Nombres et calculs : nombres relatifs et fractions

1. Les nombres relatifs : au-delà et en deçà de zéro

Un nombre relatif peut être positif (au-dessus de zéro, comme +5) ou négatif (en dessous de zéro, comme −5). Les nombres négatifs permettent d'exprimer des situations du quotidien : une température de −8 °C, une altitude de −20 m (sous le niveau de la mer), un solde bancaire négatif (un découvert), un étage en sous-sol.

Sur une droite graduée, les nombres négatifs se placent à gauche de zéro, les positifs à droite. Plus on va vers la gauche, plus le nombre est petit : ainsi −10 est plus petit que −3 (attention, c'est l'inverse de l'intuition sur les nombres « sans signe »).

La distance d'un nombre à zéro s'appelle sa valeur absolue : +7 et −7 ont la même valeur absolue (7). Les relatifs élargissent ainsi le monde des nombres « des deux côtés » de zéro.

2. Additionner et soustraire des relatifs

Pour additionner deux nombres relatifs, on distingue deux cas : — s'ils ont le même signe, on additionne les valeurs et on garde le signe commun. Exemple : (−3) + (−5) = −8 ; — s'ils ont des signes différents, on calcule l'écart entre les valeurs et on garde le signe du plus « grand » (en valeur absolue). Exemple : (−7) + (+4) = −3.

Pour soustraire un relatif, on applique une règle astucieuse : soustraire un nombre revient à ajouter son opposé. Ainsi, 5 − (−3) = 5 + 3 = 8, et (−2) − (+6) = (−2) + (−6) = −8.

Ces règles peuvent dérouter au début, mais elles deviennent vite automatiques avec l'entraînement. Elles sont la base de tout le calcul au collège et au lycée : les maîtriser solidement est indispensable pour la suite.

3. Les fractions : comparer et additionner

Une fraction représente une part d'un tout : dans 3/4, le dénominateur (4, en bas) indique en combien de parts égales le tout est divisé, et le numérateur (3, en haut) combien de parts on prend.

Pour additionner ou soustraire deux fractions, il faut d'abord qu'elles aient le même dénominateur. Si ce n'est pas le cas, on les réduit au même dénominateur (en cherchant un dénominateur commun), puis on additionne les numérateurs.

Exemple : 1/4 + 2/3. On met sur 12 : 3/12 + 8/12 = 11/12.

Pour comparer deux fractions, on les met aussi au même dénominateur : la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur. Les fractions permettent de calculer avec des quantités non entières, ce qui est indispensable dans d'innombrables situations concrètes (recettes, mesures, partages).

4. Multiplier des fractions et résoudre des problèmes

Pour multiplier deux fractions, la règle est simple : on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Exemple : 2/3 × 4/5 = (2 × 4)/(3 × 5) = 8/15. Il n'est pas nécessaire d'avoir le même dénominateur (contrairement à l'addition).

Prendre « une fraction d'une quantité » revient à multiplier. Par exemple, les 3/4 de 20 se calculent : 3/4 × 20 = 60/4 = 15. On retrouve ainsi facilement une part d'un total.

Ces calculs servent à résoudre de nombreux problèmes concrets : « les 2/5 d'une classe de 30 élèves » (soit 12 élèves), une réduction, une portion de recette. On pense toujours à simplifier le résultat lorsque c'est possible. Maîtriser le calcul fractionnaire ouvre la porte aux proportions et aux pourcentages, omniprésents ensuite.