CoursMathématiques · 1re
La fonction exponentielle est une star des mathématiques : elle décrit toutes les croissances et décroissances « explosives » — populations, intérêts composés, radioactivité, épidémies. La découvrir en première, c'est ouvrir une porte vers de nombreuses sciences.
Le cours
La fonction exponentielle, notée exp(x) ou eˣ, est la fonction qui est égale à sa propre dérivée et vaut 1 en 0. Cette propriété unique en fait un outil idéal pour modéliser les phénomènes dont la vitesse de variation est proportionnelle à la quantité présente.
C'est la fonction de la croissance « naturelle ».
La fonction exp est telle que sa dérivée est elle-même : (eˣ)′ = eˣ.
L'exponentielle transforme les sommes en produits : e^(a+b) = eᵃ × eᵇ. De même, e^(−a) = 1/eᵃ et e^(a−b) = eᵃ/eᵇ. Ces règles ressemblent à celles des puissances et simplifient beaucoup les calculs.
La propriété e^(a+b) = eᵃ·eᵇ est la plus importante.
e² × e³ = e⁵ ; e⁻¹ = 1/e.
L'exponentielle est toujours strictement positive et strictement croissante : elle ne s'annule jamais et augmente de plus en plus vite. Sa courbe part de très près de 0 (pour les x négatifs) et « explose » vers le haut.
C'est l'image même de la croissance rapide.
eˣ est toujours positif et croît de plus en plus vite quand x augmente.
L'exponentielle modélise les évolutions à taux constant : croissance d'une population, intérêts composés, mais aussi décroissance (radioactivité, refroidissement) avec un exposant négatif. Elle fait le lien entre le discret (les suites géométriques) et le continu.
C'est un outil universel de modélisation.
Une décroissance radioactive se modélise par une exponentielle décroissante (exposant négatif).
Ce qu'il faut absolument retenir
Vérifie ta compréhension
Exercice 1Quelle est la dérivée de la fonction f(x) = eˣ ?
L'exponentielle est égale à sa propre dérivée : (eˣ)′ = eˣ.
Exercice 2Que vaut e² × e³ ?
e^(a+b) = eᵃ × eᵇ, donc e² × e³ = e²⁺³ = e⁵.
Exercice 3La fonction exponentielle est…
L'exponentielle est toujours strictement positive et strictement croissante (et vaut 1 en 0, pas 0).
Exercice 4L'exponentielle peut modéliser aussi bien une croissance qu'une décroissance (avec un exposant négatif).
Vrai : avec un exposant négatif, l'exponentielle décroît (ex. radioactivité, refroidissement).
Exercice 5Cite la propriété algébrique fondamentale de l'exponentielle et un exemple.
La propriété fondamentale est e^(a+b) = eᵃ × eᵇ (l'exponentielle transforme les sommes en produits). Exemple : e² × e³ = e⁵, ou e⁻¹ = 1/e.