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La fonction logarithme népérien est l'inverse de l'exponentielle : elle transforme les produits en sommes et permet de résoudre des équations où l'inconnue est en exposant. Un outil élégant et très utile, au programme de terminale.
Le cours
La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction réciproque de l'exponentielle : elle « défait » ce que fait l'exponentielle. Ainsi, ln(eˣ) = x. Elle n'est définie que pour les nombres strictement positifs.
Le logarithme est l'inverse de l'exponentielle.
Comme ln est l'inverse de exp, on a ln(e) = 1 et ln(1) = 0.
Le logarithme transforme les produits en sommes : ln(a × b) = ln(a) + ln(b). De même, ln(a/b) = ln(a) − ln(b). Ces propriétés, symétriques de celles de l'exponentielle, simplifient de nombreux calculs.
Le logarithme transforme produits en sommes.
ln(a × b) = ln(a) + ln(b) : le produit devient une somme.
La fonction ln est définie et strictement croissante sur les nombres strictement positifs. Sa dérivée est 1/x. Sa courbe croît lentement et passe par le point (1 ; 0). Le logarithme croît, mais de plus en plus lentement.
Le logarithme est croissant mais de croissance lente.
La fonction ln passe par (1 ; 0) et croît de plus en plus lentement.
Le logarithme est l'outil idéal pour résoudre des équations où l'inconnue est en exposant : en appliquant ln, on « fait descendre » l'exposant. Cela permet de résoudre des problèmes concrets (durée, croissance, décroissance).
Le logarithme « libère » l'inconnue en exposant.
Pour résoudre 2ˣ = 10, on applique le logarithme pour faire descendre l'exposant x.
Ce qu'il faut absolument retenir
Vérifie ta compréhension
Exercice 1De quelle fonction le logarithme népérien est-il la réciproque ?
Le logarithme népérien (ln) est la fonction réciproque de l'exponentielle : ln(eˣ) = x.
Exercice 2Que vaut ln(a × b) ?
Le logarithme transforme les produits en sommes : ln(a × b) = ln(a) + ln(b).
Exercice 3Que vaut ln(1) ?
ln(1) = 0 (et ln(e) = 1).
Exercice 4La fonction logarithme népérien n'est définie que pour les nombres strictement positifs.
Vrai : ln n'est définie que pour les nombres strictement positifs.
Exercice 5Explique pourquoi le logarithme est utile pour résoudre une équation comme 2ˣ = 10.
Dans l'équation 2ˣ = 10, l'inconnue x est en exposant, ce qui empêche de la calculer directement. En appliquant le logarithme aux deux membres, on peut « faire descendre » l'exposant (grâce aux propriétés du logarithme), ce qui transforme l'équation en une équation simple à résoudre. Le logarithme libère ainsi l'inconnue placée en exposant.