CoursMathématiques · 3e
Comment trouver un nombre inconnu ? En posant une équation et en la résolvant. En 3ᵉ, le calcul littéral débouche sur la résolution d'équations, un outil puissant pour traduire et résoudre toutes sortes de problèmes.
Le cours
Une équation est une égalité contenant un nombre inconnu, désigné par une lettre (souvent x). Résoudre l'équation, c'est trouver la ou les valeurs de x qui rendent l'égalité vraie : ce sont les solutions.
Vérifier une solution, c'est remplacer x par sa valeur et constater que l'égalité est vraie.
Dans 2x + 3 = 11, la solution est x = 4 (car 2 × 4 + 3 = 11).
Pour résoudre, on isole x en effectuant les mêmes opérations des deux côtés du signe « = » (on conserve l'équilibre). On retire d'abord les termes constants, puis on divise pour obtenir x seul.
Chaque opération faite à gauche doit être faite à droite.
2x + 3 = 11 → 2x = 11 − 3 = 8 → x = 8 ÷ 2 = 4.
L'intérêt des équations est de résoudre des problèmes concrets. On choisit l'inconnue (« soit x le nombre cherché »), on traduit l'énoncé par une équation, on la résout, puis on vérifie et on rédige la réponse.
Traduire un texte en équation est la véritable compétence visée.
« Un nombre augmenté de 5 donne 12 » se traduit par x + 5 = 12, donc x = 7.
Quand un produit de facteurs est nul, on utilise une règle essentielle : un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul. Cela permet de résoudre des équations comme (x − 2)(x + 3) = 0.
On cherche alors séparément quand chaque facteur s'annule.
(x − 2)(x + 3) = 0 → x − 2 = 0 ou x + 3 = 0 → x = 2 ou x = −3.
Ce qu'il faut absolument retenir
Vérifie ta compréhension
Exercice 1Quelle est la solution de l'équation 2x + 3 = 11 ?
2x = 11 − 3 = 8, donc x = 8 ÷ 2 = 4.
Exercice 2« Un nombre augmenté de 5 est égal à 12. » Quelle équation traduit cette phrase ?
Le nombre cherché x, augmenté de 5, donne 12 : x + 5 = 12 (donc x = 7).
Exercice 3Les solutions de (x − 2)(x + 3) = 0 sont…
Un produit est nul si un facteur est nul : x − 2 = 0 (x = 2) ou x + 3 = 0 (x = −3).
Exercice 4Pour résoudre une équation, on peut faire une opération d'un seul côté du signe égal.
Faux : pour garder l'égalité (l'équilibre), on doit faire la même opération des DEUX côtés.
Exercice 5Un produit de deux facteurs est nul…
Un produit est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul.