Le cours
1. Rappel sur les suites
Une suite associe à chaque entier n un terme uₙ. On l'étudie : sens de variation (croissante/décroissante), limite éventuelle. En terminale, on approfondit ces notions avec de nouveaux outils, dont la récurrence.
Les suites décrivent une évolution étape par étape.
Une suite peut être définie par récurrence : u₀ donné et uₙ₊₁ en fonction de uₙ.
2. Le principe de récurrence
Le raisonnement par récurrence démontre qu'une propriété est vraie pour tout entier n. Il repose sur deux étapes : l'initialisation (la propriété est vraie au premier rang) et l'hérédité (si elle est vraie à un rang n, alors elle l'est au rang suivant). Si les deux sont établies, la propriété est vraie pour tout n.
C'est comme une chaîne de dominos qui tombent.
Si le premier domino tombe (initialisation) et que chaque domino fait tomber le suivant (hérédité), tous tombent.
3. Rédiger une récurrence
Une démonstration par récurrence se rédige avec rigueur : on énonce la propriété P(n), on vérifie l'initialisation, on suppose P(n) vraie (hypothèse de récurrence) pour démontrer P(n+1), puis on conclut. Le respect de ces étapes est essentiel.
La rigueur de la rédaction est notée au bac.
On écrit : « Supposons P(n) vraie pour un entier n (hypothèse de récurrence)… ».
4. Limite d'une suite
On étudie le comportement d'une suite quand n devient très grand : elle peut tendre vers une valeur finie (suite convergente) ou vers l'infini (suite divergente). La récurrence aide souvent à établir des propriétés (comme la monotonie ou un encadrement) utiles pour déterminer la limite.
La limite décrit le comportement à long terme.
Une suite géométrique de raison comprise entre 0 et 1 converge vers 0.
Pour approfondir ce chapitrefacultatif
Définitions clés
- Raisonnement par récurrence
- Une méthode pour démontrer qu'une propriété est vraie pour tout entier n, à partir d'un certain rang.
- Initialisation
- La première étape : vérifier que la propriété est vraie au rang de départ (souvent n = 0 ou n = 1).
- Hérédité
- La deuxième étape : montrer que si la propriété est vraie au rang k, alors elle l'est au rang k + 1.
- Limite d'une suite
- La valeur dont les termes se rapprochent quand n devient très grand (si elle existe : la suite converge).
Explications détaillées
Le principe de la récurrence
Pour démontrer qu'une propriété P(n) est vraie pour tout n à partir d'un rang, on procède en deux temps : l'initialisation (P est vraie au départ) et l'hérédité (si P est vraie au rang k, elle l'est au rang k + 1).
Comme des dominos : le premier tombe (initialisation), et chaque domino fait tomber le suivant (hérédité) — donc tous tombent. C'est un raisonnement d'une grande puissance.
Limites de suites
Une suite peut converger (ses termes se rapprochent d'une valeur limite) ou diverger (tendre vers l'infini, ou n'avoir aucune limite).
Déterminer la limite d'une suite permet de prévoir son comportement à très long terme : se stabilise-t-elle ? explose-t-elle ? Ces notions sont au cœur de l'analyse en Terminale.
Méthode pas à pas
Démontrer une propriété par récurrence
- Énoncer clairement la propriété P(n) à démontrer.
- Initialisation : vérifier P au rang de départ.
- Hérédité : supposer P(k) vraie, puis démontrer P(k + 1).
- Conclure : par récurrence, P(n) est vraie pour tout n à partir du rang initial.
Exemple corrigé pas à pas
Une somme par récurrence
Démontrer que 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2 pour tout entier n ≥ 1.
- Initialisation (n = 1) : à gauche 1 ; à droite 1×2/2 = 1. Vrai.
- Hérédité : on suppose 1 + … + k = k(k + 1)/2.
- Alors 1 + … + k + (k + 1) = k(k + 1)/2 + (k + 1) = (k + 1)(k + 2)/2.
- C'est la formule au rang k + 1 : la propriété est héréditaire. Par récurrence, elle est vraie pour tout n ≥ 1.
Erreurs fréquentes à éviter
- Oublier l'initialisation.Sans initialisation, la récurrence ne démarre pas : les deux étapes sont indispensables.
- Confondre l'hypothèse de récurrence avec ce qu'on veut démontrer.On SUPPOSE P(k) vraie pour en DÉDUIRE P(k + 1) ; on ne suppose pas P(k + 1).
- Croire qu'une suite a toujours une limite.Une suite peut diverger : toutes les suites ne convergent pas.
Pour aller plus loin
La récurrence, un raisonnement fondamental
Le raisonnement par récurrence est l'un des outils les plus puissants des mathématiques : il permet de démontrer des propriétés valables pour une infinité de cas en deux étapes seulement. On le retrouve partout, des suites à l'informatique (preuves d'algorithmes). Maîtriser cette logique est un cap important vers l'abstraction mathématique.
Ce qu'il faut absolument retenir
Ce qu'il faut absolument retenir
- Une suite associe à chaque entier n un terme uₙ ; on étudie son sens de variation et sa limite.
- Le raisonnement par récurrence démontre qu'une propriété est vraie pour tout entier n.
- Deux étapes : l'initialisation (vraie au premier rang) et l'hérédité (vraie au rang n ⟹ vraie au rang n+1).
- On rédige avec rigueur : énoncer P(n), initialiser, supposer P(n) (hypothèse de récurrence) pour démontrer P(n+1), conclure.
- Une suite peut converger (limite finie) ou diverger (vers l'infini) ; la récurrence aide à établir des propriétés utiles.
Vérifie ta compréhension
Exercice 1Quelles sont les deux étapes d'un raisonnement par récurrence ?
Un raisonnement par récurrence repose sur l'initialisation (premier rang) et l'hérédité (rang n ⟹ rang n+1).
Exercice 2Que vérifie l'étape d'initialisation ?
L'initialisation vérifie que la propriété est vraie au premier rang (le premier domino tombe).
Exercice 3Une suite qui tend vers une valeur finie quand n devient grand est dite…
Une suite qui tend vers une valeur finie est convergente ; si elle tend vers l'infini, elle est divergente.
Exercice 4Dans une récurrence, l'hérédité consiste à montrer que si la propriété est vraie au rang n, alors elle l'est au rang n+1.
Vrai : l'hérédité établit le passage du rang n au rang n+1 (chaque domino fait tomber le suivant).
Exercice 5Explique pourquoi l'initialisation est indispensable dans un raisonnement par récurrence.
L'hérédité montre seulement que si la propriété est vraie à un rang, elle l'est au suivant. Mais sans l'initialisation, rien ne garantit qu'elle est vraie au départ : la chaîne de dominos ne démarrerait pas. L'initialisation assure que le premier domino tombe, ce qui, combiné à l'hérédité, fait tomber tous les autres. Les deux étapes sont donc indispensables.
L'essentiel en images
