Le cours
1. Rappels : périmètre et aire
Attention à ne pas confondre deux grandeurs très différentes. Le périmètre est la longueur du contour d'une figure : il se mesure en unités de longueur (cm, m…). L'aire est la mesure de la surface intérieure : elle se mesure en unités carrées (cm², m²…).
Image : le périmètre, c'est la longueur de la clôture autour d'un jardin ; l'aire, c'est la quantité de gazon à l'intérieur.
En 5ᵉ, on enrichit les formules connues : aire du rectangle = longueur × largeur, aire du triangle = (base × hauteur) ÷ 2, aire du carré = côté × côté. Deux figures peuvent avoir le même périmètre mais des aires différentes : ce sont bien deux notions distinctes.
Aire d'un triangle de base 6 cm et de hauteur 4 cm : (6 × 4) ÷ 2 = 12 cm².
2. L'aire du disque et la longueur du cercle
Pour un cercle de rayon r, deux formules essentielles font intervenir le nombre π (pi), qui vaut environ 3,14 : — la longueur du cercle (son périmètre) = 2 × π × r ; — l'aire du disque = π × r × r (c'est-à-dire π × r²).
Exemple : pour un cercle de rayon 5 cm, la longueur vaut 2 × 3,14 × 5 ≈ 31,4 cm, et l'aire vaut 3,14 × 5 × 5 ≈ 78,5 cm².
Attention à ne pas mélanger les deux formules (l'une avec 2r, l'autre avec r²). Ces calculs servent partout où il y a du rond : roues, tuyaux, pizzas, terrains… On garde souvent π dans le résultat pour une valeur exacte, ou on arrondit pour une valeur concrète.
Disque de rayon 5 cm : aire ≈ 3,14 × 5 × 5 ≈ 78,5 cm².
3. Les solides : prismes et cylindres
Un solide occupe l'espace en trois dimensions (longueur, largeur, hauteur). On étudie surtout deux familles.
Le prisme droit possède deux faces identiques et parallèles (les bases, qui peuvent être des triangles, des rectangles…), reliées par des faces rectangulaires. Le cylindre (de révolution) a deux disques identiques pour bases, reliés par une surface courbe — comme une boîte de conserve.
On apprend à les représenter en perspective cavalière (les arêtes cachées en pointillés) et à les « déplier » en patron (la figure à plat qui, découpée et pliée, reforme le solide). Le patron aide à comprendre la surface totale du solide.
Une boîte de conserve est un cylindre ; une tente peut avoir la forme d'un prisme.
4. Le volume
Le volume mesure la place occupée par un solide dans l'espace. Il se mesure en unités cubes (cm³, m³) ou en litres (1 litre = 1 dm³, et 1 000 litres = 1 m³).
Pour un prisme droit COMME pour un cylindre, une même formule s'applique : volume = aire de la base × hauteur.
Exemples : un pavé droit (prisme à base rectangulaire) de base 4 cm × 3 cm et de hauteur 10 cm a un volume de 12 × 10 = 120 cm³. Un cylindre de rayon 2 cm et de hauteur 5 cm a un volume de (π × 2²) × 5 ≈ 62,8 cm³.
Attention aux unités : la base et la hauteur doivent être exprimées dans la même unité. Ces calculs servent à mesurer des contenances : une boîte, un réservoir, une canette.
Cylindre dont la base a une aire de 20 cm² et une hauteur de 10 cm : volume = 20 × 10 = 200 cm³.
Pour approfondir ce chapitrefacultatif
Définitions clés
- Aire
- La mesure d'une surface, en unités carrées (cm², m²).
- Volume
- La mesure de l'espace occupé par un solide, en unités cubes (cm³, m³) ou en litres.
- Parallélépipède rectangle (pavé droit)
- Un solide dont les six faces sont des rectangles ; son volume est longueur × largeur × hauteur.
- Correspondance litres/cm³
- 1 L = 1 dm³ = 1000 cm³ ; 1 mL = 1 cm³.
Explications détaillées
Les formules d'aires à connaître
Rectangle : L × l. Carré : c × c. Triangle : (base × hauteur) ÷ 2. Disque : π × r × r (avec π ≈ 3,14).
Pour une figure complexe, on la découpe en figures simples dont on additionne (ou soustrait) les aires.
Du plan à l'espace : les volumes
Le volume du pavé droit est V = L × l × h ; celui du cube, c × c × c. Ces formules comptent le nombre de « petits cubes unités » qui remplissent le solide.
Attention aux unités : les volumes se convertissent de 1000 en 1000 (1 m³ = 1000 dm³ = 1 000 000 cm³).
Méthode pas à pas
Calculer le volume d'un pavé droit
- Vérifier que les trois dimensions sont dans la même unité (sinon convertir).
- Appliquer V = longueur × largeur × hauteur.
- Effectuer le calcul.
- Donner le résultat en unités cubes, et en litres si demandé (1 L = 1000 cm³).
Exemple corrigé pas à pas
Le volume d'un aquarium
Un aquarium a la forme d'un pavé droit de 40 cm × 25 cm × 30 cm. Quel est son volume en litres ?
- Les dimensions sont toutes en cm : on peut calculer.
- V = 40 × 25 × 30 = 30 000 cm³.
- On convertit : 1 L = 1000 cm³, donc 30 000 cm³ = 30 L.
- L'aquarium a un volume de 30 litres.
Erreurs fréquentes à éviter
- Confondre les unités d'aire (cm²) et de volume (cm³).L'aire mesure une surface (cm²), le volume un espace en trois dimensions (cm³).
- Convertir les volumes de 10 en 10 comme les longueurs.Les volumes se convertissent de 1000 en 1000 : 1 dm³ = 1000 cm³.
- Oublier de diviser par 2 dans l'aire du triangle.Aire du triangle = (base × hauteur) ÷ 2, car il est un demi-rectangle.
Pour aller plus loin
π, un nombre fascinant
Le nombre π (pi ≈ 3,14159…) relie le tour d'un cercle à son diamètre. Ses décimales sont infinies et ne se répètent jamais ; les ordinateurs en ont calculé des milliers de milliards. On le retrouve dans l'aire du disque, le volume du cylindre… et dans d'innombrables domaines des sciences.
Ce qu'il faut absolument retenir
Ce qu'il faut absolument retenir
- Périmètre = contour (cm, m) ; aire = surface (cm², m²) ; volume = place occupée (cm³, m³).
- Aire d'un triangle = (base × hauteur) ÷ 2.
- Cercle de rayon r : longueur = 2 × π × r ; aire du disque = π × r × r (π ≈ 3,14).
- Volume d'un prisme droit ou d'un cylindre = aire de la base × hauteur.
- Unités : 1 L = 1 dm³ = 1000 cm³.
Vérifie ta compréhension
Exercice 1Quelle est l'aire d'un triangle de base 6 cm et de hauteur 4 cm ?
Aire = (base × hauteur) ÷ 2 = (6 × 4) ÷ 2 = 12 cm².
Exercice 2Comment calcule-t-on le volume d'un cylindre ou d'un prisme droit ?
Pour ces solides droits, volume = aire de la base × hauteur.
Exercice 3À combien de cm³ correspond 1 litre ?
1 litre = 1 dm³ = 1000 cm³.
Exercice 4Le périmètre et l'aire d'une figure se mesurent dans la même unité.
Faux : le périmètre est une longueur (cm), l'aire une surface (cm²).
Exercice 5Un cylindre a une base d'aire 20 cm² et une hauteur de 10 cm. Quel est son volume ?
Volume = aire de la base × hauteur = 20 × 10 = 200 cm³.
L'essentiel en images
