Le cours
1. Variable aléatoire et loi de probabilité
Une variable aléatoire associe un nombre à chaque issue d'une expérience aléatoire. Par exemple, au lancer de deux dés, on peut associer la somme obtenue ; à un jeu, le gain correspondant. Cela permet de raisonner quantitativement sur le hasard.
La loi de probabilité d'une variable aléatoire X donne, pour chaque valeur possible, la probabilité que X prenne cette valeur. On la présente souvent sous forme de tableau. La somme de toutes ces probabilités vaut nécessairement 1, puisque l'une des issues se réalise forcément.
À partir de la loi, on définit des indicateurs : l'espérance E(X), qui est la moyenne des valeurs pondérées par leurs probabilités, et la variance ou l'écart-type, qui mesurent la dispersion. L'espérance représente le résultat moyen sur un très grand nombre de répétitions. Ces notions sont au cœur des probabilités et des statistiques, disciplines omniprésentes dans le supérieur : économie, psychologie, biologie, data science.
Le nombre de « pile » obtenus en lançant plusieurs pièces est une variable aléatoire.
2. L'épreuve de Bernoulli
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire n'ayant que deux issues possibles, conventionnellement appelées « succès » et « échec ». C'est le modèle le plus simple du hasard, et la brique de base d'un modèle très important : la loi binomiale.
On note généralement p la probabilité du succès, et donc 1 − p celle de l'échec. De nombreuses situations se ramènent à une épreuve de Bernoulli : le résultat d'un lancer de pièce (pile ou face), la réussite ou l'échec d'un test, la présence ou l'absence d'un caractère.
Exemple : lancer une pièce équilibrée est une épreuve de Bernoulli avec p = 0,5 pour « pile ». L'intérêt vient lorsqu'on répète cette épreuve : en enchaînant plusieurs épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, on obtient un schéma qui conduit à la loi binomiale. Ce cadre est fondamental en statistiques et sert de modèle à d'innombrables situations concrètes étudiées dans le supérieur.
Lancer une pièce (pile = succès, face = échec) est une épreuve de Bernoulli.
3. La loi binomiale
La loi binomiale modélise le nombre de succès obtenus en répétant n fois, de façon indépendante, une même épreuve de Bernoulli de probabilité de succès p. On la note B(n ; p). C'est l'une des lois de probabilité les plus utilisées.
La variable aléatoire X qui compte le nombre de succès peut prendre les valeurs 0, 1, 2, …, n. La probabilité d'obtenir exactement k succès fait intervenir le coefficient binomial (le nombre de façons de placer k succès parmi n épreuves), multiplié par pᵏ (probabilité des succès) et par (1−p)ⁿ⁻ᵏ (probabilité des échecs). Les calculatrices et tableurs permettent d'obtenir ces probabilités.
Exemple : on répète 10 fois un test réussi avec probabilité 0,3 ; le nombre de réussites suit la loi B(10 ; 0,3). On peut alors calculer la probabilité d'avoir exactement 3 réussites, au moins 5, etc. La loi binomiale est essentielle en statistiques et intervient dans de nombreux domaines (contrôle qualité, sondages, biologie, médecine). Elle est un point d'appui majeur pour les statistiques enseignées dans le supérieur.
La probabilité d'obtenir exactement 3 « pile » en 5 lancers suit une loi binomiale.
4. Espérance et applications
Pour une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n ; p), l'espérance — c'est-à-dire le nombre moyen de succès attendu — a une expression particulièrement simple : E(X) = n × p. Ce résultat est à la fois élégant et très utile.
Intuitivement, si chaque épreuve a une probabilité p de succès et qu'on la répète n fois, on s'attend en moyenne à n × p succès. Par exemple, en lançant 100 fois une pièce équilibrée (p = 0,5), on s'attend en moyenne à 100 × 0,5 = 50 « pile ». La loi binomiale possède aussi une variance connue, qui mesure la dispersion autour de cette moyenne.
Les applications de la loi binomiale sont nombreuses : estimer le nombre de pièces défectueuses dans une production, le nombre de réponses correctes à un QCM répondu au hasard, la proportion attendue d'un caractère dans un échantillon. Ce modèle, et le raisonnement probabiliste qui l'accompagne, sont largement mobilisés dans les études supérieures, notamment pour l'inférence statistique (tirer des conclusions sur une population à partir d'un échantillon).
Sur 100 lancers d'une pièce équilibrée, on attend en moyenne 50 « pile » (100 × 0,5).
Pour approfondir ce chapitrefacultatif
Définitions clés
- Épreuve de Bernoulli
- Une expérience à deux issues : « succès » (probabilité p) ou « échec » (probabilité 1 − p).
- Schéma de Bernoulli
- La répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
- Loi binomiale
- La loi du nombre de succès dans un schéma de Bernoulli de paramètres n et p.
- Espérance
- La valeur moyenne d'une variable aléatoire ; pour la loi binomiale, E(X) = n × p.
Explications détaillées
Le schéma de Bernoulli et la loi binomiale
On répète n fois la même épreuve à deux issues (succès/échec), de façon indépendante. Le nombre de succès X suit alors une loi binomiale de paramètres n (nombre d'épreuves) et p (probabilité de succès).
La probabilité d'obtenir exactement k succès combine le nombre de façons d'ordonner ces succès et les probabilités de succès et d'échec. Les arbres pondérés aident à visualiser ce mécanisme.
Espérance et dispersion
Pour une variable aléatoire, l'espérance E(X) est la valeur moyenne attendue sur un grand nombre de répétitions. Pour la loi binomiale, elle est simple : E(X) = n × p.
Par exemple, sur 100 lancers d'une pièce équilibrée (p = 0,5), on attend en moyenne 100 × 0,5 = 50 « pile ». L'espérance et l'écart-type permettent de prévoir et d'analyser les résultats aléatoires.
Méthode pas à pas
Reconnaître et utiliser une loi binomiale
- Vérifier qu'on répète n épreuves identiques, indépendantes, à deux issues.
- Identifier les paramètres : n (nombre d'épreuves) et p (probabilité de succès).
- Utiliser la loi binomiale pour calculer une probabilité (souvent à la calculatrice).
- Calculer l'espérance E(X) = n × p si besoin.
Exemple corrigé pas à pas
Espérance d'un nombre de succès
On lance 20 fois un dé équilibré. En moyenne, combien de fois obtient-on un « six » ?
- Chaque lancer est une épreuve de Bernoulli : succès = « six », p = 1/6.
- On répète n = 20 épreuves indépendantes : loi binomiale de paramètres 20 et 1/6.
- Espérance : E(X) = n × p = 20 × 1/6.
- ≈ 3,33 : on obtient en moyenne environ 3,3 « six » sur 20 lancers.
Erreurs fréquentes à éviter
- Appliquer la loi binomiale à des épreuves non indépendantes.La loi binomiale exige des épreuves identiques ET indépendantes.
- Confondre les paramètres n et p.n est le nombre d'épreuves ; p, la probabilité de succès à chaque épreuve.
- Oublier qu'un tirage sans remise n'est pas binomial.Sans remise, les épreuves ne sont plus indépendantes : la loi binomiale ne s'applique pas.
Pour aller plus loin
Des probabilités à la statistique
La loi binomiale est la porte d'entrée vers la statistique inférentielle : à partir d'un échantillon, on estime et on teste des hypothèses sur une population (sondages, contrôle qualité, essais cliniques). Comprendre le hasard de façon rigoureuse est essentiel dans un monde qui s'appuie de plus en plus sur les données.
Ce qu'il faut absolument retenir
Ce qu'il faut absolument retenir
- Une variable aléatoire associe un nombre au résultat d'une expérience ; sa loi donne la probabilité de chaque valeur (espérance = valeur moyenne).
- Une épreuve de Bernoulli a deux issues : succès (probabilité p) ou échec.
- La loi binomiale modélise le nombre de succès lors de n répétitions indépendantes d'une épreuve de Bernoulli.
- Elle dépend de deux paramètres : le nombre de répétitions n et la probabilité de succès p.
- L'espérance d'une loi binomiale de paramètres n et p est n × p (nombre moyen de succès attendu).
Vérifie ta compréhension
Exercice 1Qu'est-ce qu'une épreuve de Bernoulli ?
Une épreuve de Bernoulli est une expérience à deux issues : succès (probabilité p) ou échec.
Exercice 2Que modélise la loi binomiale ?
La loi binomiale modélise le nombre de succès lors de n répétitions indépendantes d'une même épreuve de Bernoulli.
Exercice 3Quelle est l'espérance d'une loi binomiale de paramètres n et p ?
L'espérance d'une loi binomiale de paramètres n et p est n × p.
Exercice 4La loi binomiale suppose que les répétitions de l'épreuve sont indépendantes.
Vrai : la loi binomiale repose sur la répétition indépendante d'une même épreuve de Bernoulli.
Exercice 5On lance 100 fois une pièce équilibrée. Combien de « pile » peut-on attendre en moyenne, et pourquoi ?
Le nombre de « pile » suit une loi binomiale de paramètres n = 100 (répétitions) et p = 0,5 (probabilité de succès à chaque lancer). L'espérance, c'est-à-dire le nombre moyen de succès attendu, est n × p = 100 × 0,5 = 50. On peut donc attendre en moyenne 50 « pile ».
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