ET cœur) = 1/52.
- P(roi ou cœur) = 4/52 + 13/52 − 1/52.
- = 16/52 = 4/13.
Erreurs fréquentes à éviter
- Additionner P(A) et P(B) sans retirer l'intersection.P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) : on soustrait ce qui est compté deux fois.
- Confondre moyenne et médiane.La moyenne additionne et divise ; la médiane est la valeur centrale d'une série ordonnée.
- Oublier de ranger les données avant de chercher les quartiles.Médiane et quartiles se lisent toujours sur une série rangée dans l'ordre croissant.
Pour aller plus loin
Statistiques et prise de décision
Les indicateurs statistiques sont au cœur de nombreuses décisions : santé publique, sondages, contrôle qualité, sciences. Savoir résumer et interpréter des données — tout en repérant leurs limites — est une compétence essentielle du citoyen et du scientifique. En Terminale, l'étude de la fluctuation d'échantillonnage prolongera ces notions.
Ce qu'il faut absolument retenir
Ce qu'il faut absolument retenir
- Indicateurs de position : moyenne (somme ÷ effectif) et médiane (partage la série en deux moitiés).
- Quartiles Q1 (25 %) et Q3 (75 %) ; écart interquartile Q3 − Q1 mesure la dispersion centrale.
- Expérience aléatoire : l'univers est l'ensemble des issues ; un événement en est un sous-ensemble.
- Une probabilité est entre 0 et 1 ; la somme des probabilités de toutes les issues vaut 1.
- Équiprobabilité : P = issues favorables ÷ issues totales ; P(contraire) = 1 − P.
Vérifie ta compréhension
Exercice 1Quel indicateur partage une série ordonnée en deux moitiés de même effectif ?
La médiane partage la série ordonnée en deux groupes de même effectif.
Exercice 2Que représente le premier quartile Q1 ?
Q1 est la valeur telle que 25 % des données lui sont inférieures ou égales.
Exercice 3En lançant un dé équilibré, quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair ?
3 issues favorables (2, 4, 6) sur 6 : 3/6 = 1/2.
Exercice 4La moyenne est plus sensible aux valeurs extrêmes que la médiane.
Vrai : une valeur extrême modifie fortement la moyenne, mais peu ou pas la médiane.
Exercice 5Si la probabilité d'un événement est 0,3, quelle est celle de l'événement contraire ?
P(contraire) = 1 − P = 1 − 0,3 = 0,7.
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