CoursMathématiques · 4e
Comment calculer une longueur qu'on ne peut pas mesurer directement ? Le théorème de Pythagore, l'un des plus célèbres des mathématiques, répond à cette question dans les triangles rectangles. C'est l'un des grands moments de la 4ᵉ.
Le cours
Un triangle rectangle possède un angle droit (90°). Le côté opposé à cet angle droit, le plus long, s'appelle l'hypoténuse. Les deux autres côtés forment l'angle droit.
Reconnaître l'hypoténuse est la première étape avant tout calcul.
Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit (le plus long).
Le théorème de Pythagore relie les trois côtés d'un triangle rectangle : le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Si l'hypoténuse mesure a, et les deux autres côtés b et c : a² = b² + c².
Il permet de calculer un côté quand on connaît les deux autres.
Côtés de 3 et 4 : l'hypoténuse a vérifie a² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25, donc a = 5.
Pour trouver l'hypoténuse, on calcule la somme des carrés des deux côtés, puis on prend la racine carrée. Pour trouver un côté de l'angle droit, on soustrait au lieu d'additionner.
La racine carrée (√) est l'opération qui « annule » le carré : √25 = 5.
Hypoténuse 13, un côté 5 : l'autre côté b vérifie b² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144, donc b = 12.
La 4ᵉ apporte aussi une nouvelle transformation : la translation. Elle fait glisser une figure dans une direction donnée, sur une certaine distance, sans la tourner ni la déformer. C'est un déplacement « tout droit ».
La figure obtenue est identique à la figure de départ, simplement déplacée.
Une translation fait glisser un motif de 5 cm vers la droite, à l'identique.
Ce qu'il faut absolument retenir
Vérifie ta compréhension
Exercice 1Dans un triangle rectangle, comment appelle-t-on le côté opposé à l'angle droit ?
L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit, et c'est le plus long.
Exercice 2Un triangle rectangle a deux côtés de 3 cm et 4 cm formant l'angle droit. Quelle est la longueur de l'hypoténuse ?
a² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25, donc a = √25 = 5 cm.
Exercice 3Quelle est la formule du théorème de Pythagore (a = hypoténuse) ?
Le carré de l'hypoténuse égale la somme des carrés des deux autres côtés : a² = b² + c².
Exercice 4La translation fait tourner une figure autour d'un point.
Faux : la translation fait GLISSER la figure dans une direction, sans la tourner (c'est la rotation qui tourne).
Exercice 5Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse mesure 13 et un côté mesure 5. Combien mesure l'autre côté ?
b² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144, donc b = √144 = 12.