Le cours
1. Le triangle rectangle et l'hypoténuse
Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit (un angle de 90°). C'est une figure fondamentale en géométrie.
Le côté opposé à l'angle droit est le plus long des trois : il porte un nom spécial, l'hypoténuse. Les deux autres côtés, qui forment l'angle droit, sont parfois appelés les côtés de l'angle droit.
Bien reconnaître l'hypoténuse est essentiel avant d'utiliser le théorème de Pythagore : c'est toujours le côté « en face » de l'angle droit, jamais l'un des deux côtés qui le forment. Un repère visuel : le petit carré qui marque l'angle droit « pointe » vers l'hypoténuse, située de l'autre côté du triangle.
Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit (le plus long).
2. Le théorème de Pythagore
Le théorème de Pythagore relie les longueurs des trois côtés d'un triangle rectangle. Il énonce que : le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Si l'hypoténuse mesure a, et les deux autres côtés b et c, alors : a² = b² + c².
Exemple célèbre : un triangle de côtés 3, 4 et 5 est rectangle, car 5² = 3² + 4² (25 = 9 + 16). Ce théorème, connu depuis l'Antiquité, est l'un des plus importants et des plus utilisés des mathématiques. Il permet de calculer une longueur inconnue dans un triangle rectangle, et sa réciproque permet de vérifier si un triangle est rectangle. On l'utilise partout : construction, navigation, géométrie dans l'espace.
Côtés de 3 et 4 : l'hypoténuse a vérifie a² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25, donc a = 5.
3. Calculer une longueur
Le théorème de Pythagore permet de calculer une longueur qu'on ne pourrait pas mesurer directement.
Pour trouver l'hypoténuse : on calcule la somme des carrés des deux autres côtés, puis on prend la racine carrée du résultat. Exemple : pour des côtés de 6 et 8, l'hypoténuse vaut √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10.
Pour trouver un côté de l'angle droit (quand on connaît l'hypoténuse et l'autre côté) : on soustrait au lieu d'additionner, puis on prend la racine carrée. Exemple : hypoténuse 13, un côté 5 → l'autre côté vaut √(13² − 5²) = √(169 − 25) = √144 = 12. C'est un outil très concret : calculer la hauteur d'un mur avec une échelle, la diagonale d'un écran, une distance inaccessible…
Hypoténuse 13, un côté 5 : l'autre côté b vérifie b² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144, donc b = 12.
4. La translation
La 4ᵉ apporte aussi une nouvelle transformation géométrique : la translation. Elle fait glisser une figure dans une direction donnée, sur une certaine distance, sans la tourner ni la déformer.
On peut se la représenter comme un glissement : tous les points de la figure se déplacent de la même façon (même direction, même sens, même longueur), comme si la figure « coulissait ». Une translation est décrite par une flèche (un vecteur) qui indique ce déplacement.
La translation conserve tout : les longueurs, les angles, les aires, et l'orientation de la figure (contrairement à la symétrie, qui la retourne). On la retrouve dans les frises, les pavages et de nombreux motifs décoratifs. Elle prépare aussi la notion de vecteur, qui sera centrale au lycée.
Une translation fait glisser un motif de 5 cm vers la droite, à l'identique.
Pour approfondir ce chapitrefacultatif
Définitions clés
- Triangle rectangle
- Un triangle qui possède un angle droit (un angle de 90°).
- Hypoténuse
- Le côté le plus long d'un triangle rectangle : c'est le côté opposé à l'angle droit.
- Théorème de Pythagore
- Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
- Racine carrée
- La racine carrée d'un nombre positif a, notée √a, est le nombre positif dont le carré vaut a. Par exemple √25 = 5 car 5² = 25.
Explications détaillées
L'énoncé précis du théorème
Si un triangle ABC est rectangle en A, alors : BC² = AB² + AC².
Ici, BC est l'hypoténuse, car c'est le côté opposé à l'angle droit (l'angle en A). Le théorème relie les longueurs des trois côtés d'un triangle rectangle : dès qu'on connaît deux de ces longueurs, on peut calculer la troisième.
La réciproque : prouver qu'un triangle est rectangle
Le théorème possède une réciproque, très utile pour démontrer qu'un angle est droit sans avoir à le mesurer.
Si, dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle. L'angle droit se situe alors face au plus grand côté.
Attention à ne pas confondre les deux : le théorème sert à calculer une longueur ; la réciproque sert à prouver qu'un triangle est rectangle.
À quoi sert le théorème de Pythagore ?
Il permet de calculer une longueur que l'on ne peut pas mesurer directement : la hauteur d'un bâtiment, la longueur d'une diagonale, la distance à parcourir en diagonale sur un terrain… Il sert aussi, grâce à sa réciproque, à vérifier qu'un angle est bien droit, par exemple sur un chantier de construction.
Méthode pas à pas
Calculer la longueur de l'hypoténuse
- Repérer l'angle droit, puis nommer l'hypoténuse : c'est le côté opposé à cet angle.
- Écrire l'égalité de Pythagore : (hypoténuse)² = (côté 1)² + (côté 2)².
- Remplacer par les longueurs connues, puis calculer chaque carré.
- Additionner les deux carrés.
- Prendre la racine carrée du résultat pour obtenir la longueur, et ajouter l'unité.
Calculer un côté de l'angle droit
- Écrire l'égalité de Pythagore : (hypoténuse)² = (côté cherché)² + (autre côté)².
- Isoler le côté cherché : (côté cherché)² = (hypoténuse)² − (autre côté)².
- Calculer la soustraction des deux carrés.
- Prendre la racine carrée du résultat pour obtenir la longueur.
Exemple corrigé pas à pas
Exemple 1 — calculer l'hypoténuse
ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 3 cm et AC = 4 cm. Calculer la longueur BC.
- Le triangle est rectangle en A : l'hypoténuse est donc BC (le côté opposé à l'angle droit).
- D'après le théorème de Pythagore : BC² = AB² + AC².
- BC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25.
- Donc BC = √25 = 5.
- Conclusion : BC = 5 cm.
Exemple 2 — calculer un côté de l'angle droit
DEF est un triangle rectangle en D. On sait que EF = 13 cm (l'hypoténuse) et DE = 5 cm. Calculer la longueur DF.
- EF est l'hypoténuse, donc d'après Pythagore : EF² = DE² + DF².
- On isole DF² : DF² = EF² − DE².
- DF² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144.
- Donc DF = √144 = 12.
- Conclusion : DF = 12 cm.
Erreurs fréquentes à éviter
- Choisir le mauvais côté comme hypoténuse.L'hypoténuse est toujours le côté opposé à l'angle droit — et c'est le plus long des trois côtés.
- Oublier de prendre la racine carrée à la fin : on calcule BC² = 25 et on écrit « BC = 25 ».Une fois le carré obtenu, il faut prendre la racine carrée : BC = √25 = 5.
- Additionner les carrés alors qu'on cherche un côté de l'angle droit.Pour un côté de l'angle droit, on soustrait : (côté)² = (hypoténuse)² − (autre côté)².
- Confondre le théorème et sa réciproque.Le théorème calcule une longueur ; la réciproque démontre qu'un triangle est rectangle.
Pour aller plus loin
Un théorème vieux de plus de 2 500 ans
Ce résultat porte le nom du mathématicien grec Pythagore (VIᵉ siècle avant J.-C.), mais il était déjà connu et utilisé bien avant lui, notamment par les Babyloniens et les Égyptiens, pour tracer des angles droits. C'est l'un des théorèmes les plus démontrés de toute l'histoire des mathématiques : on en connaît des centaines de démonstrations différentes.
Les triplets pythagoriciens
Certains triangles rectangles ont leurs trois côtés de longueurs entières : ce sont les « triplets pythagoriciens ». Le plus célèbre est (3 ; 4 ; 5), car 3² + 4² = 5². En le multipliant, on en obtient d'autres : (6 ; 8 ; 10), (9 ; 12 ; 15)… Un autre triplet connu est (5 ; 12 ; 13).
Les maçons utilisent depuis l'Antiquité une « corde à 13 nœuds », qui forme un triangle 3-4-5, pour tracer facilement un angle droit sur un chantier.
Vers la 3ᵉ et le lycée
Plus tard, le théorème de Pythagore se prolonge dans l'espace (par exemple pour calculer la diagonale d'un pavé droit) et débouche sur la trigonométrie, qui relie les longueurs et les angles d'un triangle rectangle grâce au sinus, au cosinus et à la tangente.
Ce qu'il faut absolument retenir
Ce qu'il faut absolument retenir
- Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit (le plus long).
- Théorème de Pythagore : (hypoténuse)² = (côté)² + (côté)², soit a² = b² + c².
- Pour trouver l'hypoténuse : on additionne les carrés puis on prend la racine carrée.
- Pour trouver un côté de l'angle droit : on soustrait les carrés puis on prend la racine carrée.
- La translation fait glisser une figure dans une direction, sans la tourner ni la déformer.
Vérifie ta compréhension
Exercice 1Dans un triangle rectangle, comment appelle-t-on le côté opposé à l'angle droit ?
L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit, et c'est le plus long.
Exercice 2Un triangle rectangle a deux côtés de 3 cm et 4 cm formant l'angle droit. Quelle est la longueur de l'hypoténuse ?
a² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25, donc a = √25 = 5 cm.
Exercice 3Quelle est la formule du théorème de Pythagore (a = hypoténuse) ?
Le carré de l'hypoténuse égale la somme des carrés des deux autres côtés : a² = b² + c².
Exercice 4La translation fait tourner une figure autour d'un point.
Faux : la translation fait GLISSER la figure dans une direction, sans la tourner (c'est la rotation qui tourne).
Exercice 5Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse mesure 13 et un côté mesure 5. Combien mesure l'autre côté ?
b² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144, donc b = √144 = 12.
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