CoursMathématiques · 4e
En 4ᵉ, le calcul littéral devient un vrai outil. On apprend à développer (transformer un produit en somme) et à factoriser (l'opération inverse). Ces deux gestes sont la base de l'algèbre et serviront pendant toutes les années à venir.
Le cours
Une expression littérale contient des lettres qui représentent des nombres. On peut la simplifier en regroupant les termes semblables (par exemple 3x + 2x = 5x).
Manipuler ces expressions permet d'écrire des formules générales et de résoudre des problèmes.
3x + 2x = 5x ; 5a − a = 4a.
Développer, c'est transformer un produit en une somme. Avec la simple distributivité, on multiplie le facteur situé devant la parenthèse par chaque terme : k(a + b) = ka + kb.
Il ne faut jamais oublier de multiplier le deuxième terme.
5(x + 3) = 5x + 15 ; 4(2x − 1) = 8x − 4.
Quand on multiplie deux parenthèses, on utilise la double distributivité : chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde. (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.
On obtient ainsi quatre produits, qu'on simplifie ensuite si possible.
(x + 2)(x + 3) = x×x + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6.
Factoriser, c'est transformer une somme en produit : c'est l'inverse de développer. On repère un facteur commun à tous les termes et on le met en évidence : ka + kb = k(a + b).
Factoriser permet de simplifier des expressions et, plus tard, de résoudre des équations.
6x + 9 = 3 × 2x + 3 × 3 = 3(2x + 3) (le facteur commun est 3).
Ce qu'il faut absolument retenir
Vérifie ta compréhension
Exercice 1Développe 5(x + 3).
Distributivité : 5 × x + 5 × 3 = 5x + 15.
Exercice 2Développe (x + 2)(x + 3).
Double distributivité : x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6.
Exercice 3Factorise 6x + 9.
Le facteur commun est 3 : 6x + 9 = 3 × 2x + 3 × 3 = 3(2x + 3).
Exercice 4Factoriser est l'opération inverse de développer.
Vrai : développer va du produit vers la somme, factoriser fait le chemin inverse.
Exercice 5Combien de produits obtient-on en développant (a + b)(c + d) ?
Chaque terme de gauche multiplie chaque terme de droite : ac, ad, bc, bd → 4 produits.