Le cours
1. Développer et factoriser
On consolide les deux opérations inverses. Développer transforme un produit en somme ; factoriser fait l'inverse (somme → produit). On s'appuie sur les trois identités remarquables : (a + b)² = a² + 2ab + b² ; (a − b)² = a² − 2ab + b² ; (a + b)(a − b) = a² − b².
Exemples de développement : (x + 3)² = x² + 6x + 9 ; (x − 5)(x + 5) = x² − 25. Exemple de factorisation : x² − 9 = (x − 3)(x + 3) (différence de deux carrés).
Ces identités accélèrent énormément les calculs et évitent la double distributivité à chaque fois. Les reconnaître « dans les deux sens » est un réflexe essentiel au lycée.
(x + 3)² = x² + 6x + 9 ; x² − 25 = (x − 5)(x + 5).
2. Résoudre une équation
Résoudre une équation, c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue qui rendent l'égalité vraie. On isole x en effectuant la même opération des deux côtés (opérations équivalentes). Exemple : 2x + 3 = 11 → 2x = 8 → x = 4.
Pour une équation-produit, on utilise une règle très puissante : un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul. Ainsi (x − 2)(x + 5) = 0 donne x − 2 = 0 ou x + 5 = 0, soit x = 2 ou x = −5.
La factorisation est souvent la clé : pour résoudre x² − 3x = 0, on factorise en x(x − 3) = 0, d'où x = 0 ou x = 3. On vérifie toujours ses solutions en les réinjectant dans l'équation de départ.
(x − 2)(x + 3) = 0 ⟺ x = 2 ou x = −3.
3. Les inéquations
Une inéquation compare deux expressions avec les symboles <, >, ≤ ou ≥. On la résout comme une équation (mêmes opérations des deux côtés), avec UNE règle cruciale : quand on multiplie ou divise les deux membres par un nombre négatif, on INVERSE le sens de l'inégalité.
Exemple : −2x > 6 → on divise par −2 et on retourne le signe → x < −3.
Les solutions ne sont plus un nombre isolé mais tout un ensemble, qu'on écrit sous forme d'intervalle : x < −3 se note ]−∞ ; −3[. On peut aussi représenter l'ensemble des solutions sur une droite graduée, en hachurant la partie exclue.
−2x > 6 ⟺ x < −3 (on divise par −2 et on inverse le sens).
4. Mettre un problème en équation
L'algèbre sert à résoudre des problèmes concrets. La méthode se déroule en quatre temps : on choisit l'inconnue (« Soit x le nombre cherché »), on traduit l'énoncé par une équation ou une inéquation, on résout, puis on interprète le résultat dans le contexte.
Exemple : « Un rectangle a une longueur qui dépasse sa largeur de 4 cm, et un périmètre de 28 cm. » On pose x = la largeur ; la longueur vaut x + 4 ; le périmètre s'écrit 2(x + x + 4) = 28, soit 4x + 8 = 28, donc x = 5. La largeur est 5 cm, la longueur 9 cm.
Traduire un problème en langage mathématique, puis revenir au sens concret, est une compétence centrale — au lycée comme dans la vie courante.
« Le double d'un nombre augmenté de 5 vaut 17 » : 2x + 5 = 17, donc x = 6.
Pour approfondir ce chapitrefacultatif
Définitions clés
- Équation / Inéquation
- Une équation est une égalité à résoudre ; une inéquation compare deux expressions avec <, >, ≤ ou ≥.
- Équation-produit
- Une équation de la forme A × B = 0. Un produit est nul si, et seulement si, l'un au moins de ses facteurs est nul.
- Identités remarquables
- (a + b)² = a² + 2ab + b² ; (a − b)² = a² − 2ab + b² ; (a + b)(a − b) = a² − b².
- Factoriser
- Transformer une somme en produit, souvent pour résoudre une équation ou étudier un signe.
Explications détaillées
Résoudre une équation-produit
La règle du produit nul est fondamentale : A × B = 0 équivaut à « A = 0 OU B = 0 ». On résout alors séparément chaque facteur.
Exemple : (x − 2)(x + 3) = 0 donne x − 2 = 0 ou x + 3 = 0, soit x = 2 ou x = −3. La factorisation permet ainsi de résoudre des équations qu'on ne saurait pas résoudre directement.
Résoudre une inéquation : attention au signe
On résout une inéquation comme une équation, à une règle près : lorsqu'on multiplie ou divise les deux membres par un nombre négatif, on inverse le sens de l'inégalité.
Exemple : −2x > 4. On divise par −2 (négatif), donc on inverse : x < −2. Oublier d'inverser le sens est l'erreur la plus fréquente.
Méthode pas à pas
Résoudre une inéquation du premier degré
- Regrouper les termes en x d'un côté, les nombres de l'autre.
- Isoler le terme en x.
- Diviser par le coefficient de x.
- Si ce coefficient est négatif, inverser le sens de l'inégalité.
Exemple corrigé pas à pas
Résoudre une équation-produit
Résoudre (x − 5)(2x + 1) = 0.
- Un produit est nul si un facteur est nul : x − 5 = 0 ou 2x + 1 = 0.
- Premier facteur : x − 5 = 0, donc x = 5.
- Second facteur : 2x + 1 = 0, donc 2x = −1, soit x = −0,5.
- Solutions : x = 5 ou x = −0,5.
Erreurs fréquentes à éviter
- Oublier d'inverser le sens d'une inéquation en divisant par un négatif.Multiplier ou diviser par un nombre négatif inverse le sens : −2x > 4 donne x < −2.
- Croire que A × B = 0 impose A = 0 ET B = 0.Il suffit qu'UN facteur soit nul : A = 0 OU B = 0.
- Développer au lieu de factoriser pour résoudre.Pour résoudre, on cherche souvent à factoriser afin d'utiliser la règle du produit nul.
Pour aller plus loin
Vers le second degré
La factorisation et la règle du produit nul sont la porte d'entrée vers les équations du second degré, étudiées en Première. Résoudre des équations est au cœur des mathématiques appliquées : physique, économie, informatique… Partout, on modélise un problème par une équation, puis on la résout.
Ce qu'il faut absolument retenir
Ce qu'il faut absolument retenir
- Identités remarquables : (a + b)² = a² + 2ab + b² ; (a − b)² = a² − 2ab + b² ; (a + b)(a − b) = a² − b².
- Équation-produit : un produit est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul.
- Inéquation : on inverse le sens de l'inégalité quand on multiplie ou divise par un nombre négatif.
- Les solutions d'une inéquation s'expriment souvent sous forme d'intervalle.
- Mettre en équation : choisir l'inconnue, traduire, résoudre, interpréter.
Vérifie ta compréhension
Exercice 1Développe (x + 3)² grâce à l'identité remarquable.
(a + b)² = a² + 2ab + b², donc (x + 3)² = x² + 6x + 9.
Exercice 2Factorise x² − 25.
C'est une différence de carrés : a² − b² = (a − b)(a + b), donc x² − 25 = (x − 5)(x + 5).
Exercice 3Résous l'inéquation −2x > 6.
On divise par −2 en inversant le sens : x < −3.
Exercice 4(a + b)² est égal à a² + b².
Faux : (a + b)² = a² + 2ab + b². Il ne faut pas oublier le double produit 2ab.
Exercice 5Les solutions de (x − 2)(x + 3) = 0 sont…
Un produit est nul si un facteur est nul : x − 2 = 0 ou x + 3 = 0, donc x = 2 ou x = −3.
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