Grandeurs et mesures : aires et volumes

1. Rappels : périmètre et aire

Attention à ne pas confondre deux grandeurs très différentes. Le périmètre est la longueur du contour d'une figure : il se mesure en unités de longueur (cm, m…). L'aire est la mesure de la surface intérieure : elle se mesure en unités carrées (cm², m²…).

Image : le périmètre, c'est la longueur de la clôture autour d'un jardin ; l'aire, c'est la quantité de gazon à l'intérieur.

En 5ᵉ, on enrichit les formules connues : aire du rectangle = longueur × largeur, aire du triangle = (base × hauteur) ÷ 2, aire du carré = côté × côté. Deux figures peuvent avoir le même périmètre mais des aires différentes : ce sont bien deux notions distinctes.

2. L'aire du disque et la longueur du cercle

Pour un cercle de rayon r, deux formules essentielles font intervenir le nombre π (pi), qui vaut environ 3,14 : — la longueur du cercle (son périmètre) = 2 × π × r ; — l'aire du disque = π × r × r (c'est-à-dire π × r²).

Exemple : pour un cercle de rayon 5 cm, la longueur vaut 2 × 3,14 × 5 ≈ 31,4 cm, et l'aire vaut 3,14 × 5 × 5 ≈ 78,5 cm².

Attention à ne pas mélanger les deux formules (l'une avec 2r, l'autre avec r²). Ces calculs servent partout où il y a du rond : roues, tuyaux, pizzas, terrains… On garde souvent π dans le résultat pour une valeur exacte, ou on arrondit pour une valeur concrète.

3. Les solides : prismes et cylindres

Un solide occupe l'espace en trois dimensions (longueur, largeur, hauteur). On étudie surtout deux familles.

Le prisme droit possède deux faces identiques et parallèles (les bases, qui peuvent être des triangles, des rectangles…), reliées par des faces rectangulaires. Le cylindre (de révolution) a deux disques identiques pour bases, reliés par une surface courbe, comme une boîte de conserve.

On apprend à les représenter en perspective cavalière (les arêtes cachées en pointillés) et à les « déplier » en patron (la figure à plat qui, découpée et pliée, reforme le solide). Le patron aide à comprendre la surface totale du solide.

4. Le volume

Le volume mesure la place occupée par un solide dans l'espace. Il se mesure en unités cubes (cm³, m³) ou en litres (1 litre = 1 dm³, et 1 000 litres = 1 m³).

Pour un prisme droit COMME pour un cylindre, une même formule s'applique : volume = aire de la base × hauteur.

Exemples : un pavé droit (prisme à base rectangulaire) de base 4 cm × 3 cm et de hauteur 10 cm a un volume de 12 × 10 = 120 cm³. Un cylindre de rayon 2 cm et de hauteur 5 cm a un volume de (π × 2²) × 5 ≈ 62,8 cm³.

Attention aux unités : la base et la hauteur doivent être exprimées dans la même unité. Ces calculs servent à mesurer des contenances : une boîte, un réservoir, une canette.