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Quand on répète une même expérience aléatoire (comme un lancer), comment prévoir le nombre de succès ? La loi binomiale modélise ces situations. Avec les variables aléatoires, elle est au cœur des probabilités de terminale.
Le cours
Une variable aléatoire associe un nombre au résultat d'une expérience aléatoire. Sa loi de probabilité indique la probabilité de chaque valeur possible. On peut calculer son espérance (la valeur moyenne attendue) et sa variance (la dispersion).
La variable aléatoire chiffre le hasard.
Le nombre de « pile » obtenus en lançant plusieurs pièces est une variable aléatoire.
Une épreuve de Bernoulli est une expérience à deux issues seulement : succès (avec une probabilité p) ou échec. C'est le modèle de base : pile ou face, gagné ou perdu, conforme ou défectueux. La loi binomiale repose sur la répétition de cette épreuve.
Une épreuve de Bernoulli n'a que deux issues : succès ou échec.
Lancer une pièce (pile = succès, face = échec) est une épreuve de Bernoulli.
La loi binomiale modélise le nombre de succès lors de la répétition, de façon indépendante, d'une même épreuve de Bernoulli. Elle dépend de deux paramètres : le nombre de répétitions n et la probabilité de succès p. Elle permet de calculer la probabilité d'obtenir un nombre donné de succès.
La loi binomiale compte les succès sur n répétitions.
La probabilité d'obtenir exactement 3 « pile » en 5 lancers suit une loi binomiale.
Pour une loi binomiale de paramètres n et p, l'espérance (le nombre moyen de succès attendu) est n × p. La loi binomiale sert dans de nombreux domaines : contrôle qualité, sondages, jeux, biologie. Elle permet d'estimer et de décider.
L'espérance d'une loi binomiale est n × p.
Sur 100 lancers d'une pièce équilibrée, on attend en moyenne 50 « pile » (100 × 0,5).
Ce qu'il faut absolument retenir
Vérifie ta compréhension
Exercice 1Qu'est-ce qu'une épreuve de Bernoulli ?
Une épreuve de Bernoulli est une expérience à deux issues : succès (probabilité p) ou échec.
Exercice 2Que modélise la loi binomiale ?
La loi binomiale modélise le nombre de succès lors de n répétitions indépendantes d'une même épreuve de Bernoulli.
Exercice 3Quelle est l'espérance d'une loi binomiale de paramètres n et p ?
L'espérance d'une loi binomiale de paramètres n et p est n × p.
Exercice 4La loi binomiale suppose que les répétitions de l'épreuve sont indépendantes.
Vrai : la loi binomiale repose sur la répétition indépendante d'une même épreuve de Bernoulli.
Exercice 5On lance 100 fois une pièce équilibrée. Combien de « pile » peut-on attendre en moyenne, et pourquoi ?
Le nombre de « pile » suit une loi binomiale de paramètres n = 100 (répétitions) et p = 0,5 (probabilité de succès à chaque lancer). L'espérance, c'est-à-dire le nombre moyen de succès attendu, est n × p = 100 × 0,5 = 50. On peut donc attendre en moyenne 50 « pile ».