Le cours
1. Le radian et le cercle trigonométrique
En plus des degrés, on mesure les angles en radians, une unité naturelle liée au cercle. Sur le cercle trigonométrique (de rayon 1), on repère les angles et on définit le cosinus et le sinus d'un angle comme les coordonnées d'un point.
Le radian est l'unité d'angle privilégiée en mathématiques.
Un tour complet vaut 360° ou 2π radians ; un angle droit vaut π/2 radians.
2. Cosinus et sinus
Pour un angle, le cosinus et le sinus sont définis sur le cercle trigonométrique. Ils vérifient la relation fondamentale : cos²(x) + sin²(x) = 1. Ces fonctions sont périodiques (elles se répètent) et servent à décrire des phénomènes qui oscillent.
Elles modélisent tout ce qui est cyclique.
Relation fondamentale : cos²(x) + sin²(x) = 1, valable pour tout angle x.
3. Le produit scalaire
Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre qui combine leurs longueurs et l'angle entre eux. Il se calcule à partir des coordonnées des vecteurs. Le produit scalaire fait le lien entre les vecteurs et les angles.
C'est un outil central de la géométrie au lycée.
Le produit scalaire de deux vecteurs se calcule simplement à partir de leurs coordonnées.
4. Orthogonalité et applications
Une propriété très utile : deux vecteurs sont orthogonaux (perpendiculaires) si et seulement si leur produit scalaire est nul. Le produit scalaire permet ainsi de prouver des perpendicularités, de calculer des angles et des distances.
Il relie le calcul et la géométrie de l'espace.
Deux vecteurs sont perpendiculaires exactement quand leur produit scalaire vaut 0.
Pour approfondir ce chapitrefacultatif
Définitions clés
- Radian
- Une unité de mesure des angles ; un tour complet vaut 2π radians (soit 360°).
- Cercle trigonométrique
- Un cercle de rayon 1 sur lequel on lit le cosinus et le sinus d'un angle.
- Produit scalaire
- Une opération entre deux vecteurs qui donne un nombre : u⃗·v⃗ = xᵤ×xᵥ + yᵤ×yᵥ (dans un repère orthonormé).
- Orthogonalité
- Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux (perpendiculaires) si, et seulement si, leur produit scalaire est nul.
Explications détaillées
Mesurer les angles en radians
Le radian relie l'angle à la longueur d'arc sur le cercle de rayon 1. Correspondances utiles : 180° = π radians, 90° = π/2, 360° = 2π.
Sur le cercle trigonométrique (rayon 1), à chaque angle correspond un point dont l'abscisse est le cosinus et l'ordonnée le sinus. Ce cadre unifie toute la trigonométrie.
Le produit scalaire et ses usages
Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre. Avec les coordonnées : u⃗·v⃗ = xᵤxᵥ + yᵤyᵥ. Il s'exprime aussi par u⃗·v⃗ = ‖u⃗‖ × ‖v⃗‖ × cos(θ), où θ est l'angle entre les vecteurs.
Ses usages sont nombreux : tester si deux vecteurs sont orthogonaux (produit scalaire nul), calculer un angle, ou démontrer des propriétés géométriques.
Méthode pas à pas
Calculer un produit scalaire et tester l'orthogonalité
- Relever les coordonnées des deux vecteurs.
- Appliquer u⃗·v⃗ = xᵤ×xᵥ + yᵤ×yᵥ.
- Calculer la somme obtenue.
- Si le résultat est nul, les vecteurs sont orthogonaux ; sinon, ils ne le sont pas.
Exemple corrigé pas à pas
Deux vecteurs sont-ils orthogonaux ?
Soit u⃗(2 ; 3) et v⃗(3 ; −2). Ces vecteurs sont-ils orthogonaux ?
- Produit scalaire : u⃗·v⃗ = xᵤ×xᵥ + yᵤ×yᵥ.
- u⃗·v⃗ = 2 × 3 + 3 × (−2).
- = 6 − 6 = 0.
- Le produit scalaire est nul : les vecteurs sont orthogonaux.
Erreurs fréquentes à éviter
- Confondre radians et degrés.π radians = 180°. On convertit avant tout calcul : ne pas mélanger les deux unités.
- Croire que le produit scalaire est un vecteur.Le produit scalaire est un NOMBRE (un scalaire), pas un vecteur.
- Oublier que l'orthogonalité équivaut à un produit scalaire nul.Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si, et seulement si, leur produit scalaire vaut 0.
Pour aller plus loin
Le produit scalaire en physique
Le produit scalaire n'est pas qu'un outil géométrique : en physique, le travail d'une force est le produit scalaire de la force et du déplacement. Il apparaît partout où l'on combine deux grandeurs vectorielles selon leur orientation. C'est un bel exemple de notion mathématique au service des sciences.
Ce qu'il faut absolument retenir
Ce qu'il faut absolument retenir
- Les angles se mesurent aussi en radians : un tour = 2π rad, un angle droit = π/2 rad.
- Sur le cercle trigonométrique, cosinus et sinus sont les coordonnées d'un point ; relation : cos²(x) + sin²(x) = 1.
- Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques : elles décrivent les phénomènes qui oscillent.
- Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre combinant longueurs et angle ; il se calcule par les coordonnées.
- Deux vecteurs sont orthogonaux (perpendiculaires) si et seulement si leur produit scalaire est nul.
Vérifie ta compréhension
Exercice 1Combien vaut un tour complet en radians ?
Un tour complet vaut 360°, soit 2π radians.
Exercice 2Quelle est la relation fondamentale de la trigonométrie ?
La relation fondamentale est cos²(x) + sin²(x) = 1, valable pour tout angle x.
Exercice 3Deux vecteurs sont perpendiculaires si et seulement si leur produit scalaire est…
Deux vecteurs sont orthogonaux exactement quand leur produit scalaire est nul.
Exercice 4Les fonctions cosinus et sinus sont périodiques.
Vrai : elles se répètent régulièrement, ce qui permet de modéliser des phénomènes qui oscillent.
Exercice 5Comment peut-on utiliser le produit scalaire pour prouver que deux droites sont perpendiculaires ?
On considère un vecteur directeur de chaque droite et on calcule leur produit scalaire. Si ce produit scalaire est nul, alors les vecteurs (et donc les droites) sont perpendiculaires.
L'essentiel en images
