Le cours
1. Lire et écrire les nombres : la numération de position
Dans notre système, la position d'un chiffre indique sa valeur. Dans 3 729, le 3 vaut 3 milliers, le 7 vaut 7 centaines, le 2 vaut 2 dizaines et le 9 vaut 9 unités. C'est la numération de position.
Les nombres décimaux prolongent ce principe après la virgule : le premier rang est celui des dixièmes, puis des centièmes, puis des millièmes. Dans 5,7 le chiffre 7 représente 7 dixièmes, c'est-à-dire 7 parts d'une unité partagée en 10.
3 729 = 3 milliers + 7 centaines + 2 dizaines + 9 unités. Dans 5,7 → 7 est le chiffre des dixièmes.
2. Additionner, soustraire, multiplier
Ces trois opérations se posent en colonnes, en alignant bien les chiffres (et la virgule pour les décimaux). Le calcul mental et les ordres de grandeur servent à vérifier rapidement qu'un résultat est plausible.
Quand un calcul mélange plusieurs opérations, il y a des règles de priorité : on calcule d'abord ce qui est entre parenthèses, puis les multiplications et divisions, et enfin les additions et soustractions. Ainsi 3 + 4 × 2 ne fait pas 14 mais 11, car on calcule 4 × 2 = 8 avant d'ajouter 3.
3 + 4 × 2 = 3 + 8 = 11 (la multiplication passe avant l'addition).
3. La division : euclidienne et décimale
Diviser, c'est partager ou grouper. Dans la division euclidienne, on cherche un quotient entier et un reste. Par exemple, 47 partagé en groupes de 5 donne 9 groupes et il reste 2 : on écrit 47 = 5 × 9 + 2, et le reste (2) est toujours plus petit que le diviseur (5).
On peut vérifier toute division en faisant le calcul à l'envers : diviseur × quotient + reste doit redonner le nombre de départ. C'est la preuve de la division.
47 = 5 × 9 + 2, et 2 < 5. Vérification : 5 × 9 + 2 = 47. ✅
4. Les fractions : une autre écriture des nombres
Une fraction comme 3/4 signifie « 3 parts sur 4 » : on partage une unité en 4 parts égales et on en prend 3. Une fraction est aussi le résultat d'une division (3/4 = 3 ÷ 4).
Certaines fractions valent un nombre entier (4/4 = 1 ; 8/2 = 4). En 6ᵉ, on apprend surtout à comprendre, lire et placer des fractions simples (demis, tiers, quarts, dixièmes) sur une droite graduée.
3/4 = trois parts d'un tout partagé en quatre. 1/2 = 0,5 ; 1/4 = 0,25.
5. Résoudre un problème : la méthode
Face à un problème, on suit toujours les mêmes étapes : lire l'énoncé en entier, repérer la question (ce qu'on cherche), trier les informations utiles, choisir la bonne opération, calculer, puis vérifier que la réponse a un sens (bon ordre de grandeur, bonne unité).
La difficulté n'est presque jamais le calcul : c'est de choisir quelle opération fait quoi. Se demander « est-ce que je rassemble, je retire, je partage ou je répète ? » aide à décider.
« 12 rangées de 24 sièges » → on répète 24 douze fois → multiplication : 12 × 24 = 288 sièges.
Pour approfondir ce chapitrefacultatif
Définitions clés
- Chiffre / Nombre
- Un chiffre est un symbole (0, 1, 2, …, 9) ; un nombre est formé d'un ou plusieurs chiffres. Ainsi 25 est un nombre écrit avec les chiffres 2 et 5.
- Nombre entier
- Un nombre sans partie après la virgule (0, 1, 2, 3, …).
- Nombre décimal
- Un nombre qui peut avoir une partie après la virgule, comme 3,25. La virgule sépare la partie entière de la partie décimale.
- Quotient
- Le résultat d'une division. Dans « 20 divisé par 4 », le quotient est 5.
Explications détaillées
La valeur d'un chiffre selon sa position
Dans un nombre décimal, chaque chiffre a une valeur qui dépend de sa position. Avant la virgule : unités, dizaines, centaines… Après la virgule : dixièmes, centièmes, millièmes.
Par exemple, dans 3,25 : le 3 vaut 3 unités, le 2 vaut 2 dixièmes et le 5 vaut 5 centièmes. C'est la position qui donne sa valeur au chiffre.
Le vocabulaire des quatre opérations
Chaque opération a son résultat : l'addition donne une somme, la soustraction une différence, la multiplication un produit et la division un quotient. Connaître ce vocabulaire aide à comprendre les énoncés des problèmes.
Méthode pas à pas
Additionner ou soustraire des nombres décimaux
- Écrire les nombres les uns sous les autres en alignant bien les virgules.
- Compléter si besoin avec des zéros pour que les parties décimales aient la même longueur.
- Calculer comme pour des entiers, colonne par colonne, de droite à gauche.
- Placer la virgule du résultat sous les autres virgules.
Résoudre un problème
- Lire l'énoncé en entier et repérer la question posée.
- Relever les informations utiles (les nombres et ce qu'ils représentent).
- Choisir la ou les opérations, puis calculer.
- Vérifier que le résultat est vraisemblable.
- Rédiger une phrase de réponse.
Exemple corrigé pas à pas
Un calcul avec des décimaux
Calculer 12,5 + 3,75.
- On aligne les virgules et on complète 12,5 en 12,50.
- On additionne les centièmes : 0 + 5 = 5.
- Les dixièmes : 5 + 7 = 12, on écrit 2 et on retient 1.
- Les unités : 2 + 3 + 1 (retenue) = 6 ; les dizaines : 1.
- Résultat : 12,5 + 3,75 = 16,25.
Erreurs fréquentes à éviter
- Mal aligner les virgules dans une addition de décimaux.On aligne toujours les virgules les unes sous les autres, pas les derniers chiffres.
- Confondre un chiffre et un nombre.Un chiffre est un symbole (de 0 à 9) ; un nombre est composé d'un ou plusieurs chiffres.
- Oublier d'écrire la phrase de réponse à la fin d'un problème.Un problème se termine par une phrase qui répond à la question posée, avec l'unité.
Pour aller plus loin
D'où viennent nos chiffres ?
Les chiffres que nous utilisons (0, 1, 2, …) sont appelés « chiffres arabes », mais ils ont été inventés en Inde il y a plus de mille ans, puis transmis par les mathématiciens arabes. Leur grande force est le zéro et la numération de position : la valeur d'un chiffre dépend de sa place, ce qui permet d'écrire tous les nombres avec seulement dix symboles.
Ce qu'il faut absolument retenir
Ce qu'il faut absolument retenir
- La valeur d'un chiffre dépend de sa position : milliers, centaines, dizaines, unités… puis dixièmes, centièmes après la virgule.
- Priorités de calcul : parenthèses d'abord, puis × et ÷, enfin + et −.
- Division euclidienne : dividende = diviseur × quotient + reste, avec reste < diviseur.
- Une fraction a/b, c'est a parts d'un tout partagé en b parts égales (et aussi a ÷ b).
- Pour un problème : lire, repérer la question, choisir l'opération, calculer, vérifier.
Vérifie ta compréhension
Exercice 1Dans le nombre 3 729, quel est le chiffre des centaines ?
Dans 3 729 : 3 = milliers, 7 = centaines, 2 = dizaines, 9 = unités. Le chiffre des centaines est donc 7.
Exercice 2Dans la division euclidienne de 47 par 5, quel est le reste ?
5 × 9 = 45, et 47 − 45 = 2. Le reste est 2, bien plus petit que le diviseur 5.
Exercice 3Combien vaut 3 + 4 × 2 ?
On effectue la multiplication avant l'addition : 4 × 2 = 8, puis 3 + 8 = 11.
Exercice 4Dans le nombre 5,7 le chiffre 7 est le chiffre des dixièmes.
Vrai : juste après la virgule se trouve le rang des dixièmes.
Exercice 5Un cinéma a 12 rangées de 24 sièges. Combien de sièges en tout ? Explique ton calcul.
On répète 24 sièges douze fois, donc on multiplie : 12 × 24 = 288 sièges.
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