Le cours
1. Définition de l'exponentielle
La fonction exponentielle, notée exp(x) ou eˣ, est la fonction qui est égale à sa propre dérivée et vaut 1 en 0. Cette propriété unique en fait un outil idéal pour modéliser les phénomènes dont la vitesse de variation est proportionnelle à la quantité présente.
C'est la fonction de la croissance « naturelle ».
La fonction exp est telle que sa dérivée est elle-même : (eˣ)′ = eˣ.
2. Les propriétés algébriques
L'exponentielle transforme les sommes en produits : e^(a+b) = eᵃ × eᵇ. De même, e^(−a) = 1/eᵃ et e^(a−b) = eᵃ/eᵇ. Ces règles ressemblent à celles des puissances et simplifient beaucoup les calculs.
La propriété e^(a+b) = eᵃ·eᵇ est la plus importante.
e² × e³ = e⁵ ; e⁻¹ = 1/e.
3. Variations et courbe
L'exponentielle est toujours strictement positive et strictement croissante : elle ne s'annule jamais et augmente de plus en plus vite. Sa courbe part de très près de 0 (pour les x négatifs) et « explose » vers le haut.
C'est l'image même de la croissance rapide.
eˣ est toujours positif et croît de plus en plus vite quand x augmente.
4. Modéliser avec l'exponentielle
L'exponentielle modélise les évolutions à taux constant : croissance d'une population, intérêts composés, mais aussi décroissance (radioactivité, refroidissement) avec un exposant négatif. Elle fait le lien entre le discret (les suites géométriques) et le continu.
C'est un outil universel de modélisation.
Une décroissance radioactive se modélise par une exponentielle décroissante (exposant négatif).
Pour approfondir ce chapitrefacultatif
Définitions clés
- Fonction exponentielle
- La fonction exp, égale à sa propre dérivée et valant 1 en 0 : exp′ = exp et exp(0) = 1.
- Propriété fondamentale
- Pour tous nombres a et b : exp(a + b) = exp(a) × exp(b). L'exponentielle transforme les sommes en produits.
- Le nombre e
- Le nombre exp(1) ≈ 2,718, base de la fonction exponentielle.
- Positivité
- La fonction exponentielle est strictement positive pour tout x : exp(x) > 0.
Explications détaillées
Définition et propriétés
L'exponentielle est la fonction qui est égale à sa propre dérivée, avec exp(0) = 1. Elle est toujours strictement positive et strictement croissante.
Sa propriété reine : exp(a + b) = exp(a) × exp(b). On en déduit d'autres règles, comme exp(−a) = 1 / exp(a). L'exponentielle transforme les additions en multiplications — d'où sa puissance.
La croissance exponentielle
La fonction exponentielle croît de plus en plus vite : c'est le modèle de la « croissance exponentielle », spectaculaire et parfois trompeuse.
Elle modélise de nombreux phénomènes : intérêts composés, croissance de populations, propagation d'une épidémie. À l'inverse, exp(−x) modélise des décroissances (refroidissement, désintégration radioactive).
Méthode pas à pas
Simplifier une expression avec l'exponentielle
- Repérer les sommes ou différences dans les exposants.
- Appliquer exp(a + b) = exp(a) × exp(b) pour regrouper ou séparer.
- Utiliser exp(−a) = 1 / exp(a) si besoin.
- Vérifier que le résultat reste positif (l'exponentielle l'est toujours).
Exemple corrigé pas à pas
Utiliser la propriété fondamentale
Simplifier l'expression exp(5) × exp(3) ÷ exp(6).
- exp(5) × exp(3) = exp(5 + 3) = exp(8).
- On divise par exp(6) : exp(8) ÷ exp(6) = exp(8 − 6).
- = exp(2).
- L'expression se simplifie donc en exp(2).
Erreurs fréquentes à éviter
- Écrire exp(a + b) = exp(a) + exp(b).L'exponentielle transforme la somme en PRODUIT : exp(a + b) = exp(a) × exp(b).
- Croire que l'exponentielle peut être négative ou nulle.exp(x) est strictement positive pour tout x : elle ne s'annule jamais.
- Confondre l'exponentielle et une puissance ordinaire.exp est une fonction précise (sa propre dérivée) ; ses règles de calcul lui sont propres.
Pour aller plus loin
L'exponentielle, reine de la croissance
La croissance exponentielle est partout : intérêts composés, essor d'une technologie, début d'une épidémie. Elle est si rapide qu'elle défie l'intuition. En Terminale, la fonction logarithme (sa « fonction inverse ») complètera cet outil essentiel pour modéliser croissances et décroissances dans toutes les sciences.
Ce qu'il faut absolument retenir
Ce qu'il faut absolument retenir
- L'exponentielle exp(x) = eˣ est égale à sa propre dérivée et vaut 1 en 0 : (eˣ)′ = eˣ.
- Propriété clé : e^(a+b) = eᵃ × eᵇ (et e^(−a) = 1/eᵃ) — comme les puissances.
- L'exponentielle est toujours strictement positive et strictement croissante (elle ne s'annule jamais).
- Sa courbe « explose » vers le haut : image de la croissance rapide.
- Elle modélise les évolutions à taux constant : croissance (exposant positif) ou décroissance (exposant négatif).
Vérifie ta compréhension
Exercice 1Quelle est la dérivée de la fonction f(x) = eˣ ?
L'exponentielle est égale à sa propre dérivée : (eˣ)′ = eˣ.
Exercice 2Que vaut e² × e³ ?
e^(a+b) = eᵃ × eᵇ, donc e² × e³ = e²⁺³ = e⁵.
Exercice 3La fonction exponentielle est…
L'exponentielle est toujours strictement positive et strictement croissante (et vaut 1 en 0, pas 0).
Exercice 4L'exponentielle peut modéliser aussi bien une croissance qu'une décroissance (avec un exposant négatif).
Vrai : avec un exposant négatif, l'exponentielle décroît (ex. radioactivité, refroidissement).
Exercice 5Cite la propriété algébrique fondamentale de l'exponentielle et un exemple.
La propriété fondamentale est e^(a+b) = eᵃ × eᵇ (l'exponentielle transforme les sommes en produits). Exemple : e² × e³ = e⁵, ou e⁻¹ = 1/e.
L'essentiel en images
