Le cours
1. Définition de l'exponentielle
La fonction exponentielle, notée exp ou eˣ, est l'une des fonctions les plus importantes des mathématiques. Elle est définie comme l'unique fonction égale à sa propre dérivée et valant 1 en 0 : exp'(x) = exp(x) et exp(0) = 1. Cette propriété d'être « sa propre dérivée » est unique et explique son omniprésence.
La fonction exponentielle est toujours strictement positive : eˣ > 0 pour tout x, quelle que soit la valeur de x (même négative). Elle est strictement croissante, et croît extrêmement vite : c'est l'archétype de la « croissance exponentielle », bien plus rapide que n'importe quelle puissance de x.
Le nombre e ≈ 2,718 est une constante fondamentale, au même titre que π. L'exponentielle modélise tous les phénomènes où la vitesse de croissance est proportionnelle à la quantité présente : croissance d'une population, intérêts composés, désintégration radioactive (avec un exposant négatif), propagation d'une épidémie. C'est un outil incontournable dans toutes les sciences.
La fonction exp est telle que sa dérivée est elle-même : (eˣ)′ = eˣ.
2. Les propriétés algébriques
La fonction exponentielle transforme les additions en multiplications, ce qui en fait un outil de calcul remarquable. Les propriétés algébriques à connaître découlent toutes de cette idée centrale.
La relation fondamentale est : e^(a+b) = eᵃ × eᵇ. Autrement dit, l'exponentielle d'une somme est le produit des exponentielles. On en déduit d'autres règles : e^(−a) = 1/eᵃ (l'exponentielle d'un opposé est l'inverse), e^(a−b) = eᵃ/eᵇ, et (eᵃ)ⁿ = e^(na).
Exemple : e³ × e² = e^(3+2) = e⁵. De même, e⁷/e³ = e^(7−3) = e⁴. Ces règles permettent de simplifier des expressions complexes et de résoudre des équations. Elles rappellent les règles sur les puissances, ce qui est logique : l'exponentielle est une puissance de e. Maîtriser ces manipulations est indispensable pour la Terminale et pour le supérieur, où l'exponentielle apparaît dans d'innombrables formules.
e² × e³ = e⁵ ; e⁻¹ = 1/e.
3. Variations et courbe
L'étude de la fonction exponentielle rassemble ce qu'on sait de ses propriétés. Sa courbe a une allure caractéristique qu'il faut savoir reconnaître et tracer.
La courbe passe par le point (0 ; 1), puisque e⁰ = 1. Elle reste toujours au-dessus de l'axe des abscisses (car eˣ > 0). Quand x tend vers +∞, la fonction croît vers l'infini de plus en plus vite ; quand x tend vers −∞, elle se rapproche de 0 sans jamais l'atteindre (l'axe des abscisses est une asymptote). Comme sa dérivée est elle-même, qui est positive, la fonction est strictement croissante sur tout son domaine.
Cette croissance « explosive » a des conséquences concrètes frappantes : c'est pourquoi une population qui croît de façon exponentielle, ou une somme placée à intérêts composés, peut atteindre des valeurs vertigineuses en peu de temps. Comprendre visuellement cette dynamique aide à saisir de nombreux phénomènes réels, des mathématiques financières à la biologie.
eˣ est toujours positif et croît de plus en plus vite quand x augmente.
4. Modéliser avec l'exponentielle
L'exponentielle n'est pas qu'un objet théorique : elle décrit une multitude de situations réelles, ce qui justifie sa place centrale dans les programmes.
En finance, un capital placé à taux composé croît de façon exponentielle : chaque période, on multiplie par le même facteur, exactement comme une suite géométrique, sa version continue étant l'exponentielle. En biologie, une population de bactéries qui double régulièrement suit une croissance exponentielle. En physique, la désintégration radioactive suit une décroissance exponentielle : la quantité restante est multipliée par un facteur inférieur à 1 à chaque période (on parle de demi-vie).
Ces applications montrent le lien profond entre l'exponentielle et les phénomènes de croissance ou de décroissance proportionnelle. C'est précisément ce type de modélisation qu'on approfondit dans le supérieur, en économie, en sciences de la vie, en physique. Bien comprendre l'exponentielle en Première, c'est se donner une clé pour de nombreuses matières futures.
Une décroissance radioactive se modélise par une exponentielle décroissante (exposant négatif).
Pour approfondir ce chapitrefacultatif
Définitions clés
- Fonction exponentielle
- La fonction exp, égale à sa propre dérivée et valant 1 en 0 : exp′ = exp et exp(0) = 1.
- Propriété fondamentale
- Pour tous nombres a et b : exp(a + b) = exp(a) × exp(b). L'exponentielle transforme les sommes en produits.
- Le nombre e
- Le nombre exp(1) ≈ 2,718, base de la fonction exponentielle.
- Positivité
- La fonction exponentielle est strictement positive pour tout x : exp(x) > 0.
Explications détaillées
Définition et propriétés
L'exponentielle est la fonction qui est égale à sa propre dérivée, avec exp(0) = 1. Elle est toujours strictement positive et strictement croissante.
Sa propriété reine : exp(a + b) = exp(a) × exp(b). On en déduit d'autres règles, comme exp(−a) = 1 / exp(a). L'exponentielle transforme les additions en multiplications — d'où sa puissance.
La croissance exponentielle
La fonction exponentielle croît de plus en plus vite : c'est le modèle de la « croissance exponentielle », spectaculaire et parfois trompeuse.
Elle modélise de nombreux phénomènes : intérêts composés, croissance de populations, propagation d'une épidémie. À l'inverse, exp(−x) modélise des décroissances (refroidissement, désintégration radioactive).
Méthode pas à pas
Simplifier une expression avec l'exponentielle
- Repérer les sommes ou différences dans les exposants.
- Appliquer exp(a + b) = exp(a) × exp(b) pour regrouper ou séparer.
- Utiliser exp(−a) = 1 / exp(a) si besoin.
- Vérifier que le résultat reste positif (l'exponentielle l'est toujours).
Exemple corrigé pas à pas
Utiliser la propriété fondamentale
Simplifier l'expression exp(5) × exp(3) ÷ exp(6).
- exp(5) × exp(3) = exp(5 + 3) = exp(8).
- On divise par exp(6) : exp(8) ÷ exp(6) = exp(8 − 6).
- = exp(2).
- L'expression se simplifie donc en exp(2).
Erreurs fréquentes à éviter
- Écrire exp(a + b) = exp(a) + exp(b).L'exponentielle transforme la somme en PRODUIT : exp(a + b) = exp(a) × exp(b).
- Croire que l'exponentielle peut être négative ou nulle.exp(x) est strictement positive pour tout x : elle ne s'annule jamais.
- Confondre l'exponentielle et une puissance ordinaire.exp est une fonction précise (sa propre dérivée) ; ses règles de calcul lui sont propres.
Pour aller plus loin
L'exponentielle, reine de la croissance
La croissance exponentielle est partout : intérêts composés, essor d'une technologie, début d'une épidémie. Elle est si rapide qu'elle défie l'intuition. En Terminale, la fonction logarithme (sa « fonction inverse ») complètera cet outil essentiel pour modéliser croissances et décroissances dans toutes les sciences.
Ce qu'il faut absolument retenir
Ce qu'il faut absolument retenir
- L'exponentielle exp(x) = eˣ est égale à sa propre dérivée et vaut 1 en 0 : (eˣ)′ = eˣ.
- Propriété clé : e^(a+b) = eᵃ × eᵇ (et e^(−a) = 1/eᵃ) — comme les puissances.
- L'exponentielle est toujours strictement positive et strictement croissante (elle ne s'annule jamais).
- Sa courbe « explose » vers le haut : image de la croissance rapide.
- Elle modélise les évolutions à taux constant : croissance (exposant positif) ou décroissance (exposant négatif).
Vérifie ta compréhension
Exercice 1Quelle est la dérivée de la fonction f(x) = eˣ ?
L'exponentielle est égale à sa propre dérivée : (eˣ)′ = eˣ.
Exercice 2Que vaut e² × e³ ?
e^(a+b) = eᵃ × eᵇ, donc e² × e³ = e²⁺³ = e⁵.
Exercice 3La fonction exponentielle est…
L'exponentielle est toujours strictement positive et strictement croissante (et vaut 1 en 0, pas 0).
Exercice 4L'exponentielle peut modéliser aussi bien une croissance qu'une décroissance (avec un exposant négatif).
Vrai : avec un exposant négatif, l'exponentielle décroît (ex. radioactivité, refroidissement).
Exercice 5Cite la propriété algébrique fondamentale de l'exponentielle et un exemple.
La propriété fondamentale est e^(a+b) = eᵃ × eᵇ (l'exponentielle transforme les sommes en produits). Exemple : e² × e³ = e⁵, ou e⁻¹ = 1/e.
L'essentiel en images
