Le cours
1. La notion de fonction
Une fonction f associe à chaque nombre x (pris dans son ensemble de définition) un unique nombre image, noté f(x). L'unicité est essentielle : à un x donné correspond une seule image.
On peut représenter une fonction par une courbe dans un repère : à chaque x correspond un point de coordonnées (x ; f(x)). L'ensemble de ces points dessine la courbe représentative de la fonction.
Exemple : pour f(x) = x² + 1, on a f(2) = 5, donc le point (2 ; 5) est sur la courbe. Lire une courbe, c'est retrouver f(x) à partir de x (ou l'inverse). L'ensemble de définition est l'ensemble des x pour lesquels le calcul est possible.
Si f(x) = x² + 1, alors f(3) = 10 : le point (3 ; 10) est sur la courbe.
2. Sens de variation
Une fonction est croissante sur un intervalle quand, plus x augmente, plus f(x) augmente (la courbe « monte »). Elle est décroissante quand f(x) diminue à mesure que x augmente (la courbe « descend »).
On résume ces comportements dans un tableau de variations, qui indique, sur chaque intervalle, si la fonction monte ou descend, à l'aide de flèches.
Un extremum est une valeur « record » : un maximum (plus haute valeur atteinte) ou un minimum (plus basse). Il correspond souvent à un changement de sens de variation. Étudier les variations d'une fonction permet, par exemple, de trouver le meilleur choix dans un problème d'optimisation (aire maximale, coût minimal…).
La fonction carré décroît sur ]−∞ ; 0] puis croît sur [0 ; +∞[ ; elle a un minimum en 0.
3. Les fonctions affines
Une fonction affine s'écrit f(x) = ax + b. Sa courbe représentative est une droite. Le nombre a est le coefficient directeur (la pente : il indique de combien monte ou descend la droite), et b est l'ordonnée à l'origine (la hauteur où la droite coupe l'axe vertical, quand x = 0).
Le signe de a donne le sens de variation : si a > 0, la fonction est croissante (droite qui monte) ; si a < 0, elle est décroissante ; si a = 0, la fonction est constante (droite horizontale).
Exemple : f(x) = 2x − 3 a une pente de 2 (croissante) et coupe l'axe vertical en −3. Deux points suffisent à tracer la droite. Les fonctions affines modélisent toutes les situations à « taux constant » (tarifs, vitesses…).
f(x) = 2x − 1 : droite de pente 2 (croissante), coupant l'axe des ordonnées en −1.
4. Les fonctions carré et inverse
Deux fonctions de référence sont à connaître parfaitement.
La fonction carré f(x) = x² : sa courbe est une parabole, symétrique par rapport à l'axe vertical, avec un minimum en 0. Elle décroît sur les négatifs puis croît sur les positifs. Les carrés sont toujours positifs (même pour x négatif : (−3)² = 9).
La fonction inverse f(x) = 1/x : sa courbe est une hyperbole, en deux branches. Elle n'est PAS définie en 0 (on ne divise jamais par zéro). Elle est décroissante sur les négatifs, puis sur les positifs.
Ces deux fonctions, avec la fonction affine, forment la base des études de fonctions au lycée : on s'y réfère constamment.
La parabole de x² est en forme de U ; l'hyperbole de 1/x a deux branches.
Pour approfondir ce chapitrefacultatif
Définitions clés
- Fonction carré
- La fonction f(x) = x². Sa courbe est une parabole ; elle est toujours positive ou nulle.
- Fonction inverse
- La fonction f(x) = 1/x, définie pour tout x sauf 0. Sa courbe est une hyperbole.
- Sens de variation
- La façon dont une fonction évolue : croissante (elle monte) ou décroissante (elle descend) sur un intervalle.
- Courbe représentative
- L'ensemble des points de coordonnées (x ; f(x)) : la représentation graphique de la fonction.
Explications détaillées
La fonction carré
La fonction carré f(x) = x² transforme un nombre en son carré. Sa courbe, la parabole, est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Elle est décroissante sur ]−∞ ; 0] puis croissante sur [0 ; +∞[ : elle atteint son minimum, 0, en x = 0. Comme un carré n'est jamais négatif, la courbe reste au-dessus de l'axe des abscisses.
La fonction inverse
La fonction inverse f(x) = 1/x n'est pas définie en 0 (on ne divise pas par zéro). Sa courbe, l'hyperbole, comporte deux branches.
Elle est décroissante sur ]−∞ ; 0[ et décroissante sur ]0 ; +∞[ : plus x augmente, plus 1/x diminue (pour x positif). Ces comportements « de référence » servent à comprendre des fonctions plus complexes.
Méthode pas à pas
Décrire le sens de variation à partir d'une courbe
- Parcourir la courbe de gauche à droite (x croissant).
- Repérer les portions où la courbe monte (croissante) ou descend (décroissante).
- Noter les valeurs de x où le sens change (extremums).
- Résumer dans un tableau de variations.
Exemple corrigé pas à pas
Comparer des images par la fonction carré
Avec f(x) = x², comparer f(−3) et f(2).
- f(−3) = (−3)² = 9.
- f(2) = 2² = 4.
- On compare : 9 > 4, donc f(−3) > f(2).
- Remarque : un nombre négatif peut avoir une image plus grande, car le carré supprime le signe.
Erreurs fréquentes à éviter
- Écrire x² = 2x.x² = x × x (par exemple 5² = 25), alors que 2x = x + x (2 × 5 = 10). Ce sont deux choses différentes.
- Calculer 1/x en x = 0.La fonction inverse n'est pas définie en 0 : on ne divise jamais par zéro.
- Confondre image et antécédent.L'image est le résultat f(x) ; l'antécédent est la valeur de départ x.
Pour aller plus loin
Les fonctions pour modéliser le monde
Les fonctions de référence décrivent d'innombrables phénomènes : la fonction carré apparaît dans la chute des corps ou l'aire d'un carré, la fonction inverse dans les relations « plus il y en a, moins chacun en a ». En Première, la dérivation permettra d'étudier finement ces variations, un outil central des sciences.
Ce qu'il faut absolument retenir
Ce qu'il faut absolument retenir
- Une fonction associe à chaque x une unique image f(x) ; la courbe passe par les points (x ; f(x)).
- Croissante : f(x) augmente avec x ; décroissante : f(x) diminue. On résume dans un tableau de variations.
- Fonction affine f(x) = ax + b : droite, a = pente (a > 0 croissante, a < 0 décroissante), b = ordonnée à l'origine.
- Fonction carré f(x) = x² : parabole en U, minimum en 0, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
- Fonction inverse f(x) = 1/x : hyperbole, non définie en 0.
Vérifie ta compréhension
Exercice 1Quelle est la courbe représentative de la fonction carré f(x) = x² ?
La fonction carré a pour courbe une parabole (en forme de U), symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Exercice 2La fonction affine f(x) = −3x + 2 est…
Le coefficient directeur a = −3 est négatif : la fonction est décroissante.
Exercice 3En quelle valeur la fonction inverse f(x) = 1/x n'est-elle pas définie ?
On ne peut pas diviser par 0 : la fonction inverse n'est pas définie en 0.
Exercice 4Pour une fonction affine f(x) = ax + b, si a > 0 alors la fonction est croissante.
Vrai : un coefficient directeur positif correspond à une fonction croissante (la droite monte).
Exercice 5Si f(x) = x² + 1, que vaut f(3) ?
f(3) = 3² + 1 = 9 + 1 = 10.
L'essentiel en images
