Nombres et calculs : relatifs, fractions et puissances

1. Multiplier et diviser des nombres relatifs

En 5ᵉ, on a appris à additionner et soustraire les nombres relatifs ; en 4ᵉ, on apprend à les multiplier et à les diviser. La règle des signes est simple et essentielle à retenir : — deux nombres de même signe donnent un résultat positif (+ × + = + et − × − = +) ; — deux nombres de signes différents donnent un résultat négatif (+ × − = − et − × + = −).

Exemples : (−3) × (−4) = +12 ; (−5) × 2 = −10 ; (+6) ÷ (−2) = −3.

Un moyen de retenir : « l'ami de mon ami est mon ami, l'ennemi de mon ennemi est mon ami ». La même règle vaut pour la division. Ces règles s'appliquent ensuite dans tout le calcul (calcul littéral, équations), il est donc crucial de les maîtriser parfaitement.

2. Calculer avec les fractions

On consolide tous les calculs sur les fractions. Pour additionner ou soustraire deux fractions, il faut d'abord les mettre au même dénominateur (le nombre du bas), puis additionner (ou soustraire) les numérateurs.

Exemple : 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6.

Pour multiplier deux fractions, c'est plus simple : on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux (2/3 × 4/5 = 8/15). Pour diviser par une fraction, on multiplie par son inverse (diviser par 2/3 revient à multiplier par 3/2).

On pense toujours à simplifier le résultat quand c'est possible. Ces calculs sur les fractions sont indispensables pour la suite (proportions, probabilités, calcul littéral) et reviennent constamment au lycée : mieux vaut être à l'aise avec eux.

3. Les puissances

Une puissance est une multiplication répétée d'un même nombre. On écrit 10⁴ pour 10 × 10 × 10 × 10 : le grand nombre (10) est la base, le petit nombre en haut (4) est l'exposant, qui indique combien de fois on multiplie la base par elle-même.

Exemples : 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 ; 5² = 25 ; 10⁶ = 1 000 000.

Les puissances sont très pratiques pour écrire de grands nombres et pour de nombreux calculs. Elles obéissent à des règles : par exemple, 10² × 10³ = 10⁵ (on additionne les exposants pour une même base). Cas particuliers utiles : tout nombre à la puissance 1 est lui-même, et (sauf 0) à la puissance 0 vaut 1. Les puissances de 10, en particulier, sont à la base de la notation scientifique.

4. La notation scientifique

Grâce aux puissances de 10, on peut écrire les très grands ou les très petits nombres de façon compacte et lisible : c'est la notation scientifique. Elle évite d'aligner d'interminables séries de zéros.

Un nombre en notation scientifique s'écrit sous la forme a × 10ⁿ, où a est un nombre compris entre 1 et 10 (un seul chiffre avant la virgule), et n un entier relatif (positif pour les grands nombres, négatif pour les petits).

Exemples : 3 000 000 s'écrit 3 × 10⁶ ; 0,0004 s'écrit 4 × 10⁻⁴. Cette notation est indispensable en sciences, où l'on manipule des nombres extrêmes : la distance Terre-Soleil (environ 1,5 × 10¹¹ m) ou la taille d'un atome (environ 10⁻¹⁰ m). Elle rend ces nombres beaucoup plus faciles à écrire, à lire et à comparer.