CoursMathématiques · 2de
Et si on faisait de la géométrie avec des nombres ? En plaçant les figures dans un repère, on peut calculer des distances, des milieux, et manipuler des vecteurs — des outils qui relient géométrie et calcul, très utilisés en physique.
Le cours
Dans un repère du plan, chaque point est défini par deux coordonnées (x ; y) : l'abscisse et l'ordonnée. On peut alors décrire et calculer sur les figures à l'aide de nombres.
La géométrie repérée transforme les problèmes géométriques en calculs.
Le point A(2 ; 3) a pour abscisse 2 et pour ordonnée 3.
Deux formules clés. Le milieu M de [AB] a pour coordonnées la moyenne des coordonnées de A et B. La distance AB se calcule grâce au théorème de Pythagore : AB = √((xB − xA)² + (yB − yA)²).
Ces formules permettent de mesurer sans règle.
Milieu de A(1 ; 2) et B(3 ; 6) : M(2 ; 4). Distance : AB = √(2² + 4²) = √20.
Un vecteur représente un déplacement : il a une direction, un sens et une longueur (la norme). Le vecteur AB a pour coordonnées (xB − xA ; yB − yA). Deux vecteurs égaux ont les mêmes coordonnées.
Les vecteurs servent à décrire des translations et, en physique, des forces.
De A(1 ; 2) à B(4 ; 6), le vecteur AB a pour coordonnées (3 ; 4).
On peut additionner des vecteurs et les multiplier par un nombre. Deux vecteurs sont colinéaires s'ils ont la même direction (l'un est un multiple de l'autre) : c'est l'outil pour prouver que des points sont alignés ou que des droites sont parallèles.
La colinéarité traduit géométriquement le parallélisme.
Si AB et CD sont colinéaires, alors les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
Ce qu'il faut absolument retenir
Vérifie ta compréhension
Exercice 1Quelles sont les coordonnées du milieu de A(1 ; 2) et B(3 ; 6) ?
Le milieu est la moyenne des coordonnées : ((1+3)/2 ; (2+6)/2) = (2 ; 4).
Exercice 2Quelles sont les coordonnées du vecteur AB avec A(1 ; 2) et B(4 ; 6) ?
AB = (xB − xA ; yB − yA) = (4 − 1 ; 6 − 2) = (3 ; 4).
Exercice 3Comment calcule-t-on la distance AB dans un repère ?
On applique Pythagore : AB = √((xB − xA)² + (yB − yA)²).
Exercice 4Si deux vecteurs sont colinéaires, les droites correspondantes sont parallèles (ou les points alignés).
Vrai : la colinéarité (même direction) traduit le parallélisme ou l'alignement.
Exercice 5Quelle est la distance AB pour A(0 ; 0) et B(3 ; 4) ?
AB = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.