Le cours
1. La fonction polynôme du second degré
Une fonction du second degré s'écrit f(x) = ax² + bx + c (avec a ≠ 0). Sa courbe est une parabole. Si a > 0, elle est tournée vers le haut (en U) ; si a < 0, vers le bas. Elle possède un sommet, qui est un extremum.
C'est la fonction de référence pour modéliser de nombreux phénomènes.
f(x) = x² − 4x + 3 est une fonction du second degré (a = 1 > 0, parabole en U).
2. Forme canonique et sommet
Toute fonction du second degré peut s'écrire sous forme canonique, qui fait apparaître les coordonnées du sommet de la parabole. Le sommet donne le maximum ou le minimum de la fonction.
La forme canonique est utile pour les problèmes d'optimisation.
Le sommet d'une parabole donne directement la valeur optimale (max ou min) de la fonction.
3. Le discriminant et les racines
Pour résoudre ax² + bx + c = 0, on calcule le discriminant Δ = b² − 4ac. Si Δ > 0, il y a deux solutions (racines) ; si Δ = 0, une seule ; si Δ < 0, aucune solution réelle. Les racines sont les points où la parabole croise l'axe des abscisses.
Le signe de Δ détermine le nombre de solutions.
Pour x² − 4x + 3 : Δ = 16 − 12 = 4 > 0 → deux racines (x = 1 et x = 3).
4. Le signe du trinôme
Le signe de ax² + bx + c dépend de a et des racines. Règle clé : le trinôme est du signe de a à l'extérieur des racines, et du signe contraire entre les racines. S'il n'y a pas de racine, il garde partout le signe de a.
Cela sert à résoudre des inéquations du second degré.
x² − 4x + 3 (a > 0) est positif hors de [1 ; 3] et négatif entre 1 et 3.
Pour approfondir ce chapitrefacultatif
Définitions clés
- Fonction polynôme du second degré
- Une fonction de la forme f(x) = ax² + bx + c, avec a ≠ 0.
- Discriminant
- Le nombre Δ = b² − 4ac. Son signe indique le nombre de solutions de l'équation ax² + bx + c = 0.
- Racines
- Les solutions de l'équation ax² + bx + c = 0 (les valeurs de x qui l'annulent).
- Parabole
- La courbe représentative d'une fonction du second degré ; elle est tournée vers le haut si a > 0, vers le bas si a < 0.
Explications détaillées
Le rôle du discriminant
Le discriminant Δ = b² − 4ac détermine le nombre de racines :
— si Δ > 0 : deux racines distinctes, x = (−b ± √Δ) / (2a) ; — si Δ = 0 : une racine double, x = −b / (2a) ; — si Δ < 0 : aucune racine réelle.
Calculer Δ est donc la première étape pour résoudre une équation du second degré.
De l'équation à la parabole
Les racines correspondent aux points où la parabole coupe l'axe des abscisses. Si Δ < 0, la parabole ne touche pas cet axe.
La parabole possède aussi un sommet (son extremum) : c'est le point le plus bas si a > 0, le plus haut si a < 0. Cette propriété est très utile pour les problèmes d'optimisation (aire maximale, coût minimal…).
Méthode pas à pas
Résoudre une équation du second degré
- Identifier les coefficients a, b et c.
- Calculer le discriminant Δ = b² − 4ac.
- Étudier le signe de Δ (positif, nul ou négatif).
- Appliquer la formule des racines correspondante, ou conclure qu'il n'y a pas de solution réelle.
Exemple corrigé pas à pas
Résoudre x² − 5x + 6 = 0
Résoudre l'équation x² − 5x + 6 = 0.
- Coefficients : a = 1, b = −5, c = 6.
- Discriminant : Δ = (−5)² − 4 × 1 × 6 = 25 − 24 = 1.
- Δ > 0 : deux racines, x = (5 ± √1) / 2.
- x = (5 + 1)/2 = 3 ou x = (5 − 1)/2 = 2. Les solutions sont 2 et 3.
Erreurs fréquentes à éviter
- Se tromper de signe en calculant Δ (surtout avec b négatif).b² est toujours positif : (−5)² = 25. On applique ensuite Δ = b² − 4ac avec soin.
- Oublier le dénominateur 2a dans la formule des racines.La formule est x = (−b ± √Δ) / (2a) : le 2a est indispensable.
- Chercher des racines quand Δ < 0.Si Δ < 0, l'équation n'a aucune solution réelle : la parabole ne coupe pas l'axe des abscisses.
Pour aller plus loin
Le second degré dans le monde réel
Les fonctions du second degré modélisent d'innombrables situations : la trajectoire d'un ballon (une parabole), l'aire à maximiser d'un enclos, le profit optimal d'une entreprise. Rechercher le sommet d'une parabole, c'est résoudre un problème d'optimisation — l'une des applications les plus utiles des mathématiques.
Ce qu'il faut absolument retenir
Ce qu'il faut absolument retenir
- Fonction du second degré : f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0), courbe = parabole (U si a > 0, ∩ si a < 0).
- La forme canonique fait apparaître le sommet (extremum) ; utile pour l'optimisation.
- Discriminant Δ = b² − 4ac : Δ > 0 → deux racines, Δ = 0 → une, Δ < 0 → aucune racine réelle.
- Les racines sont les points où la parabole croise l'axe des abscisses.
- Signe du trinôme : du signe de a à l'extérieur des racines, du signe opposé entre les racines.
Vérifie ta compréhension
Exercice 1Quelle est la formule du discriminant pour ax² + bx + c ?
Le discriminant est Δ = b² − 4ac.
Exercice 2Si le discriminant Δ est strictement négatif, combien l'équation a-t-elle de solutions réelles ?
Si Δ < 0, il n'y a aucune solution réelle (la parabole ne croise pas l'axe des abscisses).
Exercice 3Pour x² − 4x + 3, le discriminant vaut Δ = 4. Combien y a-t-il de racines ?
Δ = 4 > 0, donc il y a deux racines (ici x = 1 et x = 3).
Exercice 4Si a > 0, la parabole de f(x) = ax² + bx + c est tournée vers le haut (en forme de U).
Vrai : si a > 0, la parabole est tournée vers le haut ; si a < 0, vers le bas.
Exercice 5Décris la méthode pour résoudre une équation du second degré ax² + bx + c = 0.
On calcule le discriminant Δ = b² − 4ac. Si Δ > 0, il y a deux racines ; si Δ = 0, une racine double ; si Δ < 0, aucune racine réelle. On utilise ensuite les formules des racines pour les déterminer.
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