CoursMathématiques · 3e
La 3ᵉ est l'année du brevet. Côté nombres, on consolide l'arithmétique (les diviseurs, les nombres premiers) et on maîtrise une nouvelle opération : la racine carrée. Des bases solides pour le lycée.
Le cours
Un nombre a est un multiple de b si a est dans la table de b ; on dit aussi que b est un diviseur de a. Par exemple, 12 est un multiple de 3, et 3 est un diviseur de 12.
Connaître les diviseurs d'un nombre est utile pour simplifier les fractions et résoudre des problèmes.
Diviseurs de 12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12. Donc 12 est un multiple de chacun d'eux.
Un nombre premier est un nombre entier qui a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même (par exemple 2, 3, 5, 7, 11). Tout nombre entier peut se décomposer en un produit de facteurs premiers.
Cette décomposition sert notamment à simplifier les fractions.
30 = 2 × 3 × 5 (décomposition en facteurs premiers). 2, 3, 5 sont premiers.
La racine carrée d'un nombre positif a, notée √a, est le nombre positif dont le carré vaut a. C'est l'opération inverse du « au carré ». Ainsi √25 = 5 car 5² = 25.
Certains nombres ont une racine carrée « ronde » (les carrés parfaits : 1, 4, 9, 16, 25…), d'autres non.
√25 = 5 (car 5² = 25) ; √81 = 9 (car 9² = 81).
Pour simplifier une fraction, on divise le numérateur et le dénominateur par un même nombre (un diviseur commun). Une fraction est irréductible quand on ne peut plus la simplifier.
La décomposition en facteurs premiers aide à trouver le plus grand diviseur commun.
12/18 : on divise par 6 → 2/3, qui est irréductible.
Ce qu'il faut absolument retenir
Vérifie ta compréhension
Exercice 1Quelle est la valeur de √81 ?
√81 = 9 car 9 × 9 = 81.
Exercice 2Lequel de ces nombres est un nombre premier ?
11 n'a que deux diviseurs (1 et 11) : il est premier. 9 = 3×3, 15 = 3×5, 21 = 3×7.
Exercice 3Quelle est la forme simplifiée (irréductible) de 12/18 ?
On divise haut et bas par 6 : 12/18 = 2/3, qui est irréductible.
Exercice 4La racine carrée est l'opération inverse de mettre au carré.
Vrai : √(a²) = a pour a positif. Par exemple √(5²) = √25 = 5.
Exercice 5Quelle est la décomposition en facteurs premiers de 30 ?
30 = 2 × 3 × 5, et 2, 3, 5 sont tous des nombres premiers.