Espace et géométrie : symétrie centrale, triangles et angles

1. La symétrie centrale

La symétrie centrale transforme une figure par rapport à un point appelé centre de symétrie. C'est comme une rotation d'un demi-tour (180°) autour de ce point : la figure est retournée.

Le symétrique d'un point A par rapport à un centre O est le point A' tel que O soit le milieu du segment [AA']. Autrement dit, A et A' sont à égale distance de O, de part et d'autre.

La symétrie centrale conserve les longueurs, les angles et les aires : la figure obtenue est identique à la figure de départ, seulement retournée. On la retrouve dans de nombreux motifs (certains logos, des pavages, des figures géométriques). À ne pas confondre avec la symétrie axiale (par rapport à une droite), vue en 6ᵉ, qui agit comme un miroir.

2. Le parallélogramme

Le parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux. C'est une figure très importante, aux nombreuses propriétés remarquables : — ses côtés opposés sont de même longueur ; — ses angles opposés sont égaux ; — ses diagonales se coupent en leur milieu ; — il possède un centre de symétrie (le point d'intersection des diagonales).

Ces propriétés permettent de démontrer qu'une figure est un parallélogramme, ou d'en déduire des longueurs et des angles. Plusieurs figures connues sont des parallélogrammes particuliers : le rectangle (angles droits), le losange (côtés égaux) et le carré (les deux à la fois). Le parallélogramme est donc la « figure mère » de toute une famille de quadrilatères.

3. Les angles : vocabulaire et propriétés

Quand deux droites sont coupées par une troisième (appelée sécante), on repère des paires d'angles particuliers, notamment les angles alternes-internes (de part et d'autre de la sécante, entre les deux droites) et les angles correspondants (du même côté, en position semblable).

La propriété clé : si les deux droites sont parallèles, alors les angles alternes-internes sont égaux, et les angles correspondants sont égaux. La réciproque est vraie aussi : si ces angles sont égaux, les droites sont parallèles.

Ces propriétés sont très utiles pour calculer des angles ou démontrer que deux droites sont parallèles. Elles relient la notion de parallélisme à celle d'égalité d'angles, et interviennent dans de nombreuses démonstrations de géométrie.

4. Les triangles : somme des angles

Une propriété fondamentale de la géométrie : dans n'importe quel triangle, la somme des trois angles est toujours égale à 180°. Quel que soit le triangle (grand, petit, allongé…), cette somme ne change jamais.

Elle permet de calculer un angle manquant quand on connaît les deux autres : il suffit de soustraire leur somme à 180°. Exemple : dans un triangle dont deux angles mesurent 50° et 60°, le troisième mesure 180° − (50° + 60°) = 70°.

Cette propriété a des conséquences utiles : dans un triangle rectangle (un angle de 90°), les deux autres angles ont pour somme 90° ; dans un triangle équilatéral (trois côtés égaux), chaque angle vaut 180° ÷ 3 = 60°. C'est l'un des résultats les plus employés en géométrie.