CoursMathématiques · 2de
Les fonctions sont au cœur des mathématiques du lycée. En seconde, on étudie les fonctions de référence — affine, carré, inverse — dont on apprend à reconnaître la courbe, le sens de variation et les propriétés. Ce sont les briques de tout le reste.
Le cours
Une fonction f associe à chaque nombre x (de son ensemble de définition) un unique nombre image, noté f(x). On peut la représenter par une courbe dans un repère : à chaque x correspond un point de coordonnées (x ; f(x)).
La courbe permet de lire images et antécédents.
Si f(x) = x² + 1, alors f(3) = 10 : le point (3 ; 10) est sur la courbe.
Une fonction est croissante quand, plus x augmente, plus f(x) augmente ; décroissante quand f(x) diminue. On résume ces variations dans un tableau de variations. Un extremum est un maximum ou un minimum.
Le sens de variation décrit le comportement de la fonction.
La fonction carré décroît sur ]−∞ ; 0] puis croît sur [0 ; +∞[ ; elle a un minimum en 0.
Une fonction affine s'écrit f(x) = ax + b. Sa courbe est une droite ; a est le coefficient directeur (la pente), b l'ordonnée à l'origine. Si a > 0, la fonction est croissante ; si a < 0, décroissante.
La fonction linéaire (b = 0) en est un cas particulier (proportionnalité).
f(x) = 2x − 1 : droite de pente 2 (croissante), coupant l'axe des ordonnées en −1.
La fonction carré f(x) = x² a pour courbe une parabole, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, avec un minimum en 0. La fonction inverse f(x) = 1/x a pour courbe une hyperbole, et n'est pas définie en 0.
Ces deux courbes sont à connaître par cœur.
La parabole de x² est en forme de U ; l'hyperbole de 1/x a deux branches.
Ce qu'il faut absolument retenir
Vérifie ta compréhension
Exercice 1Quelle est la courbe représentative de la fonction carré f(x) = x² ?
La fonction carré a pour courbe une parabole (en forme de U), symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Exercice 2La fonction affine f(x) = −3x + 2 est…
Le coefficient directeur a = −3 est négatif : la fonction est décroissante.
Exercice 3En quelle valeur la fonction inverse f(x) = 1/x n'est-elle pas définie ?
On ne peut pas diviser par 0 : la fonction inverse n'est pas définie en 0.
Exercice 4Pour une fonction affine f(x) = ax + b, si a > 0 alors la fonction est croissante.
Vrai : un coefficient directeur positif correspond à une fonction croissante (la droite monte).
Exercice 5Si f(x) = x² + 1, que vaut f(3) ?
f(3) = 3² + 1 = 9 + 1 = 10.