Le cours
1. Rappel sur les suites
Une suite numérique (uₙ) associe à chaque entier n un nombre réel. On la définit soit de façon explicite (uₙ donné directement en fonction de n, par exemple uₙ = 3n + 2), soit par récurrence (un premier terme et une relation liant chaque terme au précédent, par exemple u₀ = 1 et uₙ₊₁ = 2uₙ + 3).
On distingue deux modèles fondamentaux. Une suite arithmétique s'obtient en ajoutant toujours la même raison r : uₙ = u₀ + nr. Une suite géométrique s'obtient en multipliant toujours par la même raison q : uₙ = u₀ × qⁿ. Ces deux modèles décrivent respectivement les évolutions à rythme constant et les évolutions en pourcentage.
En Terminale, l'étude des suites gagne en profondeur : on s'intéresse à leur comportement quand n devient très grand (leur limite) et l'on démontre leurs propriétés avec rigueur, notamment par récurrence. Les suites sont un outil de modélisation majeur (évolutions démographiques, financières, biologiques) et un point de départ de l'analyse en études supérieures.
Une suite peut être définie par récurrence : u₀ donné et uₙ₊₁ en fonction de uₙ.
2. Le principe de récurrence
Le raisonnement par récurrence est une méthode de démonstration propre aux propriétés qui portent sur tous les entiers naturels. Son principe repose sur une image simple : celle d'une chaîne de dominos. Si le premier domino tombe, et si chaque domino qui tombe fait tomber le suivant, alors tous les dominos tombent.
Pour démontrer qu'une propriété P(n) est vraie pour tout entier n (à partir d'un rang initial), on procède en deux temps. L'initialisation : on vérifie que P est vraie au premier rang (souvent n = 0 ou n = 1). L'hérédité : on suppose P vraie à un rang n quelconque (c'est l'hypothèse de récurrence) et on démontre qu'elle est alors vraie au rang n + 1.
Si ces deux étapes sont établies, on conclut que P(n) est vraie pour tout n. Ce mode de raisonnement, puissant et rigoureux, est l'un des plus importants de toutes les mathématiques. Il devient central en études supérieures scientifiques, où l'on démontre en permanence : maîtriser parfaitement sa structure dès la Terminale est un atout considérable.
Si le premier domino tombe (initialisation) et que chaque domino fait tomber le suivant (hérédité), tous tombent.
3. Rédiger une récurrence
Une démonstration par récurrence obéit à une rédaction précise, qu'il faut respecter scrupuleusement car la rigueur de la forme fait partie de l'exercice. On perd des points sur une récurrence mal rédigée, même si l'idée est juste.
La rédaction type comporte quatre moments. On énonce d'abord clairement la propriété P(n) à démontrer. On traite l'initialisation en vérifiant explicitement P au rang initial. On rédige l'hérédité : « Supposons P(n) vraie pour un entier n fixé » (hypothèse de récurrence), puis on démontre P(n + 1) en s'appuyant sur cette hypothèse. On conclut enfin : « P est vraie au rang initial et héréditaire, donc par récurrence, P(n) est vraie pour tout n ».
Exemple d'énoncé classique : démontrer que pour tout entier n ≥ 1, la somme 1 + 2 + … + n vaut n(n+1)/2. On vérifie l'égalité pour n = 1, puis on suppose qu'elle vaut au rang n et on montre qu'en ajoutant (n + 1) on retrouve la formule au rang n + 1. Cette rigueur de rédaction est exactement ce qu'on attend dans le supérieur.
On écrit : « Supposons P(n) vraie pour un entier n (hypothèse de récurrence)… ».
4. Limite d'une suite
La limite d'une suite décrit son comportement lorsque n devient infiniment grand. Certaines suites se rapprochent d'une valeur fixe : on dit qu'elles convergent. D'autres croissent ou décroissent sans borne : elles divergent (vers +∞ ou −∞). D'autres encore n'ont pas de limite.
Une suite converge vers un réel L si ses termes se rapprochent de L d'aussi près que l'on veut à partir d'un certain rang. Par exemple, la suite uₙ = 1/n converge vers 0 : plus n grandit, plus les termes s'approchent de 0. Pour les suites géométriques de raison q positive : si q > 1 la suite diverge vers +∞, si 0 < q < 1 elle converge vers 0, et si q = 1 elle est constante.
Cette notion, introduite intuitivement puis précisée en Terminale, est fondamentale : elle prépare la définition rigoureuse des limites en études supérieures (avec les fameux « epsilon »). Comprendre vers quoi tend une évolution est essentiel dans toutes les sciences, de la physique à l'économie.
Une suite géométrique de raison comprise entre 0 et 1 converge vers 0.
Pour approfondir ce chapitrefacultatif
Définitions clés
- Raisonnement par récurrence
- Une méthode pour démontrer qu'une propriété est vraie pour tout entier n, à partir d'un certain rang.
- Initialisation
- La première étape : vérifier que la propriété est vraie au rang de départ (souvent n = 0 ou n = 1).
- Hérédité
- La deuxième étape : montrer que si la propriété est vraie au rang k, alors elle l'est au rang k + 1.
- Limite d'une suite
- La valeur dont les termes se rapprochent quand n devient très grand (si elle existe : la suite converge).
Explications détaillées
Le principe de la récurrence
Pour démontrer qu'une propriété P(n) est vraie pour tout n à partir d'un rang, on procède en deux temps : l'initialisation (P est vraie au départ) et l'hérédité (si P est vraie au rang k, elle l'est au rang k + 1).
Comme des dominos : le premier tombe (initialisation), et chaque domino fait tomber le suivant (hérédité) — donc tous tombent. C'est un raisonnement d'une grande puissance.
Limites de suites
Une suite peut converger (ses termes se rapprochent d'une valeur limite) ou diverger (tendre vers l'infini, ou n'avoir aucune limite).
Déterminer la limite d'une suite permet de prévoir son comportement à très long terme : se stabilise-t-elle ? explose-t-elle ? Ces notions sont au cœur de l'analyse en Terminale.
Méthode pas à pas
Démontrer une propriété par récurrence
- Énoncer clairement la propriété P(n) à démontrer.
- Initialisation : vérifier P au rang de départ.
- Hérédité : supposer P(k) vraie, puis démontrer P(k + 1).
- Conclure : par récurrence, P(n) est vraie pour tout n à partir du rang initial.
Exemple corrigé pas à pas
Une somme par récurrence
Démontrer que 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2 pour tout entier n ≥ 1.
- Initialisation (n = 1) : à gauche 1 ; à droite 1×2/2 = 1. Vrai.
- Hérédité : on suppose 1 + … + k = k(k + 1)/2.
- Alors 1 + … + k + (k + 1) = k(k + 1)/2 + (k + 1) = (k + 1)(k + 2)/2.
- C'est la formule au rang k + 1 : la propriété est héréditaire. Par récurrence, elle est vraie pour tout n ≥ 1.
Erreurs fréquentes à éviter
- Oublier l'initialisation.Sans initialisation, la récurrence ne démarre pas : les deux étapes sont indispensables.
- Confondre l'hypothèse de récurrence avec ce qu'on veut démontrer.On SUPPOSE P(k) vraie pour en DÉDUIRE P(k + 1) ; on ne suppose pas P(k + 1).
- Croire qu'une suite a toujours une limite.Une suite peut diverger : toutes les suites ne convergent pas.
Pour aller plus loin
La récurrence, un raisonnement fondamental
Le raisonnement par récurrence est l'un des outils les plus puissants des mathématiques : il permet de démontrer des propriétés valables pour une infinité de cas en deux étapes seulement. On le retrouve partout, des suites à l'informatique (preuves d'algorithmes). Maîtriser cette logique est un cap important vers l'abstraction mathématique.
Ce qu'il faut absolument retenir
Ce qu'il faut absolument retenir
- Une suite associe à chaque entier n un terme uₙ ; on étudie son sens de variation et sa limite.
- Le raisonnement par récurrence démontre qu'une propriété est vraie pour tout entier n.
- Deux étapes : l'initialisation (vraie au premier rang) et l'hérédité (vraie au rang n ⟹ vraie au rang n+1).
- On rédige avec rigueur : énoncer P(n), initialiser, supposer P(n) (hypothèse de récurrence) pour démontrer P(n+1), conclure.
- Une suite peut converger (limite finie) ou diverger (vers l'infini) ; la récurrence aide à établir des propriétés utiles.
Vérifie ta compréhension
Exercice 1Quelles sont les deux étapes d'un raisonnement par récurrence ?
Un raisonnement par récurrence repose sur l'initialisation (premier rang) et l'hérédité (rang n ⟹ rang n+1).
Exercice 2Que vérifie l'étape d'initialisation ?
L'initialisation vérifie que la propriété est vraie au premier rang (le premier domino tombe).
Exercice 3Une suite qui tend vers une valeur finie quand n devient grand est dite…
Une suite qui tend vers une valeur finie est convergente ; si elle tend vers l'infini, elle est divergente.
Exercice 4Dans une récurrence, l'hérédité consiste à montrer que si la propriété est vraie au rang n, alors elle l'est au rang n+1.
Vrai : l'hérédité établit le passage du rang n au rang n+1 (chaque domino fait tomber le suivant).
Exercice 5Explique pourquoi l'initialisation est indispensable dans un raisonnement par récurrence.
L'hérédité montre seulement que si la propriété est vraie à un rang, elle l'est au suivant. Mais sans l'initialisation, rien ne garantit qu'elle est vraie au départ : la chaîne de dominos ne démarrerait pas. L'initialisation assure que le premier domino tombe, ce qui, combiné à l'hérédité, fait tomber tous les autres. Les deux étapes sont donc indispensables.
L'essentiel en images
