Le cours
1. L'idée de départ : multiplier toujours par le même nombre
Deux grandeurs sont proportionnelles lorsqu'on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre s'appelle le coefficient de proportionnalité.
Prends des croissants à 1,20 € pièce. Pour 2 croissants tu paies 2,40 € ; pour 3 croissants, 3,60 €. À chaque fois, tu multiplies le nombre de croissants par 1,20 pour obtenir le prix. Le prix est donc proportionnel au nombre de croissants, et le coefficient vaut 1,20.
1 croissant → 1,20 € · 2 → 2,40 € · 3 → 3,60 €. Le multiplicateur ne change jamais : ×1,20.
2. Le tableau de proportionnalité
On range souvent ces situations dans un tableau à deux lignes. Le tableau est de proportionnalité si on obtient la deuxième ligne en multipliant la première par un même nombre, dans toutes les colonnes.
Pour le vérifier, on calcule le rapport (deuxième ligne ÷ première ligne) dans chaque colonne : s'il est partout identique, c'est proportionnel.
Nombre : 2 | 5 | 10 — Prix : 2,40 | 6,00 | 12,00. Partout, Prix ÷ Nombre = 1,20. ✅
3. Attention : tout n'est pas proportionnel !
C'est l'erreur la plus fréquente. Beaucoup de situations de la vie ne sont PAS proportionnelles. L'âge et la taille d'un enfant, par exemple : à 2 ans on ne mesure pas la moitié de sa taille à 4 ans. De même, le prix d'un abonnement avec un coût fixe de départ n'est pas proportionnel à la durée.
Âge 2 ans → 85 cm ; âge 4 ans → 100 cm. 100 n'est pas le double de 85 : non proportionnel.
4. Trouver une valeur manquante : le produit en croix
Quand il manque un nombre dans un tableau de proportionnalité, on utilise le produit en croix : on multiplie les deux nombres placés en diagonale, puis on divise par le nombre restant.
Exemple : 3 croissants coûtent 3,60 €. Combien coûtent 5 croissants ? On multiplie en diagonale (5 × 3,60 = 18), puis on divise par le nombre restant (18 ÷ 3 = 6). Réponse : 6,00 €.
5 × 3,60 = 18 ; 18 ÷ 3 = 6 → 5 croissants coûtent 6,00 €.
5. Deux applications que tu croises partout
Les pourcentages sont des situations de proportionnalité : « 20 % » signifie « 20 pour 100 », donc on multiplie par 20 ÷ 100 = 0,2. Les échelles d'une carte aussi : une échelle 1/100 000 signifie que 1 cm sur la carte représente 100 000 cm (soit 1 km) dans la réalité.
30 % de 60 € = 60 × 0,30 = 18 €.
Pour approfondir ce chapitrefacultatif
Définitions clés
- Situation de proportionnalité
- Une situation où l'on multiplie (ou divise) toujours par le même nombre pour passer d'une grandeur à l'autre. Exemple : le prix est proportionnel à la quantité achetée.
- Coefficient de proportionnalité
- Le nombre par lequel on multiplie pour passer d'une grandeur à l'autre.
- Pourcentage
- Une proportion exprimée sur 100. « 20 % » signifie 20 pour 100, soit un cinquième.
- Échelle
- Le rapport entre les distances sur un plan et les distances réelles. Une échelle de 1/100 signifie que 1 cm sur le plan représente 100 cm en réalité.
Explications détaillées
Reconnaître une situation de proportionnalité
Il y a proportionnalité quand on passe d'une ligne à l'autre en multipliant toujours par le même nombre. Par exemple, si 1 stylo coûte 2 €, alors 3 stylos coûtent 6 € et 5 stylos coûtent 10 € : on multiplie toujours par 2.
Attention : toutes les situations ne sont pas proportionnelles. L'âge d'une personne n'est pas proportionnel à sa taille.
Le coefficient de proportionnalité
Dans un tableau de proportionnalité, le coefficient est le nombre qui permet de passer de la première ligne à la seconde. Une fois qu'on l'a trouvé, on peut compléter tout le tableau en multipliant par ce coefficient.
Méthode pas à pas
Compléter un tableau de proportionnalité
- Vérifier qu'il s'agit bien d'une situation de proportionnalité.
- Trouver le coefficient : diviser une valeur de la 2ᵉ ligne par la valeur correspondante de la 1ʳᵉ ligne.
- Multiplier chaque valeur de la 1ʳᵉ ligne par ce coefficient pour obtenir la 2ᵉ.
- Vérifier la cohérence des résultats.
Exemple corrigé pas à pas
Un tableau de proportionnalité
3 croissants coûtent 3,60 €. Combien coûtent 5 croissants ?
- Prix d'un croissant : 3,60 ÷ 3 = 1,20 € (c'est le coefficient).
- Prix de 5 croissants : 5 × 1,20.
- 5 × 1,20 = 6.
- Cinq croissants coûtent donc 6 €.
Erreurs fréquentes à éviter
- Ajouter au lieu de multiplier (« si 3 → 3,60, alors 5 → 5,60 »).En proportionnalité, on multiplie par un coefficient, on n'ajoute pas une valeur fixe.
- Croire que toutes les situations sont proportionnelles.Il faut vérifier : on passe d'une grandeur à l'autre en multipliant toujours par le même nombre.
- Confondre 20 % avec 20.20 % veut dire 20 pour 100 ; par exemple 20 % de 50 vaut 10, pas 20.
Pour aller plus loin
La proportionnalité, partout dans la vie
La proportionnalité est l'un des outils les plus utiles des mathématiques : elle sert à adapter une recette de cuisine pour plus de personnes, à lire l'échelle d'une carte, à calculer une vitesse, à convertir des monnaies ou à comprendre les pourcentages des soldes. La maîtriser aide dans une multitude de situations concrètes.
Ce qu'il faut absolument retenir
Ce qu'il faut absolument retenir
- Proportionnel = on multiplie toujours par le même nombre, appelé coefficient.
- Pour vérifier un tableau : le rapport (2ᵉ ligne ÷ 1ʳᵉ ligne) doit être identique dans toutes les colonnes.
- Le produit en croix donne une valeur manquante : on multiplie en diagonale, on divise par le nombre restant.
- Pourcentages et échelles sont des cas de proportionnalité.
- Tout n'est pas proportionnel : méfie-toi (âge/taille, abonnement avec frais fixes).
Vérifie ta compréhension
Exercice 1Un cycliste roule à vitesse constante — Temps (min) : 10 | 20 | 30 et Distance (km) : 4 | 8 | 12. Cette situation est-elle proportionnelle ?
Dans chaque colonne, Distance ÷ Temps = 0,4. Le coefficient est constant : c'est bien proportionnel.
Exercice 24 cahiers identiques coûtent 6,00 €. Combien coûtent 6 cahiers ? (produit en croix)
6 × 6,00 = 36, puis 36 ÷ 4 = 9. Donc 6 cahiers coûtent 9,00 €.
Exercice 3L'âge d'un enfant et sa taille sont deux grandeurs proportionnelles.
Faux : un enfant de 4 ans ne mesure pas le double d'un enfant de 2 ans. Il n'existe pas de coefficient constant.
Exercice 4Combien font 25 % de 80 € ?
25 % = 0,25. On calcule 80 × 0,25 = 20 €.
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