CoursMathématiques · tle
La dérivation, vue en première, se prolonge en terminale avec de nouveaux outils et une notion clé : la convexité. Ces outils affinent l'étude des fonctions et la recherche d'optimaux. Un chapitre central de l'analyse.
Le cours
La dérivée d'une fonction mesure sa variation, et son signe donne le sens de variation. En terminale, on enrichit les techniques de dérivation (compositions, nouvelles fonctions) pour dériver des expressions plus complexes.
La dérivée reste l'outil clé de l'étude des fonctions.
On apprend à dériver des fonctions composées, plus complexes qu'en première.
Le lien fondamental demeure : là où la dérivée est positive, la fonction croît ; là où elle est négative, elle décroît. On dresse le tableau de variations à partir du signe de la dérivée. Les extremums correspondent aux endroits où la dérivée s'annule en changeant de signe.
Le signe de la dérivée commande les variations.
Une dérivée qui passe du positif au négatif signale un maximum.
Une fonction est convexe si sa courbe est « tournée vers le haut » (en forme de cuvette), concave si elle est « tournée vers le bas ». La convexité décrit la façon dont la courbe se courbe. Elle s'étudie grâce à la dérivée seconde (la dérivée de la dérivée).
La convexité décrit la courbure de la fonction.
Une fonction convexe a une courbe en forme de cuvette (tournée vers le haut).
Un point d'inflexion est un endroit où la courbe change de convexité (de convexe à concave ou inversement). En ce point, la courbure s'inverse. L'étude de la convexité et des points d'inflexion complète la description fine d'une fonction.
Le point d'inflexion marque un changement de courbure.
À un point d'inflexion, la courbe passe de « creuse » à « bombée ».
Ce qu'il faut absolument retenir
Vérifie ta compréhension
Exercice 1Que donne le signe de la dérivée d'une fonction ?
Le signe de la dérivée donne le sens de variation : positive → croissante, négative → décroissante.
Exercice 2Une fonction dont la courbe est tournée vers le haut (en cuvette) est dite…
Une fonction dont la courbe est tournée vers le haut (en cuvette) est convexe.
Exercice 3Avec quel outil étudie-t-on la convexité ?
La convexité s'étudie grâce à la dérivée seconde (la dérivée de la dérivée).
Exercice 4Un point d'inflexion est un endroit où la courbe change de convexité.
Vrai : à un point d'inflexion, la courbure s'inverse (convexe ↔ concave).
Exercice 5Explique la différence entre une fonction convexe et une fonction concave.
Une fonction convexe a une courbe tournée vers le haut, en forme de cuvette. Une fonction concave a une courbe tournée vers le bas, comme une colline. La convexité décrit donc la façon dont la courbe se courbe, et s'étudie à l'aide de la dérivée seconde. Un point d'inflexion sépare une partie convexe d'une partie concave.