CoursMathématiques · 1re
La dérivation est l'un des outils les plus puissants des mathématiques : elle mesure comment une fonction varie. Grâce à elle, on trouve les maximums et minimums, on optimise, on comprend les vitesses. C'est un pilier de l'analyse.
Le cours
Le nombre dérivé de f en un point mesure la pente de la tangente à la courbe en ce point : il indique à quelle vitesse la fonction varie localement. Une pente positive signifie que la fonction monte, négative qu'elle descend.
La dérivée traduit la variation instantanée.
Si le nombre dérivé en un point est 2, la tangente y a une pente de 2 (la fonction monte).
La fonction dérivée, notée f ′, donne le nombre dérivé en chaque point. On connaît les dérivées des fonctions usuelles : la dérivée de xⁿ est n·xⁿ⁻¹, celle d'une constante est 0. Il existe aussi des règles pour les sommes, produits et quotients.
Calculer f ′ permet d'étudier toute la fonction.
Si f(x) = x³, alors f ′(x) = 3x². Si f(x) = 5, alors f ′(x) = 0.
Le signe de la dérivée donne le sens de variation de la fonction : là où f ′ est positive, f est croissante ; là où f ′ est négative, f est décroissante. On résume cela dans un tableau de variations.
C'est le lien fondamental entre dérivée et variations.
Si f ′(x) > 0 sur un intervalle, alors f est croissante sur cet intervalle.
Un extremum (maximum ou minimum) se trouve souvent là où la dérivée s'annule en changeant de signe. La dérivation est donc l'outil idéal pour résoudre les problèmes d'optimisation : trouver la valeur qui rend une quantité maximale ou minimale.
C'est une application très concrète des maths.
Pour maximiser une aire ou un bénéfice, on cherche où la dérivée s'annule.
Ce qu'il faut absolument retenir
Vérifie ta compréhension
Exercice 1Que représente le nombre dérivé de f en un point ?
Le nombre dérivé est la pente de la tangente à la courbe en ce point (la variation locale).
Exercice 2Quelle est la dérivée de f(x) = x³ ?
Dérivée de xⁿ = n·xⁿ⁻¹, donc la dérivée de x³ est 3x².
Exercice 3Si f ′(x) < 0 sur un intervalle, alors sur cet intervalle f est…
Une dérivée négative correspond à une fonction décroissante.
Exercice 4Un extremum d'une fonction se trouve souvent là où sa dérivée s'annule en changeant de signe.
Vrai : un maximum ou un minimum apparaît là où f ′ s'annule en changeant de signe.
Exercice 5Explique comment on utilise la dérivée pour trouver le maximum d'une fonction.
On calcule la dérivée f ′, puis on étudie son signe. Là où f ′ s'annule en passant du positif au négatif, la fonction atteint un maximum (elle cesse de croître pour décroître). C'est la base des problèmes d'optimisation.