Le cours
1. Multiplier et diviser des nombres relatifs
En 5ᵉ, on a appris à additionner et soustraire les nombres relatifs ; en 4ᵉ, on apprend à les multiplier et à les diviser. La règle des signes est simple et essentielle à retenir : — deux nombres de même signe donnent un résultat positif (+ × + = + et − × − = +) ; — deux nombres de signes différents donnent un résultat négatif (+ × − = − et − × + = −).
Exemples : (−3) × (−4) = +12 ; (−5) × 2 = −10 ; (+6) ÷ (−2) = −3.
Un moyen de retenir : « l'ami de mon ami est mon ami, l'ennemi de mon ennemi est mon ami ». La même règle vaut pour la division. Ces règles s'appliquent ensuite dans tout le calcul (calcul littéral, équations), il est donc crucial de les maîtriser parfaitement.
(−4) × (−3) = +12 ; (−4) × 3 = −12 ; (+12) ÷ (−4) = −3.
2. Calculer avec les fractions
On consolide tous les calculs sur les fractions. Pour additionner ou soustraire deux fractions, il faut d'abord les mettre au même dénominateur (le nombre du bas), puis additionner (ou soustraire) les numérateurs.
Exemple : 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6.
Pour multiplier deux fractions, c'est plus simple : on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux (2/3 × 4/5 = 8/15). Pour diviser par une fraction, on multiplie par son inverse (diviser par 2/3 revient à multiplier par 3/2).
On pense toujours à simplifier le résultat quand c'est possible. Ces calculs sur les fractions sont indispensables pour la suite (proportions, probabilités, calcul littéral) et reviennent constamment au lycée : mieux vaut être à l'aise avec eux.
Diviser par 2/3 revient à multiplier par 3/2 : (4/5) ÷ (2/3) = (4/5) × (3/2) = 12/10 = 6/5.
3. Les puissances
Une puissance est une multiplication répétée d'un même nombre. On écrit 10⁴ pour 10 × 10 × 10 × 10 : le grand nombre (10) est la base, le petit nombre en haut (4) est l'exposant, qui indique combien de fois on multiplie la base par elle-même.
Exemples : 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 ; 5² = 25 ; 10⁶ = 1 000 000.
Les puissances sont très pratiques pour écrire de grands nombres et pour de nombreux calculs. Elles obéissent à des règles : par exemple, 10² × 10³ = 10⁵ (on additionne les exposants pour une même base). Cas particuliers utiles : tout nombre à la puissance 1 est lui-même, et (sauf 0) à la puissance 0 vaut 1. Les puissances de 10, en particulier, sont à la base de la notation scientifique.
10⁴ = 10 × 10 × 10 × 10 = 10 000 ; 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32.
4. La notation scientifique
Grâce aux puissances de 10, on peut écrire les très grands ou les très petits nombres de façon compacte et lisible : c'est la notation scientifique. Elle évite d'aligner d'interminables séries de zéros.
Un nombre en notation scientifique s'écrit sous la forme a × 10ⁿ, où a est un nombre compris entre 1 et 10 (un seul chiffre avant la virgule), et n un entier relatif (positif pour les grands nombres, négatif pour les petits).
Exemples : 3 000 000 s'écrit 3 × 10⁶ ; 0,0004 s'écrit 4 × 10⁻⁴. Cette notation est indispensable en sciences, où l'on manipule des nombres extrêmes : la distance Terre-Soleil (environ 1,5 × 10¹¹ m) ou la taille d'un atome (environ 10⁻¹⁰ m). Elle rend ces nombres beaucoup plus faciles à écrire, à lire et à comparer.
3 000 000 = 3 × 10⁶ ; cette écriture est la notation scientifique.
Pour approfondir ce chapitrefacultatif
Définitions clés
- Puissance
- Une écriture abrégée d'un produit de facteurs identiques : aⁿ = a × a × … × a (n fois). Ainsi 2³ = 2 × 2 × 2 = 8.
- Exposant
- Le petit nombre en haut à droite qui indique combien de fois on multiplie : dans 5⁴, l'exposant est 4.
- Puissance de 10
- 10ⁿ = 1 suivi de n zéros : 10³ = 1000. Elles servent à écrire les très grands et très petits nombres.
- Règle des signes
- Pour la multiplication : deux nombres de même signe donnent un résultat positif, de signes contraires un résultat négatif.
Explications détaillées
Comprendre les puissances
Une puissance compte des multiplications répétées : 3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 81. Attention, ce n'est pas 3 × 4 !
Deux cas particuliers utiles : a¹ = a (une seule fois) et a⁰ = 1 (par convention). Les puissances de 10 sont les plus simples : 10² = 100, 10⁶ = 1 000 000.
Multiplier et diviser des nombres relatifs
La règle des signes est la clé : (+)×(+) = + ; (−)×(−) = + ; (+)×(−) = − ; (−)×(+) = −.
Pour un produit de plusieurs facteurs, on compte les signes « − » : un nombre pair de « − » donne un résultat positif, un nombre impair donne un résultat négatif.
Méthode pas à pas
Calculer en respectant les priorités opératoires
- Effectuer d'abord ce qui est entre parenthèses.
- Calculer ensuite les puissances.
- Puis les multiplications et divisions, de gauche à droite.
- Enfin les additions et soustractions, de gauche à droite.
Exemple corrigé pas à pas
Un calcul avec puissances et priorités
Calculer A = 3 + 4 × 2².
- On calcule d'abord la puissance : 2² = 4.
- L'expression devient : A = 3 + 4 × 4.
- On effectue la multiplication avant l'addition : 4 × 4 = 16.
- Enfin l'addition : A = 3 + 16 = 19.
Erreurs fréquentes à éviter
- Calculer 3² comme 3 × 2 = 6.3² signifie 3 × 3 = 9. L'exposant compte le nombre de facteurs, il ne se multiplie pas.
- Se tromper de signe : (−4) × (−3) = −12.Deux nombres négatifs donnent un produit positif : (−4) × (−3) = +12.
- Additionner avant de multiplier (3 + 4 × 2 = 14).La multiplication est prioritaire : 3 + 4 × 2 = 3 + 8 = 11.
Pour aller plus loin
L'écriture scientifique
Les puissances de 10 permettent d'écrire commodément des nombres gigantesques ou minuscules. La distance Terre-Soleil, environ 150 000 000 km, s'écrit 1,5 × 10⁸ km. La taille d'un atome, quelques 0,000 000 000 1 m, s'écrit 10⁻¹⁰ m. C'est l'écriture scientifique, indispensable en physique et en astronomie.
Ce qu'il faut absolument retenir
Ce qu'il faut absolument retenir
- Règle des signes (× et ÷) : même signe → résultat positif ; signes différents → résultat négatif.
- Additionner des fractions : même dénominateur ; multiplier : numérateurs entre eux, dénominateurs entre eux.
- Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse (÷ 2/3 = × 3/2).
- Une puissance est une multiplication répétée : 10⁴ = 10 × 10 × 10 × 10 ; l'exposant indique le nombre de facteurs.
- La notation scientifique écrit un nombre entre 1 et 10 multiplié par une puissance de 10 (3 000 000 = 3 × 10⁶).
Vérifie ta compréhension
Exercice 1Combien vaut (−4) × (−3) ?
Deux nombres de même signe (ici négatifs) donnent un résultat positif : +12.
Exercice 2Combien vaut 10⁴ ?
10⁴ = 10 × 10 × 10 × 10 = 10 000.
Exercice 3Diviser par la fraction 2/3 revient à multiplier par…
Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse : ici, 3/2.
Exercice 4Le produit (−5) × 2 est un nombre positif.
Faux : signes différents (− et +) → résultat négatif. (−5) × 2 = −10.
Exercice 5Comment s'écrit 3 000 000 en notation scientifique ?
3 000 000 = 3 × 1 000 000 = 3 × 10⁶.
L'essentiel en images
