Le cours
1. Le nombre dérivé : une pente
Le nombre dérivé de f en un point mesure la pente de la tangente à la courbe en ce point : il indique à quelle vitesse la fonction varie localement. Une pente positive signifie que la fonction monte, négative qu'elle descend.
La dérivée traduit la variation instantanée.
Si le nombre dérivé en un point est 2, la tangente y a une pente de 2 (la fonction monte).
2. La fonction dérivée
La fonction dérivée, notée f ′, donne le nombre dérivé en chaque point. On connaît les dérivées des fonctions usuelles : la dérivée de xⁿ est n·xⁿ⁻¹, celle d'une constante est 0. Il existe aussi des règles pour les sommes, produits et quotients.
Calculer f ′ permet d'étudier toute la fonction.
Si f(x) = x³, alors f ′(x) = 3x². Si f(x) = 5, alors f ′(x) = 0.
3. Dérivée et sens de variation
Le signe de la dérivée donne le sens de variation de la fonction : là où f ′ est positive, f est croissante ; là où f ′ est négative, f est décroissante. On résume cela dans un tableau de variations.
C'est le lien fondamental entre dérivée et variations.
Si f ′(x) > 0 sur un intervalle, alors f est croissante sur cet intervalle.
4. Extremums et optimisation
Un extremum (maximum ou minimum) se trouve souvent là où la dérivée s'annule en changeant de signe. La dérivation est donc l'outil idéal pour résoudre les problèmes d'optimisation : trouver la valeur qui rend une quantité maximale ou minimale.
C'est une application très concrète des maths.
Pour maximiser une aire ou un bénéfice, on cherche où la dérivée s'annule.
Pour approfondir ce chapitrefacultatif
Définitions clés
- Nombre dérivé
- Le nombre dérivé de f en a, noté f′(a), est le coefficient directeur (la pente) de la tangente à la courbe au point d'abscisse a.
- Tangente
- La droite qui « épouse » la courbe en un point ; sa pente est le nombre dérivé en ce point.
- Fonction dérivée
- La fonction f′ qui, à chaque x, associe le nombre dérivé f′(x).
- Sens de variation
- Le fait qu'une fonction croisse ou décroisse ; il se lit dans le signe de la dérivée.
Explications détaillées
La dérivée, une pente qui varie
Le nombre dérivé f′(a) mesure la pente de la courbe au point d'abscisse a : il indique si la fonction monte fortement, doucement, ou descend en ce point.
Quelques dérivées de référence : (x²)′ = 2x, (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹, la dérivée d'une constante est 0. La dérivée transforme l'étude d'une courbe en un calcul.
Signe de la dérivée et variations
Le lien fondamental : là où f′(x) > 0, la fonction f est croissante ; là où f′(x) < 0, elle est décroissante ; là où f′(x) = 0, elle peut présenter un extremum (maximum ou minimum).
Étudier le signe de la dérivée permet donc de dresser le tableau de variations d'une fonction, et de localiser ses extremums.
Méthode pas à pas
Étudier les variations d'une fonction
- Calculer la fonction dérivée f′.
- Résoudre f′(x) = 0 et étudier le signe de f′.
- En déduire les intervalles de croissance et de décroissance.
- Repérer les extremums (là où la dérivée s'annule en changeant de signe).
Exemple corrigé pas à pas
Dériver et lire une pente
Soit f(x) = x². Déterminer f′(x), puis le sens de variation pour x > 0.
- Dérivée : f′(x) = 2x.
- Pour x > 0 : 2x > 0, donc f′(x) > 0.
- La dérivée est positive : f est croissante sur ]0 ; +∞[.
- Interprétation : la parabole « monte » à droite de l'origine.
Erreurs fréquentes à éviter
- Confondre la fonction f et sa dérivée f′.f donne la valeur ; f′ donne la pente. Un f′ positif signifie que f monte (mais f peut être négative).
- Se tromper dans les formules de dérivation.On applique les formules de référence : (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹, dérivée d'une constante = 0.
- Conclure sur les variations sans étudier le SIGNE de la dérivée.C'est le signe de f′ (et non sa valeur) qui donne le sens de variation.
Pour aller plus loin
La dérivée, langage du changement
La dérivation, inventée par Newton et Leibniz au XVIIᵉ siècle, décrit tout ce qui varie : en physique, la vitesse est la dérivée de la position, l'accélération celle de la vitesse. En économie, on parle de coût « marginal ». La dérivée est l'un des outils les plus puissants des sciences pour analyser le changement.
Ce qu'il faut absolument retenir
Ce qu'il faut absolument retenir
- Le nombre dérivé de f en un point est la pente de la tangente en ce point (variation locale).
- La fonction dérivée f ′ donne le nombre dérivé partout ; dérivée de xⁿ = n·xⁿ⁻¹, dérivée d'une constante = 0.
- Le signe de f ′ donne le sens de variation : f ′ > 0 → f croissante, f ′ < 0 → f décroissante.
- On résume les variations dans un tableau de variations.
- Un extremum se trouve souvent là où f ′ s'annule en changeant de signe (clé de l'optimisation).
Vérifie ta compréhension
Exercice 1Que représente le nombre dérivé de f en un point ?
Le nombre dérivé est la pente de la tangente à la courbe en ce point (la variation locale).
Exercice 2Quelle est la dérivée de f(x) = x³ ?
Dérivée de xⁿ = n·xⁿ⁻¹, donc la dérivée de x³ est 3x².
Exercice 3Si f ′(x) < 0 sur un intervalle, alors sur cet intervalle f est…
Une dérivée négative correspond à une fonction décroissante.
Exercice 4Un extremum d'une fonction se trouve souvent là où sa dérivée s'annule en changeant de signe.
Vrai : un maximum ou un minimum apparaît là où f ′ s'annule en changeant de signe.
Exercice 5Explique comment on utilise la dérivée pour trouver le maximum d'une fonction.
On calcule la dérivée f ′, puis on étudie son signe. Là où f ′ s'annule en passant du positif au négatif, la fonction atteint un maximum (elle cesse de croître pour décroître). C'est la base des problèmes d'optimisation.
L'essentiel en images
