Le cours
1. La notion de fonction
La notion de fonction est l'une des plus importantes des mathématiques du lycée. Comprendre cette notion est essentiel, car les fonctions sont un outil central pour décrire et étudier de nombreux phénomènes.
Une fonction est un procédé qui, à chaque nombre (appelé antécédent), associe un unique autre nombre (appelé image). On peut voir une fonction comme une « machine » qui transforme un nombre en un autre, selon une règle. Par exemple, la fonction qui à un nombre associe son carré transforme 3 en 9, 4 en 16, etc. On note souvent une fonction f, et l'image d'un nombre x est notée f(x). Ainsi, pour la fonction carré, f(3) = 9. Une fonction peut être décrite de plusieurs façons : par une formule (par exemple f(x) = x²), par un tableau de valeurs, ou par une courbe (sa représentation graphique). La représentation graphique d'une fonction, dans un repère, permet de visualiser comment l'image varie en fonction de l'antécédent. Les fonctions sont fondamentales car elles permettent de décrire des relations entre des grandeurs et d'étudier comment une quantité dépend d'une autre (par exemple, une distance en fonction du temps). Elles sont utilisées dans toutes les sciences. Comprendre la notion de fonction, c'est acquérir un outil central des mathématiques, essentiel pour décrire et analyser de nombreux phénomènes, et qui sera approfondi tout au long du lycée.
Comprendre la notion de fonction est essentiel, car les fonctions sont un outil central des mathématiques et des sciences. Cette notion est fondamentale. Elle est approfondie dans le supérieur, en analyse, où l'étude des fonctions est un domaine majeur.
Si f(x) = x² + 1, alors f(3) = 10 : le point (3 ; 10) est sur la courbe.
2. Sens de variation
Étudier une fonction, c'est notamment déterminer son sens de variation : savoir si elle croît ou décroît. Comprendre cette notion est essentiel pour analyser le comportement des fonctions.
Le sens de variation d'une fonction décrit comment ses valeurs (les images) évoluent quand l'antécédent augmente. Une fonction est croissante sur un intervalle si, quand x augmente, f(x) augmente aussi (la courbe « monte »). Elle est décroissante si, quand x augmente, f(x) diminue (la courbe « descend »). Une fonction peut être croissante sur certains intervalles et décroissante sur d'autres. On résume souvent le sens de variation d'une fonction dans un tableau de variations, qui indique sur quels intervalles la fonction croît ou décroît, ainsi que ses valeurs importantes (comme les maximums et minimums). Le sens de variation est une information essentielle pour comprendre le comportement d'une fonction : il indique comment la quantité représentée évolue. Par exemple, il permet de repérer quand une grandeur augmente ou diminue, d'identifier un maximum ou un minimum. Étudier le sens de variation est au cœur de l'étude des fonctions. Comprendre cette notion, c'est acquérir un outil essentiel pour analyser le comportement des fonctions et les phénomènes qu'elles décrivent, une compétence centrale des mathématiques du lycée.
Comprendre le sens de variation est essentiel, car il décrit le comportement des fonctions. Cette notion est fondamentale en mathématiques. Elle est approfondie dans le supérieur, en analyse, où l'étude des variations des fonctions (notamment grâce à la dérivation) est essentielle.
La fonction carré décroît sur ]−∞ ; 0] puis croît sur [0 ; +∞[ ; elle a un minimum en 0.
3. Les fonctions affines
Les fonctions affines sont parmi les fonctions les plus simples et les plus importantes. Comprendre ces fonctions est essentiel, car elles décrivent de nombreuses situations et sont très utilisées.
Une fonction affine est une fonction de la forme f(x) = ax + b, où a et b sont des nombres fixés. Par exemple, f(x) = 2x + 3 est une fonction affine. Sa représentation graphique est une droite, ce qui en fait des fonctions particulièrement simples à étudier. Les deux nombres a et b ont une signification : a est le coefficient directeur (la pente de la droite), qui indique l'inclinaison et le sens de variation (la fonction est croissante si a est positif, décroissante si a est négatif) ; b est l'ordonnée à l'origine (la valeur de la fonction quand x = 0, c'est-à-dire là où la droite coupe l'axe des ordonnées). Un cas particulier est la fonction linéaire (quand b = 0, f(x) = ax), qui traduit une situation de proportionnalité. Les fonctions affines sont très utilisées car elles décrivent de nombreuses situations où une grandeur varie de façon régulière (par exemple, un tarif avec un montant fixe et un montant proportionnel). Comprendre les fonctions affines, leur représentation par une droite et la signification de leurs coefficients, c'est maîtriser une famille de fonctions fondamentale, aux nombreuses applications, et une base essentielle pour l'étude des fonctions.
Comprendre les fonctions affines est essentiel, car elles décrivent de nombreuses situations et sont très utilisées. Ces fonctions sont fondamentales en mathématiques. Elles sont approfondies dans le supérieur, où elles servent de base à l'étude de fonctions plus complexes.
f(x) = 2x − 1 : droite de pente 2 (croissante), coupant l'axe des ordonnées en −1.
4. Les fonctions carré et inverse
Parmi les fonctions de référence, les fonctions carré et inverse occupent une place importante. Comprendre ces fonctions est essentiel, car elles apparaissent fréquemment et servent de modèles.
La fonction carré est la fonction qui, à un nombre x, associe son carré : f(x) = x². Sa représentation graphique est une courbe appelée parabole. La fonction carré a des propriétés importantes : elle est décroissante pour les nombres négatifs et croissante pour les nombres positifs, avec un minimum en 0 (car un carré est toujours positif ou nul). La fonction inverse est la fonction qui, à un nombre x non nul, associe son inverse : f(x) = 1/x. Sa représentation graphique est une courbe appelée hyperbole. La fonction inverse n'est pas définie en 0 (on ne peut pas diviser par zéro), et elle est décroissante sur chacun de ses intervalles. Ces deux fonctions font partie des fonctions de référence : ce sont des fonctions de base, bien connues, dont on connaît la courbe et les variations, et qui servent de modèles et de points de repère pour étudier d'autres fonctions. Elles apparaissent fréquemment en mathématiques et dans les applications (par exemple, la fonction carré pour les aires, la fonction inverse pour les situations de proportionnalité inverse). Comprendre les fonctions carré et inverse, leurs courbes et leurs propriétés, c'est enrichir sa connaissance des fonctions de référence, essentielles pour l'étude des fonctions au lycée.
Comprendre les fonctions carré et inverse est essentiel, car ce sont des fonctions de référence fréquemment rencontrées. Ces fonctions sont fondamentales en mathématiques. Elles sont approfondies dans le supérieur, où elles font partie des fonctions de base constamment utilisées.
La parabole de x² est en forme de U ; l'hyperbole de 1/x a deux branches.
Pour approfondir ce chapitrefacultatif
Définitions clés
- Fonction carré
- La fonction f(x) = x². Sa courbe est une parabole ; elle est toujours positive ou nulle.
- Fonction inverse
- La fonction f(x) = 1/x, définie pour tout x sauf 0. Sa courbe est une hyperbole.
- Sens de variation
- La façon dont une fonction évolue : croissante (elle monte) ou décroissante (elle descend) sur un intervalle.
- Courbe représentative
- L'ensemble des points de coordonnées (x ; f(x)) : la représentation graphique de la fonction.
Explications détaillées
La fonction carré
La fonction carré f(x) = x² transforme un nombre en son carré. Sa courbe, la parabole, est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Elle est décroissante sur ]−∞ ; 0] puis croissante sur [0 ; +∞[ : elle atteint son minimum, 0, en x = 0. Comme un carré n'est jamais négatif, la courbe reste au-dessus de l'axe des abscisses.
La fonction inverse
La fonction inverse f(x) = 1/x n'est pas définie en 0 (on ne divise pas par zéro). Sa courbe, l'hyperbole, comporte deux branches.
Elle est décroissante sur ]−∞ ; 0[ et décroissante sur ]0 ; +∞[ : plus x augmente, plus 1/x diminue (pour x positif). Ces comportements « de référence » servent à comprendre des fonctions plus complexes.
Méthode pas à pas
Décrire le sens de variation à partir d'une courbe
- Parcourir la courbe de gauche à droite (x croissant).
- Repérer les portions où la courbe monte (croissante) ou descend (décroissante).
- Noter les valeurs de x où le sens change (extremums).
- Résumer dans un tableau de variations.
Exemple corrigé pas à pas
Comparer des images par la fonction carré
Avec f(x) = x², comparer f(−3) et f(2).
- f(−3) = (−3)² = 9.
- f(2) = 2² = 4.
- On compare : 9 > 4, donc f(−3) > f(2).
- Remarque : un nombre négatif peut avoir une image plus grande, car le carré supprime le signe.
Erreurs fréquentes à éviter
- Écrire x² = 2x.x² = x × x (par exemple 5² = 25), alors que 2x = x + x (2 × 5 = 10). Ce sont deux choses différentes.
- Calculer 1/x en x = 0.La fonction inverse n'est pas définie en 0 : on ne divise jamais par zéro.
- Confondre image et antécédent.L'image est le résultat f(x) ; l'antécédent est la valeur de départ x.
Pour aller plus loin
Les fonctions pour modéliser le monde
Les fonctions de référence décrivent d'innombrables phénomènes : la fonction carré apparaît dans la chute des corps ou l'aire d'un carré, la fonction inverse dans les relations « plus il y en a, moins chacun en a ». En Première, la dérivation permettra d'étudier finement ces variations, un outil central des sciences.
Ce qu'il faut absolument retenir
Ce qu'il faut absolument retenir
- Une fonction associe à chaque x une unique image f(x) ; la courbe passe par les points (x ; f(x)).
- Croissante : f(x) augmente avec x ; décroissante : f(x) diminue. On résume dans un tableau de variations.
- Fonction affine f(x) = ax + b : droite, a = pente (a > 0 croissante, a < 0 décroissante), b = ordonnée à l'origine.
- Fonction carré f(x) = x² : parabole en U, minimum en 0, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
- Fonction inverse f(x) = 1/x : hyperbole, non définie en 0.
Vérifie ta compréhension
Exercice 1Quelle est la courbe représentative de la fonction carré f(x) = x² ?
La fonction carré a pour courbe une parabole (en forme de U), symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Exercice 2La fonction affine f(x) = −3x + 2 est…
Le coefficient directeur a = −3 est négatif : la fonction est décroissante.
Exercice 3En quelle valeur la fonction inverse f(x) = 1/x n'est-elle pas définie ?
On ne peut pas diviser par 0 : la fonction inverse n'est pas définie en 0.
Exercice 4Pour une fonction affine f(x) = ax + b, si a > 0 alors la fonction est croissante.
Vrai : un coefficient directeur positif correspond à une fonction croissante (la droite monte).
Exercice 5Si f(x) = x² + 1, que vaut f(3) ?
f(3) = 3² + 1 = 9 + 1 = 10.
L'essentiel en images
