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Comment démontrer qu'une propriété est vraie pour tous les entiers, à l'infini ? Le raisonnement par récurrence est un outil puissant et élégant, l'une des grandes nouveautés de la terminale, indispensable pour étudier les suites.
Le cours
Une suite associe à chaque entier n un terme uₙ. On l'étudie : sens de variation (croissante/décroissante), limite éventuelle. En terminale, on approfondit ces notions avec de nouveaux outils, dont la récurrence.
Les suites décrivent une évolution étape par étape.
Une suite peut être définie par récurrence : u₀ donné et uₙ₊₁ en fonction de uₙ.
Le raisonnement par récurrence démontre qu'une propriété est vraie pour tout entier n. Il repose sur deux étapes : l'initialisation (la propriété est vraie au premier rang) et l'hérédité (si elle est vraie à un rang n, alors elle l'est au rang suivant). Si les deux sont établies, la propriété est vraie pour tout n.
C'est comme une chaîne de dominos qui tombent.
Si le premier domino tombe (initialisation) et que chaque domino fait tomber le suivant (hérédité), tous tombent.
Une démonstration par récurrence se rédige avec rigueur : on énonce la propriété P(n), on vérifie l'initialisation, on suppose P(n) vraie (hypothèse de récurrence) pour démontrer P(n+1), puis on conclut. Le respect de ces étapes est essentiel.
La rigueur de la rédaction est notée au bac.
On écrit : « Supposons P(n) vraie pour un entier n (hypothèse de récurrence)… ».
On étudie le comportement d'une suite quand n devient très grand : elle peut tendre vers une valeur finie (suite convergente) ou vers l'infini (suite divergente). La récurrence aide souvent à établir des propriétés (comme la monotonie ou un encadrement) utiles pour déterminer la limite.
La limite décrit le comportement à long terme.
Une suite géométrique de raison comprise entre 0 et 1 converge vers 0.
Ce qu'il faut absolument retenir
Vérifie ta compréhension
Exercice 1Quelles sont les deux étapes d'un raisonnement par récurrence ?
Un raisonnement par récurrence repose sur l'initialisation (premier rang) et l'hérédité (rang n ⟹ rang n+1).
Exercice 2Que vérifie l'étape d'initialisation ?
L'initialisation vérifie que la propriété est vraie au premier rang (le premier domino tombe).
Exercice 3Une suite qui tend vers une valeur finie quand n devient grand est dite…
Une suite qui tend vers une valeur finie est convergente ; si elle tend vers l'infini, elle est divergente.
Exercice 4Dans une récurrence, l'hérédité consiste à montrer que si la propriété est vraie au rang n, alors elle l'est au rang n+1.
Vrai : l'hérédité établit le passage du rang n au rang n+1 (chaque domino fait tomber le suivant).
Exercice 5Explique pourquoi l'initialisation est indispensable dans un raisonnement par récurrence.
L'hérédité montre seulement que si la propriété est vraie à un rang, elle l'est au suivant. Mais sans l'initialisation, rien ne garantit qu'elle est vraie au départ : la chaîne de dominos ne démarrerait pas. L'initialisation assure que le premier domino tombe, ce qui, combiné à l'hérédité, fait tomber tous les autres. Les deux étapes sont donc indispensables.