Le cours
1. Rappels et compléments sur la dérivation
La dérivation, introduite en Première, est approfondie en Terminale. Rappelons l'essentiel : le nombre dérivé f'(a) est la pente de la tangente à la courbe au point d'abscisse a, et la fonction dérivée f' donne cette pente en chaque point.
En Terminale, on enrichit la boîte à outils avec de nouvelles formules : dérivées de la fonction exponentielle (dont la dérivée est elle-même), du logarithme, et surtout les règles de dérivation des fonctions composées, des produits et des quotients. Ces règles permettent de dériver des expressions bien plus complexes qu'en Première.
Maîtriser ces techniques de calcul est indispensable, car la dérivée est l'outil central pour étudier les variations d'une fonction, chercher ses extremums, et résoudre des problèmes d'optimisation. En études supérieures, on dérive constamment, en mathématiques comme en physique ou en économie : les automatismes acquis en Terminale y sont directement réinvestis, à un rythme soutenu qui ne laisse pas le temps de les redécouvrir.
On apprend à dériver des fonctions composées, plus complexes qu'en première.
2. Dérivée et variations
Le lien entre le signe de la dérivée et les variations de la fonction est l'application la plus importante de la dérivation. La règle est fondamentale : sur un intervalle, si f'(x) > 0 la fonction est croissante ; si f'(x) < 0 elle est décroissante ; là où f'(x) = 0, elle peut présenter un extremum.
La méthode d'étude d'une fonction est donc systématique : calculer f'(x), déterminer son signe, puis dresser le tableau de variations. Le signe de la dérivée pilote entièrement le sens de variation. Aux points où la dérivée s'annule en changeant de signe, la fonction atteint un maximum (si f' passe de + à −) ou un minimum (si f' passe de − à +).
Cette méthode est au cœur de l'optimisation, omniprésente dans les applications : trouver la quantité qui maximise un profit, le dosage qui minimise un coût, la trajectoire la plus courte. Exemple : une fonction de bénéfice dont on cherche le maximum se traite en annulant la dérivée. C'est exactement ce raisonnement qu'on retrouve en économie et en sciences appliquées dans le supérieur.
Une dérivée qui passe du positif au négatif signale un maximum.
3. La convexité
La convexité décrit la façon dont une courbe est « incurvée ». Une fonction est convexe sur un intervalle si sa courbe tourne sa concavité vers le haut (elle est « en creux », comme une vallée) ; elle est concave si sa courbe tourne sa concavité vers le bas (elle est « en bosse », comme une colline).
Visuellement, pour une fonction convexe, la courbe est située au-dessus de ses tangentes ; pour une fonction concave, en dessous. On détermine la convexité grâce à la dérivée seconde f'' (la dérivée de la dérivée) : si f''(x) > 0 la fonction est convexe, si f''(x) < 0 elle est concave.
La convexité est une notion nouvelle et importante de la Terminale. Elle affine l'étude d'une fonction au-delà des simples variations, et joue un grand rôle dans le supérieur : en économie (rendements croissants ou décroissants), en optimisation (les problèmes convexes se résolvent bien), en analyse. Savoir lire la convexité d'une courbe et la relier au signe de la dérivée seconde est une compétence précieuse.
Une fonction convexe a une courbe en forme de cuvette (tournée vers le haut).
4. Points d'inflexion
Un point d'inflexion est un point où la courbe change de convexité : elle passe de convexe à concave, ou l'inverse. En ce point, la courbe « change de sens de courbure », et la tangente traverse la courbe.
Puisque la convexité se lit sur le signe de la dérivée seconde f'', un point d'inflexion correspond à un endroit où f'' s'annule en changeant de signe. La méthode pour les trouver est donc : calculer f'', étudier son signe, et repérer les valeurs où ce signe change.
Les points d'inflexion ont une signification concrète dans les applications. En économie ou en sciences, ils marquent souvent un changement de régime : le moment où une croissance qui s'accélérait commence à ralentir, par exemple le point d'inflexion d'une courbe épidémique ou d'une courbe de diffusion. Cette lecture fine des courbes, initiée en Terminale, est largement approfondie et utilisée dans le supérieur, notamment en modélisation.
À un point d'inflexion, la courbe passe de « creuse » à « bombée ».
Pour approfondir ce chapitrefacultatif
Définitions clés
- Dérivée seconde
- La dérivée de la dérivée, notée f″ ; elle renseigne sur la courbure de la fonction.
- Convexité
- Une fonction est convexe si sa courbe tourne sa concavité vers le haut (« en creux ») ; f″ ≥ 0.
- Concavité
- Une fonction est concave si sa courbe tourne sa concavité vers le bas (« en bosse ») ; f″ ≤ 0.
- Point d'inflexion
- Un point où la courbe change de convexité (f″ s'annule en changeant de signe).
Explications détaillées
La dérivée seconde et la courbure
La dérivée première renseigne sur les variations (croissance, décroissance) ; la dérivée seconde renseigne sur la courbure.
Si f″(x) > 0, la fonction est convexe (courbe « en creux », au-dessus de ses tangentes). Si f″(x) < 0, elle est concave (« en bosse »). La convexité affine la compréhension de l'allure d'une courbe.
Points d'inflexion
Un point d'inflexion est un endroit où la courbe change de convexité : elle passe de convexe à concave, ou l'inverse. Cela se produit là où f″ s'annule en changeant de signe.
Étudier la convexité et repérer les points d'inflexion permet de tracer précisément une courbe et d'analyser des phénomènes (accélération d'une croissance, ralentissement…).
Méthode pas à pas
Étudier la convexité d'une fonction
- Calculer la dérivée seconde f″.
- Étudier le signe de f″.
- Là où f″ > 0 : fonction convexe ; là où f″ < 0 : concave.
- Repérer les points d'inflexion (f″ s'annule en changeant de signe).
Exemple corrigé pas à pas
Convexité d'une fonction cube
Étudier la convexité de f(x) = x³.
- Dérivée première : f′(x) = 3x². Dérivée seconde : f″(x) = 6x.
- Signe de f″ : négatif pour x < 0, positif pour x > 0.
- Donc f est concave sur ]−∞ ; 0[ et convexe sur ]0 ; +∞[.
- En x = 0, f″ s'annule en changeant de signe : c'est un point d'inflexion.
Erreurs fréquentes à éviter
- Confondre convexe et concave.Convexe : courbe « en creux » (f″ ≥ 0) ; concave : courbe « en bosse » (f″ ≤ 0).
- Confondre le rôle de f′ et de f″.f′ donne les variations (monter/descendre) ; f″ donne la convexité (courbure).
- Croire que f″ = 0 suffit pour un point d'inflexion.Il faut aussi que f″ CHANGE de signe en ce point.
Pour aller plus loin
La convexité en économie et en optimisation
La convexité est essentielle bien au-delà des mathématiques pures : en économie (rendements croissants ou décroissants), en optimisation (les problèmes convexes se résolvent efficacement), en apprentissage automatique. Reconnaître la « forme » d'une fonction — convexe ou concave — est un outil précieux dans de nombreuses sciences appliquées.
Ce qu'il faut absolument retenir
Ce qu'il faut absolument retenir
- La dérivée mesure la variation ; en terminale, on dérive des expressions plus complexes (compositions, nouvelles fonctions).
- Le signe de la dérivée donne le sens de variation ; les extremums sont là où elle s'annule en changeant de signe.
- Une fonction est convexe si sa courbe est tournée vers le haut (cuvette), concave si tournée vers le bas.
- La convexité s'étudie grâce à la dérivée seconde (la dérivée de la dérivée).
- Un point d'inflexion est un endroit où la courbe change de convexité (la courbure s'inverse).
Vérifie ta compréhension
Exercice 1Que donne le signe de la dérivée d'une fonction ?
Le signe de la dérivée donne le sens de variation : positive → croissante, négative → décroissante.
Exercice 2Une fonction dont la courbe est tournée vers le haut (en cuvette) est dite…
Une fonction dont la courbe est tournée vers le haut (en cuvette) est convexe.
Exercice 3Avec quel outil étudie-t-on la convexité ?
La convexité s'étudie grâce à la dérivée seconde (la dérivée de la dérivée).
Exercice 4Un point d'inflexion est un endroit où la courbe change de convexité.
Vrai : à un point d'inflexion, la courbure s'inverse (convexe ↔ concave).
Exercice 5Explique la différence entre une fonction convexe et une fonction concave.
Une fonction convexe a une courbe tournée vers le haut, en forme de cuvette. Une fonction concave a une courbe tournée vers le bas, comme une colline. La convexité décrit donc la façon dont la courbe se courbe, et s'étudie à l'aide de la dérivée seconde. Un point d'inflexion sépare une partie convexe d'une partie concave.
L'essentiel en images
