Le cours
1. La notion de limite
La limite d'une fonction décrit le comportement de f(x) lorsque x se rapproche d'une valeur particulière, ou lorsque x devient très grand (ou très petit). C'est un outil essentiel pour comprendre l'allure d'une courbe et son comportement « aux bords ».
On distingue plusieurs situations. La limite quand x tend vers l'infini : f(x) peut tendre vers un nombre fixe, vers l'infini, ou n'avoir aucune limite. La limite en un point : quand x s'approche d'une valeur a, f(x) peut se rapprocher d'un nombre, ou tendre vers l'infini (par exemple près d'une valeur interdite comme une division par zéro).
Exemple : pour f(x) = 1/x, quand x devient très grand, f(x) se rapproche de 0 ; quand x se rapproche de 0 par valeurs positives, f(x) tend vers +∞. Ces comportements se lisent sur la courbe. La notion de limite est le socle de l'analyse : elle sert à définir rigoureusement la dérivée, la continuité et l'intégrale, et occupe une place centrale dans tout le supérieur scientifique et économique.
Quand x tend vers l'infini, la fonction 1/x tend vers 0.
2. Limites et asymptotes
Les limites permettent d'identifier les asymptotes d'une courbe, c'est-à-dire des droites dont la courbe se rapproche indéfiniment. Reconnaître les asymptotes aide à tracer et à comprendre le comportement d'une fonction.
Une asymptote horizontale apparaît quand la fonction tend vers un nombre fixe L à l'infini : la droite d'équation y = L est alors asymptote. Une asymptote verticale apparaît quand la fonction tend vers l'infini au voisinage d'une valeur a : la droite x = a est asymptote. Ces droites « guident » l'allure de la courbe aux extrémités.
Exemple : pour f(x) = 1/x, la droite y = 0 (l'axe des abscisses) est asymptote horizontale, et la droite x = 0 (l'axe des ordonnées) est asymptote verticale. Savoir déterminer les asymptotes à partir des limites est une compétence classique du bac, et un préalable utile pour l'étude de fonctions plus complexes rencontrées dans le supérieur.
Si la fonction tend vers 2 quand x tend vers l'infini, la droite y = 2 est une asymptote horizontale.
3. La continuité
Une fonction est continue sur un intervalle si sa courbe peut être tracée sans lever le crayon : elle ne présente ni saut, ni trou, ni rupture. Intuitivement, de petites variations de x entraînent de petites variations de f(x).
La plupart des fonctions usuelles (polynômes, fonctions rationnelles là où elles sont définies, fonction exponentielle, cosinus, sinus) sont continues sur leur domaine. La continuité est une propriété importante car elle garantit un comportement « régulier » de la fonction, et elle est nécessaire pour appliquer certains théorèmes puissants.
La continuité, comme la limite, fait l'objet d'une définition intuitive en Terminale, qui sera précisée rigoureusement dans le supérieur. Elle est fondamentale en analyse : de nombreux résultats importants (existence de solutions, théorèmes d'analyse) supposent la continuité des fonctions étudiées. C'est une notion sur laquelle repose une grande partie des mathématiques universitaires.
La courbe d'une fonction continue se trace sans lever le crayon.
4. Un théorème puissant
Le théorème des valeurs intermédiaires est l'un des résultats majeurs sur les fonctions continues. Il affirme, intuitivement, qu'une fonction continue qui passe d'une valeur à une autre prend nécessairement toutes les valeurs intermédiaires.
Concrètement, si une fonction f est continue sur un intervalle et prend deux valeurs de signes opposés aux extrémités (par exemple f(a) < 0 et f(b) > 0), alors elle s'annule au moins une fois entre a et b : l'équation f(x) = 0 a au moins une solution. Si de plus la fonction est strictement monotone (toujours croissante ou toujours décroissante), cette solution est unique.
Ce théorème est très utile en pratique : il permet de prouver l'existence d'une solution à une équation qu'on ne sait pas résoudre exactement, puis de l'approcher (par balayage ou dichotomie). Exemple : montrer qu'une équation admet une solution dans un intervalle donné. Ce type de raisonnement, entre théorie et calcul numérique, est omniprésent dans le supérieur, en mathématiques comme en informatique.
Si une fonction continue passe du négatif au positif, elle s'annule quelque part entre les deux.
Pour approfondir ce chapitrefacultatif
Définitions clés
- Limite
- La valeur vers laquelle tend une fonction quand x s'approche d'une valeur ou de l'infini.
- Asymptote
- Une droite dont la courbe se rapproche indéfiniment (horizontale, verticale ou oblique).
- Continuité
- Une fonction est continue si sa courbe se trace « sans lever le crayon », sans saut.
- Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)
- Si une fonction continue change de signe sur un intervalle, elle s'y annule au moins une fois.
Explications détaillées
La notion de limite
La limite décrit le comportement d'une fonction « aux bords » : quand x tend vers l'infini, ou vers une valeur interdite. Elle révèle les asymptotes de la courbe.
Certains calculs conduisent à des « formes indéterminées » (comme ∞ − ∞) qu'il faut lever par des transformations. La limite est l'outil de base pour analyser une fonction sur tout son domaine.
Continuité et théorème des valeurs intermédiaires
Une fonction continue se trace sans interruption. Cette propriété a une conséquence puissante : le théorème des valeurs intermédiaires.
Si une fonction continue passe d'une valeur négative à une valeur positive, elle prend nécessairement la valeur 0 quelque part. Ce théorème permet de prouver l'existence de solutions à des équations, même sans les calculer.
Méthode pas à pas
Étudier une limite à l'infini
- Identifier le comportement des termes dominants quand x → ±∞.
- Repérer une éventuelle forme indéterminée.
- La lever si besoin (factorisation par le terme dominant).
- Conclure sur la limite et l'éventuelle asymptote.
Exemple corrigé pas à pas
Prouver l'existence d'une solution
Soit f continue sur [0 ; 1], avec f(0) = −2 et f(1) = 3. Que peut-on affirmer ?
- f est continue sur [0 ; 1].
- f(0) = −2 < 0 et f(1) = 3 > 0 : f change de signe.
- D'après le TVI, f prend toutes les valeurs entre −2 et 3.
- En particulier, f s'annule : l'équation f(x) = 0 a au moins une solution dans [0 ; 1].
Erreurs fréquentes à éviter
- Conclure directement sur une forme indéterminée.Une forme comme ∞ − ∞ ou ∞/∞ doit être levée par une transformation avant de conclure.
- Appliquer le TVI sans vérifier la continuité.Le théorème des valeurs intermédiaires exige que la fonction soit continue sur l'intervalle.
- Confondre limite et valeur de la fonction.La limite décrit une tendance ; elle peut différer de la valeur (ou ne pas être atteinte).
Pour aller plus loin
Les fondements de l'analyse
Limites et continuité sont les fondations de l'analyse mathématique, développée aux XVIIᵉ-XIXᵉ siècles pour décrire le mouvement et le changement. Elles permettent d'étudier finement les fonctions et sous-tendent la dérivation et l'intégration. Ces notions abstraites sont l'un des sommets des mathématiques du lycée.
Ce qu'il faut absolument retenir
Ce qu'il faut absolument retenir
- La limite décrit le comportement d'une fonction quand x s'approche d'une valeur ou tend vers l'infini (limite finie, infinie, ou inexistante).
- Les limites révèlent des asymptotes : verticale (limite infinie en une valeur), horizontale (limite finie à l'infini).
- Une fonction est continue si sa courbe se trace « sans lever le crayon » (ni saut, ni rupture).
- La plupart des fonctions usuelles sont continues sur leur domaine.
- Théorème des valeurs intermédiaires : une fonction continue qui change de signe s'annule au moins une fois (existence de solutions).
Vérifie ta compréhension
Exercice 1Vers quoi tend la fonction 1/x quand x tend vers l'infini ?
Quand x tend vers l'infini, 1/x tend vers 0.
Exercice 2Qu'est-ce qu'une fonction continue ?
Une fonction continue a une courbe sans saut ni rupture : on la trace sans lever le crayon.
Exercice 3Que révèle une limite finie quand x tend vers l'infini ?
Une limite finie à l'infini révèle une asymptote horizontale.
Exercice 4D'après le théorème des valeurs intermédiaires, une fonction continue qui change de signe s'annule au moins une fois.
Vrai : ce théorème garantit l'existence d'au moins une solution lorsqu'une fonction continue change de signe.
Exercice 5Explique comment le théorème des valeurs intermédiaires permet de prouver qu'une équation a une solution.
Si une fonction est continue sur un intervalle et qu'elle change de signe entre les deux bornes (par exemple négative à gauche, positive à droite), alors d'après le théorème des valeurs intermédiaires elle s'annule au moins une fois sur cet intervalle. Cela prouve l'existence d'une solution à l'équation f(x) = 0, même sans la calculer.
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