Le cours
1. Le repère et les coordonnées
La géométrie repérée permet de décrire des points par des nombres, grâce à un repère et des coordonnées. Comprendre ces notions est essentiel, car elles relient la géométrie et le calcul.
Un repère du plan est constitué de deux axes gradués (généralement perpendiculaires) : un axe horizontal (l'axe des abscisses) et un axe vertical (l'axe des ordonnées), qui se croisent en un point appelé origine. Grâce à ce repère, chaque point du plan peut être repéré par deux nombres, appelés ses coordonnées : l'abscisse (position horizontale) et l'ordonnée (position verticale). On note un point par ses coordonnées, par exemple A(3 ; 2), ce qui signifie que le point A a pour abscisse 3 et pour ordonnée 2. Le repère permet ainsi de traduire des positions géométriques en nombres, et inversement. C'est le fondement de la géométrie repérée (ou géométrie analytique), qui relie la géométrie et le calcul : on peut étudier des figures géométriques à l'aide de calculs sur les coordonnées. Le repère et les coordonnées sont aussi à la base de la représentation graphique des fonctions. Comprendre le repère et les coordonnées, c'est acquérir un outil fondamental qui relie la géométrie et le calcul, et qui permet de décrire précisément la position des points, une base essentielle pour la géométrie et l'étude des fonctions au lycée.
Comprendre le repère et les coordonnées est essentiel, car ils relient la géométrie et le calcul. Ces notions sont fondamentales en mathématiques. Elles sont approfondies dans le supérieur, où la géométrie analytique (repérée) est constamment utilisée.
Le point A(2 ; 3) a pour abscisse 2 et pour ordonnée 3.
2. Distance et milieu
Grâce aux coordonnées, on peut calculer des distances entre points et déterminer le milieu d'un segment. Comprendre ces calculs est essentiel, car ils sont très utiles en géométrie repérée.
Dans un repère, connaissant les coordonnées de deux points, on peut calculer la distance qui les sépare et déterminer le milieu du segment qui les relie. La distance entre deux points se calcule grâce à une formule (qui découle du théorème de Pythagore) faisant intervenir les coordonnées des deux points. Cette formule permet de trouver la longueur d'un segment à partir des coordonnées de ses extrémités, sans avoir à mesurer. Le milieu d'un segment est le point situé exactement à mi-chemin entre les deux extrémités ; ses coordonnées se calculent en faisant la moyenne des coordonnées des deux extrémités (moyenne des abscisses, moyenne des ordonnées). Ces calculs sont très utiles en géométrie repérée : ils permettent de déterminer des longueurs, de repérer des points particuliers, de démontrer des propriétés de figures (par exemple, montrer qu'un point est le milieu d'un segment, ou comparer des longueurs). Ils illustrent la puissance de la géométrie repérée : grâce aux coordonnées et au calcul, on peut résoudre des problèmes géométriques. Comprendre les calculs de distance et de milieu, c'est acquérir des outils essentiels de la géométrie repérée, qui relient le calcul et la géométrie.
Comprendre les calculs de distance et de milieu est essentiel, car ils sont très utiles en géométrie repérée. Ces calculs sont fondamentaux. Ils sont approfondis dans le supérieur, où la géométrie analytique et les calculs de distances sont constamment utilisés.
Milieu de A(1 ; 2) et B(3 ; 6) : M(2 ; 4). Distance : AB = √(2² + 4²) = √20.
3. Les vecteurs
Les vecteurs sont un outil mathématique puissant pour décrire des déplacements et des directions. Comprendre cette notion est essentiel, car les vecteurs sont très utilisés en mathématiques et en physique.
Un vecteur est un objet mathématique qui représente un déplacement : il possède une direction, un sens et une longueur (appelée norme). On peut se représenter un vecteur comme une flèche : la flèche indique la direction et le sens du déplacement, et sa longueur en indique l'intensité. Par exemple, un vecteur peut représenter le déplacement qui mène d'un point A à un point B (noté vecteur AB). Deux déplacements identiques (même direction, même sens, même longueur) correspondent au même vecteur, même s'ils partent de points différents. Dans un repère, un vecteur peut être décrit par ses coordonnées (qui indiquent le déplacement horizontal et vertical). Les vecteurs sont un outil très puissant : ils permettent de décrire et de manipuler des déplacements, des directions, et sont à la base de nombreux raisonnements géométriques. Ils sont aussi fondamentaux en physique, où ils représentent des grandeurs ayant une direction (comme les forces, les vitesses). Comprendre la notion de vecteur, c'est acquérir un outil mathématique essentiel, à la fois pour la géométrie et pour les sciences, qui sera largement utilisé au lycée et au-delà.
Comprendre les vecteurs est essentiel, car ils sont très utilisés en mathématiques et en physique. Cette notion est fondamentale. Elle est approfondie dans le supérieur, où les vecteurs sont au cœur de la géométrie, de l'algèbre linéaire et de la physique.
De A(1 ; 2) à B(4 ; 6), le vecteur AB a pour coordonnées (3 ; 4).
4. Opérations et colinéarité
Les vecteurs peuvent se combiner grâce à des opérations, et la notion de colinéarité permet d'étudier leur alignement. Comprendre ces notions est essentiel pour utiliser pleinement les vecteurs.
On peut effectuer des opérations sur les vecteurs. On peut additionner deux vecteurs : additionner deux déplacements revient à les enchaîner (le vecteur somme représente le déplacement total). On peut aussi multiplier un vecteur par un nombre : cela modifie sa longueur (et éventuellement son sens si le nombre est négatif), en gardant la même direction. Ces opérations, qui se traduisent simplement sur les coordonnées, permettent de combiner et de manipuler les vecteurs. La notion de colinéarité est importante : deux vecteurs sont colinéaires s'ils ont la même direction (l'un est un multiple de l'autre). La colinéarité est très utile en géométrie : elle permet notamment de démontrer que des points sont alignés, ou que des droites sont parallèles. Par exemple, si deux vecteurs sont colinéaires, les directions qu'ils représentent sont parallèles. Les opérations sur les vecteurs et la colinéarité font des vecteurs un outil puissant pour résoudre des problèmes de géométrie (alignement, parallélisme) par le calcul. Comprendre ces notions, c'est maîtriser pleinement l'outil vectoriel, essentiel en géométrie repérée et largement utilisé en mathématiques et en physique.
Comprendre les opérations sur les vecteurs et la colinéarité est essentiel, car elles permettent d'utiliser pleinement les vecteurs. Ces notions sont fondamentales. Elles sont approfondies dans le supérieur, en algèbre linéaire et en géométrie, où les opérations vectorielles sont essentielles.
Si AB et CD sont colinéaires, alors les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
Pour approfondir ce chapitrefacultatif
Définitions clés
- Repère
- Un système d'axes (souvent orthonormé) qui permet de repérer chaque point par ses coordonnées (x ; y).
- Vecteur
- Un objet caractérisé par une direction, un sens et une longueur (norme). Il représente un déplacement.
- Coordonnées d'un vecteur
- Pour AB, elles se calculent par (x_B − x_A ; y_B − y_A).
- Milieu d'un segment
- Le point de coordonnées ((x_A + x_B)/2 ; (y_A + y_B)/2).
Explications détaillées
Se repérer et calculer dans le plan
Dans un repère orthonormé, chaque point a des coordonnées (x ; y). On peut alors calculer :
— la distance entre deux points A et B : AB = √((x_B − x_A)² + (y_B − y_A)²) ; — les coordonnées du milieu d'un segment, en faisant la moyenne des coordonnées.
La géométrie devient ainsi du calcul : c'est la géométrie analytique.
Les vecteurs, pour décrire un déplacement
Un vecteur AB représente le déplacement de A vers B : direction, sens et longueur. Ses coordonnées sont (x_B − x_A ; y_B − y_A).
On additionne des vecteurs, on les multiplie par un nombre. Deux vecteurs colinéaires ont la même direction : c'est ce qui permet de prouver que des points sont alignés ou que des droites sont parallèles.
Méthode pas à pas
Calculer les coordonnées d'un vecteur et une distance
- Relever les coordonnées des points A (x_A ; y_A) et B (x_B ; y_B).
- Coordonnées du vecteur AB : (x_B − x_A ; y_B − y_A).
- Distance AB : appliquer √((x_B − x_A)² + (y_B − y_A)²).
- Vérifier la cohérence des résultats (une distance est positive).
Exemple corrigé pas à pas
Vecteur et distance
Soit A(1 ; 2) et B(4 ; 6). Déterminer les coordonnées de AB et la distance AB.
- Coordonnées de AB : (4 − 1 ; 6 − 2) = (3 ; 4).
- Distance : AB = √(3² + 4²).
- AB = √(9 + 16) = √25.
- AB = 5.
Erreurs fréquentes à éviter
- Inverser l'ordre dans le calcul des coordonnées d'un vecteur.Pour AB, on calcule toujours « arrivée − départ » : (x_B − x_A ; y_B − y_A).
- Oublier les carrés ou la racine dans la formule de distance.La distance est √((x_B − x_A)² + (y_B − y_A)²), avec carrés ET racine.
- Confondre un point et un vecteur.Un point a une position ; un vecteur représente un déplacement (direction, sens, longueur).
Pour aller plus loin
Les vecteurs, langage de la physique
Les vecteurs ne servent pas qu'en géométrie : en physique, une force, une vitesse ou une accélération sont des vecteurs (avec direction, sens et intensité). Ce langage commun aux maths et à la physique montre la puissance de l'outil vectoriel pour décrire le monde réel et les mouvements.
Ce qu'il faut absolument retenir
Ce qu'il faut absolument retenir
- Dans un repère, un point est défini par ses coordonnées (x ; y) : abscisse et ordonnée.
- Milieu de [AB] : moyenne des coordonnées de A et B.
- Distance AB = √((xB − xA)² + (yB − yA)²) (Pythagore en repère).
- Le vecteur AB a pour coordonnées (xB − xA ; yB − yA) ; il a direction, sens et norme.
- Deux vecteurs colinéaires ont la même direction : cela prouve l'alignement de points ou le parallélisme de droites.
Vérifie ta compréhension
Exercice 1Quelles sont les coordonnées du milieu de A(1 ; 2) et B(3 ; 6) ?
Le milieu est la moyenne des coordonnées : ((1+3)/2 ; (2+6)/2) = (2 ; 4).
Exercice 2Quelles sont les coordonnées du vecteur AB avec A(1 ; 2) et B(4 ; 6) ?
AB = (xB − xA ; yB − yA) = (4 − 1 ; 6 − 2) = (3 ; 4).
Exercice 3Comment calcule-t-on la distance AB dans un repère ?
On applique Pythagore : AB = √((xB − xA)² + (yB − yA)²).
Exercice 4Si deux vecteurs sont colinéaires, les droites correspondantes sont parallèles (ou les points alignés).
Vrai : la colinéarité (même direction) traduit le parallélisme ou l'alignement.
Exercice 5Quelle est la distance AB pour A(0 ; 0) et B(3 ; 4) ?
AB = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
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