Qu'est-ce que diviseur / multiple ?

b est un diviseur de a si a est dans la table de b (a = b × k). On dit aussi que a est un multiple de b.

Qu'est-ce que nombre premier ?

Un nombre entier supérieur à 1 qui n'a que deux diviseurs : 1 et lui-même (2, 3, 5, 7, 11…).

Le Plus Grand Commun Diviseur de deux nombres : le plus grand entier qui les divise tous les deux.

Nombres et calculs — Maths 3e

Le cours

1. Multiples et diviseurs

Un nombre a est un multiple de b si a est dans la table de b ; on dit aussi que b est un diviseur de a. Par exemple, 12 est un multiple de 3 (car 3 × 4 = 12), et 3 est un diviseur de 12.

Critères de divisibilité utiles : un nombre est divisible par 2 s'il finit par 0, 2, 4, 6, 8 ; par 5 s'il finit par 0 ou 5 ; par 10 s'il finit par 0 ; par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3 (par exemple 51 : 5+1 = 6, divisible par 3).

Connaître les diviseurs d'un nombre est utile pour simplifier les fractions et résoudre des problèmes de partage. Les diviseurs de 12, par exemple, sont : 1, 2, 3, 4, 6 et 12.

Exemple

Diviseurs de 12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12. Donc 12 est un multiple de chacun d'eux.

2. Les nombres premiers

Un nombre premier est un nombre entier (supérieur à 1) qui a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. Les premiers sont : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23… Le nombre 2 est le seul nombre premier pair.

Attention : 1 n'est pas premier (il n'a qu'un seul diviseur). Un nombre non premier (comme 12) est dit composé.

Tout nombre entier peut se décomposer en un produit de facteurs premiers, et d'une seule façon. Exemple : 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5. Cette décomposition sert notamment à simplifier les fractions et à trouver des diviseurs communs.

Exemple

30 = 2 × 3 × 5 (décomposition en facteurs premiers). 2, 3, 5 sont premiers.

3. La racine carrée

La racine carrée d'un nombre positif a, notée √a, est le nombre positif dont le carré vaut a. C'est l'opération inverse du « au carré ». Ainsi √25 = 5 car 5² = 25, et √9 = 3 car 3² = 9.

Les carrés parfaits ont une racine « ronde » (entière) : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 → √ = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Il est très utile de les connaître par cœur.

Les autres nombres ont une racine carrée non entière : √2 ≈ 1,414… La racine carrée apparaît notamment dans le théorème de Pythagore, pour retrouver la longueur d'un côté à partir de son carré.

Exemple

√25 = 5 (car 5² = 25) ; √81 = 9 (car 9² = 81).

4. Simplifier des fractions

Pour simplifier une fraction, on divise le numérateur et le dénominateur par un même nombre (un diviseur commun). On répète jusqu'à ce que ce soit impossible : la fraction est alors irréductible.

Exemple : 18/24. Les deux sont divisibles par 6 → 18/24 = 3/4. Comme 3 et 4 n'ont plus de diviseur commun (autre que 1), 3/4 est irréductible.

Astuce : diviser d'emblée par le plus grand diviseur commun (PGCD) va plus vite. La décomposition en facteurs premiers aide à le trouver : 18 = 2×3², 24 = 2³×3, facteurs communs 2×3 = 6. Simplifier est essentiel pour donner un résultat sous sa forme la plus simple.

Exemple

12/18 : on divise par 6 → 2/3, qui est irréductible.

Pour approfondir ce chapitrefacultatif

Définitions clés

Diviseur / Multiple: b est un diviseur de a si a est dans la table de b (a = b × k). On dit aussi que a est un multiple de b.
Nombre premier: Un nombre entier supérieur à 1 qui n'a que deux diviseurs : 1 et lui-même (2, 3, 5, 7, 11…).
PGCD: Le Plus Grand Commun Diviseur de deux nombres : le plus grand entier qui les divise tous les deux.
Racine carrée: La racine carrée de a (positif), notée √a, est le nombre positif dont le carré vaut a. Ainsi √a × √a = a.

Explications détaillées

Le PGCD pour rendre une fraction irréductible

Le PGCD sert à simplifier une fraction au maximum. On divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD.

Exemple : pour 24/36, le PGCD de 24 et 36 est 12. En divisant par 12 : 24/36 = 2/3, une fraction irréductible. On peut trouver le PGCD par décompositions en facteurs premiers ou par divisions successives.

Calculer avec les racines carrées

Propriété fondamentale : √a × √a = a. On peut aussi simplifier certaines racines en repérant un carré parfait.

Exemple : √50 = √(25 × 2) = √25 × √2 = 5√2. Attention : la racine n'est pas « distributive » sur l'addition : √(9 + 16) ≠ √9 + √16.

Méthode pas à pas

Simplifier une racine carrée

Chercher le plus grand carré parfait qui divise le nombre sous la racine.
Écrire le nombre comme produit de ce carré et d'un autre facteur.
Séparer la racine : √(a × b) = √a × √b.
Calculer la racine du carré parfait et laisser l'autre sous la racine.

Exemple corrigé pas à pas

Simplifier √72

Écrire √72 sous la forme a√b avec b le plus petit possible.

On cherche le plus grand carré parfait divisant 72 : c'est 36.
72 = 36 × 2.
√72 = √36 × √2.
√36 = 6, donc √72 = 6√2.

Erreurs fréquentes à éviter

Écrire √(a + b) = √a + √b.La racine n'est pas distributive sur l'addition : √(9 + 16) = √25 = 5, pas 3 + 4 = 7.
Considérer 1 comme un nombre premier.1 n'est pas premier : un nombre premier a exactement deux diviseurs, or 1 n'en a qu'un.
Confondre diviseur et multiple.3 est un diviseur de 12 ; 12 est un multiple de 3.

Pour aller plus loin

Les nombres premiers, gardiens de nos secrets

Les nombres premiers, connus depuis l'Antiquité, sont aujourd'hui au cœur de la cryptographie : la sécurité des paiements en ligne et des messages chiffrés repose sur la difficulté de décomposer de très grands nombres en facteurs premiers. Un objet mathématique très ancien protège ainsi nos données modernes.

Ce qu'il faut absolument retenir

a est un multiple de b ⇔ b est un diviseur de a (12 est un multiple de 3 ; 3 divise 12).
Un nombre premier a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même (2, 3, 5, 7, 11…).
Tout entier se décompose en produit de facteurs premiers (30 = 2 × 3 × 5).
La racine carrée √a est le nombre positif dont le carré vaut a (√25 = 5) ; c'est l'inverse du carré.
Simplifier une fraction = diviser haut et bas par un diviseur commun ; irréductible = plus simplifiable.

Vérifie ta compréhension

Exercice 1Quelle est la valeur de √81 ?

Exercice 2Lequel de ces nombres est un nombre premier ?

Exercice 3Quelle est la forme simplifiée (irréductible) de 12/18 ?

Exercice 4La racine carrée est l'opération inverse de mettre au carré.

Exercice 5Quelle est la décomposition en facteurs premiers de 30 ?

Source officielle Ministère de l'Éducation nationale — Programme officiel · FR-2019

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