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Que devient une fonction quand x tend vers l'infini, ou s'approche d'une valeur interdite ? La notion de limite répond à ces questions et ouvre l'étude fine des fonctions. C'est un pilier de l'analyse en terminale.
Le cours
La limite décrit le comportement d'une fonction quand la variable x s'approche d'une valeur ou tend vers l'infini. La fonction peut tendre vers un nombre fini, vers l'infini, ou ne pas avoir de limite. Les limites permettent de comprendre l'allure d'une courbe.
La limite décrit ce vers quoi tend la fonction.
Quand x tend vers l'infini, la fonction 1/x tend vers 0.
Les limites permettent de repérer des asymptotes, des droites dont la courbe se rapproche indéfiniment. Une limite infinie en une valeur révèle une asymptote verticale ; une limite finie à l'infini révèle une asymptote horizontale. Les asymptotes guident le tracé.
Les asymptotes sont des droites « guides » de la courbe.
Si la fonction tend vers 2 quand x tend vers l'infini, la droite y = 2 est une asymptote horizontale.
Une fonction est continue si sa courbe peut être tracée « sans lever le crayon », sans saut ni rupture. La plupart des fonctions usuelles sont continues sur leur domaine. La continuité est une propriété importante, utilisée dans de nombreux théorèmes.
Une fonction continue n'a ni saut ni trou.
La courbe d'une fonction continue se trace sans lever le crayon.
Pour une fonction continue, si elle change de signe sur un intervalle, alors elle s'annule au moins une fois sur cet intervalle (théorème des valeurs intermédiaires). Ce résultat permet de prouver l'existence de solutions à une équation, même sans les calculer.
La continuité garantit l'existence de solutions.
Si une fonction continue passe du négatif au positif, elle s'annule quelque part entre les deux.
Ce qu'il faut absolument retenir
Vérifie ta compréhension
Exercice 1Vers quoi tend la fonction 1/x quand x tend vers l'infini ?
Quand x tend vers l'infini, 1/x tend vers 0.
Exercice 2Qu'est-ce qu'une fonction continue ?
Une fonction continue a une courbe sans saut ni rupture : on la trace sans lever le crayon.
Exercice 3Que révèle une limite finie quand x tend vers l'infini ?
Une limite finie à l'infini révèle une asymptote horizontale.
Exercice 4D'après le théorème des valeurs intermédiaires, une fonction continue qui change de signe s'annule au moins une fois.
Vrai : ce théorème garantit l'existence d'au moins une solution lorsqu'une fonction continue change de signe.
Exercice 5Explique comment le théorème des valeurs intermédiaires permet de prouver qu'une équation a une solution.
Si une fonction est continue sur un intervalle et qu'elle change de signe entre les deux bornes (par exemple négative à gauche, positive à droite), alors d'après le théorème des valeurs intermédiaires elle s'annule au moins une fois sur cet intervalle. Cela prouve l'existence d'une solution à l'équation f(x) = 0, même sans la calculer.