Le cours
1. Rappel : une expression littérale
Une expression littérale contient des lettres qui représentent des nombres. On peut la simplifier en regroupant les termes semblables (les termes « de même nature ») : par exemple 3x + 2x = 5x, ou 5a − a = 4a.
Attention : on ne regroupe que les termes semblables. 3x + 2y ne se simplifie pas (x et y sont différents), et 3x + 4 non plus (un terme en x et un nombre seul).
Manipuler ces expressions permet d'écrire des formules générales (le périmètre d'un carré de côté c est 4c) et de résoudre des problèmes où le nombre cherché est représenté par une lettre.
3x + 2x = 5x ; 5a − a = 4a.
2. Développer avec la simple distributivité
Développer, c'est transformer un produit en une somme. Avec la simple distributivité, on multiplie le facteur situé devant la parenthèse par CHAQUE terme à l'intérieur : k(a + b) = ka + kb.
Exemples : 5(x + 3) = 5x + 15 ; 4(2x − 1) = 8x − 4 ; 3(2x + 5) = 6x + 15.
Il ne faut jamais oublier de multiplier le deuxième terme (erreur classique : écrire 5(x+3) = 5x + 3). Attention aussi aux signes : −2(x − 4) = −2x + 8 (moins par moins donne plus).
5(x + 3) = 5x + 15 ; 4(2x − 1) = 8x − 4.
3. Développer avec la double distributivité
Quand on multiplie deux parenthèses, on utilise la double distributivité : chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde. (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd. On obtient ainsi quatre produits.
Exemple : (x + 2)(x + 3) = x×x + x×3 + 2×x + 2×3 = x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6 (après réduction des termes semblables 3x + 2x = 5x).
Moyen mnémotechnique : chaque terme de gauche « serre la main » de chaque terme de droite. Avec deux termes de chaque côté, cela fait toujours 2 × 2 = 4 produits.
(x + 2)(x + 3) = x×x + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6.
4. Factoriser : l'opération inverse
Factoriser, c'est transformer une somme en produit : c'est l'opération inverse du développement. On repère un facteur commun à tous les termes et on le met en évidence devant une parenthèse : ka + kb = k(a + b).
Exemple : 6x + 9. Les deux termes sont divisibles par 3 : 6x = 3 × 2x et 9 = 3 × 3, donc 6x + 9 = 3(2x + 3). On vérifie toujours en redéveloppant : 3(2x + 3) = 6x + 9. ✓
Autre exemple avec une lettre en commun : 5x² + 3x = x(5x + 3). Factoriser permet de simplifier des expressions et, plus tard (en 3ᵉ et au lycée), de résoudre des équations.
6x + 9 = 3 × 2x + 3 × 3 = 3(2x + 3) (le facteur commun est 3).
Pour approfondir ce chapitrefacultatif
Définitions clés
- Développer
- Transformer un produit en une somme, en supprimant les parenthèses grâce à la distributivité.
- Factoriser
- Le chemin inverse : transformer une somme en produit, en mettant en évidence un facteur commun.
- Double distributivité
- La règle (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd, pour développer un produit de deux sommes.
- Réduire
- Regrouper les termes de même nature : 2x + 5x = 7x.
Explications détaillées
La distributivité, simple et double
Distributivité simple : k(a + b) = ka + kb. On multiplie le facteur par chaque terme.
Double distributivité : (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd. Chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde — quatre produits au total. C'est là qu'on oublie souvent un terme !
Factoriser grâce au facteur commun
Factoriser, c'est repérer un facteur présent dans tous les termes et le « mettre devant » : 6x + 9 = 3 × 2x + 3 × 3 = 3(2x + 3).
On vérifie toujours en redéveloppant : 3(2x + 3) = 6x + 9. Développement et factorisation sont deux opérations inverses.
Méthode pas à pas
Développer un produit de deux sommes
- Multiplier le 1er terme de la 1ʳᵉ parenthèse par chaque terme de la 2ᵉ.
- Multiplier le 2ᵉ terme de la 1ʳᵉ parenthèse par chaque terme de la 2ᵉ.
- Écrire les quatre produits obtenus (attention aux signes).
- Réduire les termes de même nature.
Exemple corrigé pas à pas
Développer (x + 3)(x + 2)
Développer et réduire l'expression (x + 3)(x + 2).
- x multiplie (x + 2) : x × x + x × 2 = x² + 2x.
- 3 multiplie (x + 2) : 3 × x + 3 × 2 = 3x + 6.
- On additionne : x² + 2x + 3x + 6.
- On réduit (2x + 3x = 5x) : x² + 5x + 6.
Erreurs fréquentes à éviter
- Oublier un terme dans la double distributivité.Il y a toujours quatre produits : (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.
- Réduire des termes de natures différentes (x² + 5x = 5x³).On n'additionne que les termes semblables : x² et 5x ne se réduisent pas.
- Se tromper de signe en factorisant avec un facteur négatif.On vérifie toujours en redéveloppant : le résultat doit redonner l'expression de départ.
Pour aller plus loin
Vers les équations et les identités remarquables
Le calcul littéral prépare deux grands outils : les équations (trouver la valeur cachée derrière la lettre) et, en 3ᵉ, les identités remarquables comme (a + b)² = a² + 2ab + b². Ces formules, qui semblent abstraites, servent en réalité à calculer plus vite et à résoudre des problèmes concrets.
Ce qu'il faut absolument retenir
Ce qu'il faut absolument retenir
- On simplifie une expression en regroupant les termes semblables (3x + 2x = 5x).
- Simple distributivité (développer) : k(a + b) = ka + kb.
- Double distributivité : (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.
- Factoriser = transformer une somme en produit (l'inverse de développer) en mettant en évidence un facteur commun : ka + kb = k(a + b).
- Développer et factoriser sont deux opérations inverses l'une de l'autre.
Vérifie ta compréhension
Exercice 1Développe 5(x + 3).
Distributivité : 5 × x + 5 × 3 = 5x + 15.
Exercice 2Développe (x + 2)(x + 3).
Double distributivité : x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6.
Exercice 3Factorise 6x + 9.
Le facteur commun est 3 : 6x + 9 = 3 × 2x + 3 × 3 = 3(2x + 3).
Exercice 4Factoriser est l'opération inverse de développer.
Vrai : développer va du produit vers la somme, factoriser fait le chemin inverse.
Exercice 5Combien de produits obtient-on en développant (a + b)(c + d) ?
Chaque terme de gauche multiplie chaque terme de droite : ac, ad, bc, bd → 4 produits.
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