Le cours
1. Le repère et les coordonnées
Dans un repère du plan, chaque point est défini par deux coordonnées (x ; y) : l'abscisse (x, horizontale) et l'ordonnée (y, verticale). On peut alors décrire les figures et calculer sur elles à l'aide de nombres.
Le repère est formé de deux axes gradués qui se croisent à l'origine O(0 ; 0). Un repère est dit orthonormé quand les axes sont perpendiculaires et ont la même unité — c'est le cas le plus commode pour calculer des distances.
La géométrie repérée transforme les problèmes géométriques (alignement, distances, milieux) en calculs sur les nombres : c'est souvent plus sûr qu'un dessin.
Le point A(2 ; 3) a pour abscisse 2 et pour ordonnée 3.
2. Distance et milieu
Deux formules clés dans un repère orthonormé, pour deux points A(xA ; yA) et B(xB ; yB).
Le milieu M de [AB] a pour coordonnées la moyenne des coordonnées : M((xA+xB)/2 ; (yA+yB)/2). Exemple : milieu de A(2 ; 1) et B(4 ; 5) → M(3 ; 3).
La distance AB se calcule grâce au théorème de Pythagore : AB = √((xB − xA)² + (yB − yA)²). Exemple : de A(1 ; 2) à B(4 ; 6), AB = √(3² + 4²) = √25 = 5. Ces formules permettent de mesurer et de comparer sans règle.
Milieu de A(1 ; 2) et B(3 ; 6) : M(2 ; 4). Distance : AB = √(2² + 4²) = √20.
3. Les vecteurs
Un vecteur représente un déplacement : il possède une direction, un sens et une longueur (appelée la norme). On note souvent un vecteur AB (avec une flèche) : il va du point A vers le point B.
Les coordonnées du vecteur AB se calculent en faisant « arrivée moins départ » : (xB − xA ; yB − yA). Exemple : de A(1 ; 2) à B(4 ; 3), le vecteur AB a pour coordonnées (3 ; 1).
Deux vecteurs égaux ont les mêmes coordonnées (même direction, même sens, même norme). Les vecteurs servent à décrire des translations et des déplacements de façon calculable.
De A(1 ; 2) à B(4 ; 6), le vecteur AB a pour coordonnées (3 ; 4).
4. Opérations et colinéarité
On peut additionner des vecteurs et les multiplier par un nombre (un « scalaire »). Pour additionner, on ajoute les coordonnées ; pour multiplier par un nombre, on multiplie chaque coordonnée.
Deux vecteurs sont colinéaires s'ils ont la même direction, c'est-à-dire si l'un est un multiple de l'autre. C'est l'outil pour prouver que des points sont alignés (les vecteurs AB et AC colinéaires ⟹ A, B, C alignés) ou que deux droites sont parallèles.
On teste la colinéarité de (x ; y) et (x' ; y') avec le « produit en croix » : ils sont colinéaires si xy' − yx' = 0. Exemple : (2 ; 4) et (3 ; 6) sont colinéaires car 2×6 − 4×3 = 0.
Si AB et CD sont colinéaires, alors les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
Pour approfondir ce chapitrefacultatif
Définitions clés
- Repère
- Un système d'axes (souvent orthonormé) qui permet de repérer chaque point par ses coordonnées (x ; y).
- Vecteur
- Un objet caractérisé par une direction, un sens et une longueur (norme). Il représente un déplacement.
- Coordonnées d'un vecteur
- Pour AB, elles se calculent par (x_B − x_A ; y_B − y_A).
- Milieu d'un segment
- Le point de coordonnées ((x_A + x_B)/2 ; (y_A + y_B)/2).
Explications détaillées
Se repérer et calculer dans le plan
Dans un repère orthonormé, chaque point a des coordonnées (x ; y). On peut alors calculer :
— la distance entre deux points A et B : AB = √((x_B − x_A)² + (y_B − y_A)²) ; — les coordonnées du milieu d'un segment, en faisant la moyenne des coordonnées.
La géométrie devient ainsi du calcul : c'est la géométrie analytique.
Les vecteurs, pour décrire un déplacement
Un vecteur AB représente le déplacement de A vers B : direction, sens et longueur. Ses coordonnées sont (x_B − x_A ; y_B − y_A).
On additionne des vecteurs, on les multiplie par un nombre. Deux vecteurs colinéaires ont la même direction : c'est ce qui permet de prouver que des points sont alignés ou que des droites sont parallèles.
Méthode pas à pas
Calculer les coordonnées d'un vecteur et une distance
- Relever les coordonnées des points A (x_A ; y_A) et B (x_B ; y_B).
- Coordonnées du vecteur AB : (x_B − x_A ; y_B − y_A).
- Distance AB : appliquer √((x_B − x_A)² + (y_B − y_A)²).
- Vérifier la cohérence des résultats (une distance est positive).
Exemple corrigé pas à pas
Vecteur et distance
Soit A(1 ; 2) et B(4 ; 6). Déterminer les coordonnées de AB et la distance AB.
- Coordonnées de AB : (4 − 1 ; 6 − 2) = (3 ; 4).
- Distance : AB = √(3² + 4²).
- AB = √(9 + 16) = √25.
- AB = 5.
Erreurs fréquentes à éviter
- Inverser l'ordre dans le calcul des coordonnées d'un vecteur.Pour AB, on calcule toujours « arrivée − départ » : (x_B − x_A ; y_B − y_A).
- Oublier les carrés ou la racine dans la formule de distance.La distance est √((x_B − x_A)² + (y_B − y_A)²), avec carrés ET racine.
- Confondre un point et un vecteur.Un point a une position ; un vecteur représente un déplacement (direction, sens, longueur).
Pour aller plus loin
Les vecteurs, langage de la physique
Les vecteurs ne servent pas qu'en géométrie : en physique, une force, une vitesse ou une accélération sont des vecteurs (avec direction, sens et intensité). Ce langage commun aux maths et à la physique montre la puissance de l'outil vectoriel pour décrire le monde réel et les mouvements.
Ce qu'il faut absolument retenir
Ce qu'il faut absolument retenir
- Dans un repère, un point est défini par ses coordonnées (x ; y) : abscisse et ordonnée.
- Milieu de [AB] : moyenne des coordonnées de A et B.
- Distance AB = √((xB − xA)² + (yB − yA)²) (Pythagore en repère).
- Le vecteur AB a pour coordonnées (xB − xA ; yB − yA) ; il a direction, sens et norme.
- Deux vecteurs colinéaires ont la même direction : cela prouve l'alignement de points ou le parallélisme de droites.
Vérifie ta compréhension
Exercice 1Quelles sont les coordonnées du milieu de A(1 ; 2) et B(3 ; 6) ?
Le milieu est la moyenne des coordonnées : ((1+3)/2 ; (2+6)/2) = (2 ; 4).
Exercice 2Quelles sont les coordonnées du vecteur AB avec A(1 ; 2) et B(4 ; 6) ?
AB = (xB − xA ; yB − yA) = (4 − 1 ; 6 − 2) = (3 ; 4).
Exercice 3Comment calcule-t-on la distance AB dans un repère ?
On applique Pythagore : AB = √((xB − xA)² + (yB − yA)²).
Exercice 4Si deux vecteurs sont colinéaires, les droites correspondantes sont parallèles (ou les points alignés).
Vrai : la colinéarité (même direction) traduit le parallélisme ou l'alignement.
Exercice 5Quelle est la distance AB pour A(0 ; 0) et B(3 ; 4) ?
AB = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
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