Le cours
1. Le nombre dérivé : une pente
Le nombre dérivé mesure la « pente instantanée » d'une fonction en un point donné. Intuitivement, si l'on trace la courbe d'une fonction et qu'on zoome énormément autour d'un point, la courbe ressemble à une droite : la pente de cette droite est le nombre dérivé en ce point.
Géométriquement, le nombre dérivé de f en a, noté f'(a), est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse a. Une tangente est la droite qui « épouse » la courbe en ce point. Si f'(a) est positif, la courbe monte en a ; s'il est négatif, elle descend ; s'il est nul, la tangente est horizontale (souvent un sommet ou un creux).
Cette notion est l'une des plus importantes de toutes les mathématiques. Elle permet de décrire des vitesses (en physique, la dérivée de la position est la vitesse), des taux de variation instantanés, et d'optimiser des grandeurs. C'est le point de départ de l'analyse, discipline majeure des études supérieures scientifiques et économiques.
Si le nombre dérivé en un point est 2, la tangente y a une pente de 2 (la fonction monte).
2. La fonction dérivée
À chaque fonction f dérivable, on associe une nouvelle fonction, la fonction dérivée f', qui à chaque x associe le nombre dérivé f'(x). Calculer une dérivée revient à appliquer des formules qu'il faut connaître parfaitement, car elles sont utilisées en permanence.
Les formules de base : la dérivée d'une constante est 0 ; la dérivée de x est 1 ; la dérivée de x² est 2x ; plus généralement, la dérivée de xⁿ est n×xⁿ⁻¹. Pour les opérations : la dérivée d'une somme est la somme des dérivées, et un facteur constant se conserve (la dérivée de k×f est k×f').
Exemple : pour f(x) = 3x² + 5x − 7, on dérive terme à terme : la dérivée de 3x² est 3×2x = 6x, celle de 5x est 5, celle de −7 est 0. Donc f'(x) = 6x + 5. Ces automatismes de calcul doivent devenir réflexes : en économie comme en physique, on dérive constamment pour étudier des variations ou chercher des optimums. Un étudiant qui hésite sur ces formules perd un temps précieux dans le supérieur.
Si f(x) = x³, alors f ′(x) = 3x². Si f(x) = 5, alors f ′(x) = 0.
3. Dérivée et sens de variation
Le lien entre la dérivée et les variations d'une fonction est l'application la plus puissante de la dérivation. La règle est fondamentale : sur un intervalle, si f'(x) > 0 alors f est croissante ; si f'(x) < 0 alors f est décroissante ; et là où f'(x) = 0, la fonction peut présenter un extremum (maximum ou minimum).
La méthode pour étudier une fonction est donc systématique : on calcule f'(x), on étudie son signe, puis on en déduit le tableau de variations de f. Le signe de la dérivée « pilote » entièrement le sens de variation.
Exemple : pour f(x) = x² − 4x + 1, on a f'(x) = 2x − 4. Cette dérivée s'annule en x = 2, est négative avant (f décroît) et positive après (f croît). La fonction admet donc un minimum en x = 2. On retrouve le sommet de la parabole, mais par une méthode générale qui fonctionne pour n'importe quelle fonction dérivable. C'est exactement cet outil qu'on utilise en économie pour trouver la quantité qui maximise un profit : on dérive, on cherche où la dérivée s'annule.
Si f ′(x) > 0 sur un intervalle, alors f est croissante sur cet intervalle.
4. Extremums et optimisation
Un extremum d'une fonction est une valeur où elle atteint un maximum ou un minimum local. Trouver les extremums est l'une des applications les plus utiles de la dérivation, notamment pour résoudre des problèmes d'optimisation (maximiser un profit, minimiser un coût, un temps ou une distance).
La méthode repose entièrement sur la dérivée. Là où la fonction atteint un extremum, sa tangente est horizontale : la dérivée s'y annule. On cherche donc les valeurs de x où f'(x) = 0, puis on étudie le signe de f' autour de ces valeurs. Si la dérivée passe du positif au négatif, la fonction atteint un maximum ; si elle passe du négatif au positif, c'est un minimum.
Exemple concret d'optimisation : une entreprise dont le bénéfice est modélisé par B(x) = −x² + 40x − 100 (où x est la quantité produite) cherche la production qui maximise le profit. On calcule B'(x) = −2x + 40, qui s'annule en x = 20. Avant 20 la dérivée est positive (le profit augmente), après elle est négative (il diminue) : x = 20 donne donc le profit maximal. Ce type de raisonnement — dériver, chercher où la dérivée s'annule, conclure — est exactement celui qu'on utilise en économie et en sciences dans le supérieur. C'est l'une des raisons pour lesquelles la dérivation est si centrale.
Pour maximiser une aire ou un bénéfice, on cherche où la dérivée s'annule.
Pour approfondir ce chapitrefacultatif
Définitions clés
- Nombre dérivé
- Le nombre dérivé de f en a, noté f′(a), est le coefficient directeur (la pente) de la tangente à la courbe au point d'abscisse a.
- Tangente
- La droite qui « épouse » la courbe en un point ; sa pente est le nombre dérivé en ce point.
- Fonction dérivée
- La fonction f′ qui, à chaque x, associe le nombre dérivé f′(x).
- Sens de variation
- Le fait qu'une fonction croisse ou décroisse ; il se lit dans le signe de la dérivée.
Explications détaillées
La dérivée, une pente qui varie
Le nombre dérivé f′(a) mesure la pente de la courbe au point d'abscisse a : il indique si la fonction monte fortement, doucement, ou descend en ce point.
Quelques dérivées de référence : (x²)′ = 2x, (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹, la dérivée d'une constante est 0. La dérivée transforme l'étude d'une courbe en un calcul.
Signe de la dérivée et variations
Le lien fondamental : là où f′(x) > 0, la fonction f est croissante ; là où f′(x) < 0, elle est décroissante ; là où f′(x) = 0, elle peut présenter un extremum (maximum ou minimum).
Étudier le signe de la dérivée permet donc de dresser le tableau de variations d'une fonction, et de localiser ses extremums.
Méthode pas à pas
Étudier les variations d'une fonction
- Calculer la fonction dérivée f′.
- Résoudre f′(x) = 0 et étudier le signe de f′.
- En déduire les intervalles de croissance et de décroissance.
- Repérer les extremums (là où la dérivée s'annule en changeant de signe).
Exemple corrigé pas à pas
Dériver et lire une pente
Soit f(x) = x². Déterminer f′(x), puis le sens de variation pour x > 0.
- Dérivée : f′(x) = 2x.
- Pour x > 0 : 2x > 0, donc f′(x) > 0.
- La dérivée est positive : f est croissante sur ]0 ; +∞[.
- Interprétation : la parabole « monte » à droite de l'origine.
Erreurs fréquentes à éviter
- Confondre la fonction f et sa dérivée f′.f donne la valeur ; f′ donne la pente. Un f′ positif signifie que f monte (mais f peut être négative).
- Se tromper dans les formules de dérivation.On applique les formules de référence : (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹, dérivée d'une constante = 0.
- Conclure sur les variations sans étudier le SIGNE de la dérivée.C'est le signe de f′ (et non sa valeur) qui donne le sens de variation.
Pour aller plus loin
La dérivée, langage du changement
La dérivation, inventée par Newton et Leibniz au XVIIᵉ siècle, décrit tout ce qui varie : en physique, la vitesse est la dérivée de la position, l'accélération celle de la vitesse. En économie, on parle de coût « marginal ». La dérivée est l'un des outils les plus puissants des sciences pour analyser le changement.
Équation de la tangente
La tangente à la courbe de f au point d'abscisse a a pour équation y = f'(a)(x − a) + f(a), où f'(a) est sa pente. Exemple : pour f(x) = x² en a = 3, on a f(3) = 9 et f'(3) = 6, d'où la tangente y = 6x − 9. Cette droite approche localement la courbe, idée à la base des méthodes numériques.
Ce qu'il faut absolument retenir
Ce qu'il faut absolument retenir
- Le nombre dérivé de f en un point est la pente de la tangente en ce point (variation locale).
- La fonction dérivée f ′ donne le nombre dérivé partout ; dérivée de xⁿ = n·xⁿ⁻¹, dérivée d'une constante = 0.
- Le signe de f ′ donne le sens de variation : f ′ > 0 → f croissante, f ′ < 0 → f décroissante.
- On résume les variations dans un tableau de variations.
- Un extremum se trouve souvent là où f ′ s'annule en changeant de signe (clé de l'optimisation).
Vérifie ta compréhension
Exercice 1Que représente le nombre dérivé de f en un point ?
Le nombre dérivé est la pente de la tangente à la courbe en ce point (la variation locale).
Exercice 2Quelle est la dérivée de f(x) = x³ ?
Dérivée de xⁿ = n·xⁿ⁻¹, donc la dérivée de x³ est 3x².
Exercice 3Si f ′(x) < 0 sur un intervalle, alors sur cet intervalle f est…
Une dérivée négative correspond à une fonction décroissante.
Exercice 4Un extremum d'une fonction se trouve souvent là où sa dérivée s'annule en changeant de signe.
Vrai : un maximum ou un minimum apparaît là où f ′ s'annule en changeant de signe.
Exercice 5Explique comment on utilise la dérivée pour trouver le maximum d'une fonction.
On calcule la dérivée f ′, puis on étudie son signe. Là où f ′ s'annule en passant du positif au négatif, la fonction atteint un maximum (elle cesse de croître pour décroître). C'est la base des problèmes d'optimisation.
L'essentiel en images
