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Comment décrire des points, des droites et des plans dans l'espace à trois dimensions ? La géométrie dans l'espace prolonge la géométrie du plan avec les vecteurs et les coordonnées. Un chapitre qui relie l'algèbre et l'espace, au programme de terminale.
Le cours
Dans l'espace, on repère un point par trois coordonnées (x, y, z), à l'aide d'un repère à trois axes. On peut ainsi situer précisément des points et calculer des distances. C'est l'extension à trois dimensions du repérage dans le plan.
L'espace se décrit avec trois coordonnées.
Un point de l'espace est repéré par trois coordonnées (x, y, z).
Comme dans le plan, on utilise des vecteurs dans l'espace, qui ont trois coordonnées. Ils permettent de décrire des directions, des déplacements, et de faire des calculs (sommes, colinéarité). Les vecteurs sont l'outil central de la géométrie dans l'espace.
Les vecteurs décrivent directions et déplacements.
Un vecteur de l'espace a trois coordonnées et indique une direction.
On décrit les droites et les plans de l'espace à l'aide de points et de vecteurs. Une droite est dirigée par un vecteur ; un plan est défini par des vecteurs ou par un point et une direction perpendiculaire. On étudie leurs positions relatives (parallèles, sécants).
Droites et plans se décrivent avec points et vecteurs.
Une droite de l'espace est définie par un point et un vecteur qui la dirige.
Le produit scalaire, vu dans le plan, s'étend à l'espace. Il se calcule à partir des coordonnées et permet notamment de tester l'orthogonalité : deux vecteurs sont perpendiculaires si et seulement si leur produit scalaire est nul. Il sert à étudier angles et distances.
Le produit scalaire teste l'orthogonalité dans l'espace.
Dans l'espace aussi, deux vecteurs sont perpendiculaires si leur produit scalaire est nul.
Ce qu'il faut absolument retenir
Vérifie ta compréhension
Exercice 1Combien de coordonnées repèrent un point dans l'espace ?
Dans l'espace, un point est repéré par trois coordonnées (x, y, z).
Exercice 2Comment définit-on une droite dans l'espace ?
Une droite de l'espace est définie par un point et un vecteur directeur qui la dirige.
Exercice 3Que permet de tester le produit scalaire dans l'espace ?
Le produit scalaire permet de tester l'orthogonalité : deux vecteurs sont perpendiculaires si leur produit scalaire est nul.
Exercice 4Les vecteurs de l'espace ont trois coordonnées.
Vrai : dans l'espace à trois dimensions, les vecteurs ont trois coordonnées.
Exercice 5Explique comment on peut savoir si deux vecteurs de l'espace sont perpendiculaires.
On calcule leur produit scalaire à partir de leurs coordonnées. Si ce produit scalaire est nul, alors les deux vecteurs sont orthogonaux (perpendiculaires). Cette propriété, déjà vraie dans le plan, s'étend à l'espace et sert à étudier les angles et les positions relatives.