Qu'est-ce que logarithme népérien (ln) ?

La fonction, définie pour x > 0, qui est la « réciproque » de l'exponentielle : ln(exp(x)) = x.

Qu'est-ce que propriété fondamentale ?

Pour a et b strictement positifs : ln(a × b) = ln(a) + ln(b). Le logarithme transforme les produits en sommes.

Qu'est-ce que valeurs de référence ?

ln(1) = 0 et ln(e) = 1, où e ≈ 2,718.

La fonction logarithme népérien — Maths Terminale

Q: Explique pourquoi le logarithme est utile pour résoudre une équation comme 2ˣ = 10.

Dans l'équation 2ˣ = 10, l'inconnue x est en exposant, ce qui empêche de la calculer directement. En appliquant le logarithme aux deux membres, on peut « faire descendre » l'exposant (grâce aux propriétés du logarithme), ce qui transforme l'équation en une équation simple à résoudre. Le logarithme libère ainsi l'inconnue placée en exposant.

Le cours

1. Définition du logarithme népérien

Le logarithme népérien est une fonction importante des mathématiques de Terminale. Comprendre sa définition est essentiel, car cette fonction intervient dans de nombreux domaines des mathématiques et des sciences.

Le logarithme népérien, noté ln, est une fonction qui est étroitement liée à la fonction exponentielle : c'est en quelque sorte sa fonction « inverse » (sa fonction réciproque). Autrement dit, le logarithme népérien « défait » ce que fait l'exponentielle. Le logarithme népérien est défini pour les nombres strictement positifs : à chaque nombre positif, il associe un nombre. Une propriété caractéristique est que ln(1) = 0. Le logarithme népérien permet notamment de retrouver un exposant : si l'on connaît le résultat d'une exponentielle, le logarithme permet de retrouver l'exposant de départ. Cette fonction est apparue historiquement pour simplifier des calculs et pour répondre à divers problèmes mathématiques. Le logarithme népérien est une fonction fondamentale, aux propriétés remarquables, qui intervient dans de nombreux domaines. Comprendre la définition du logarithme népérien et son lien avec la fonction exponentielle, c'est aborder une fonction essentielle des mathématiques de Terminale, dont l'étude des propriétés et des applications occupe une place importante dans le programme.

Comprendre la définition du logarithme népérien est essentiel, car cette fonction intervient dans de nombreux domaines. Cette notion est fondamentale en mathématiques. Elle est approfondie dans le supérieur, en analyse, où le logarithme est constamment utilisé, ainsi que dans les sciences.

Exemple

Comme ln est l'inverse de exp, on a ln(e) = 1 et ln(1) = 0.

2. Les propriétés algébriques

Le logarithme népérien possède des propriétés algébriques remarquables qui le rendent très utile. Comprendre ces propriétés est essentiel pour manipuler et utiliser cette fonction.

Le logarithme népérien possède des propriétés algébriques caractéristiques, qui en font toute la puissance. La propriété la plus remarquable est que le logarithme transforme les produits en sommes : le logarithme d'un produit est égal à la somme des logarithmes (ln(a × b) = ln(a) + ln(b)). De même, le logarithme transforme les quotients en différences, et permet de traiter les puissances (le logarithme d'une puissance fait intervenir l'exposant comme facteur). Ces propriétés sont fondamentales : elles permettent de transformer des expressions compliquées (avec des produits, des quotients, des puissances) en expressions plus simples (avec des sommes et des différences). C'est d'ailleurs historiquement pour cette raison que les logarithmes ont été inventés : ils permettaient de remplacer des multiplications difficiles par des additions plus simples, facilitant grandement les calculs. Ces propriétés algébriques rendent le logarithme très utile, notamment pour simplifier des calculs et résoudre des équations. Comprendre les propriétés algébriques du logarithme népérien, c'est maîtriser ce qui fait la puissance de cette fonction : sa capacité à transformer produits, quotients et puissances en opérations plus simples, essentielle pour l'utiliser efficacement.

Comprendre les propriétés algébriques du logarithme est essentiel, car elles en font toute la puissance. Ces propriétés sont fondamentales en mathématiques. Elles sont approfondies dans le supérieur, en analyse, où les propriétés du logarithme sont constamment utilisées.

Exemple

ln(a × b) = ln(a) + ln(b) : le produit devient une somme.

3. Variations et courbe

Comme toute fonction, le logarithme népérien a un sens de variation et une courbe caractéristiques. Comprendre ces aspects est essentiel pour connaître le comportement de cette fonction.

Le logarithme népérien a des variations et une courbe caractéristiques. La fonction logarithme népérien est croissante : quand le nombre augmente, son logarithme augmente aussi. Cette croissance est cependant de plus en plus lente (le logarithme croît, mais lentement pour les grands nombres). La fonction n'est définie que pour les nombres strictement positifs. Sa courbe passe par un point caractéristique : elle coupe l'axe horizontal au point où le nombre vaut 1 (car ln(1) = 0). Pour les nombres compris entre 0 et 1, le logarithme est négatif ; pour les nombres supérieurs à 1, il est positif. Quand le nombre se rapproche de 0, le logarithme tend vers des valeurs très négatives. La courbe du logarithme a ainsi une forme caractéristique, croissante mais de plus en plus lentement. Connaître les variations et la courbe du logarithme est important pour comprendre son comportement, l'utiliser dans l'étude de fonctions, résoudre des problèmes. L'étude des variations s'appuie sur les outils de l'analyse (comme la dérivation). Comprendre les variations et la courbe du logarithme népérien, c'est connaître le comportement de cette fonction fondamentale, essentiel pour l'étudier et l'utiliser dans les nombreux domaines où elle intervient.

Comprendre les variations et la courbe du logarithme est essentiel, car cela permet de connaître son comportement. Cette étude est fondamentale en mathématiques. Elle est approfondie dans le supérieur, en analyse, où l'étude des fonctions comme le logarithme est essentielle.

Exemple

La fonction ln passe par (1 ; 0) et croît de plus en plus lentement.

4. Résoudre des équations

Le logarithme népérien est un outil précieux pour résoudre certaines équations. Comprendre comment l'utiliser à cette fin est essentiel, car cela constitue l'une de ses applications majeures.

Le logarithme népérien permet de résoudre des équations qui seraient difficiles à traiter autrement, notamment les équations où l'inconnue apparaît en exposant. En effet, grâce au lien entre le logarithme et l'exponentielle, et grâce aux propriétés du logarithme, on peut « faire descendre » un exposant et ainsi résoudre l'équation. Par exemple, pour résoudre une équation où l'inconnue est en exposant (une équation exponentielle), on peut appliquer le logarithme aux deux membres de l'équation, ce qui, grâce à ses propriétés, transforme l'équation en une forme plus simple où l'inconnue n'est plus en exposant. On peut alors résoudre cette équation. Le logarithme est ainsi un outil puissant pour résoudre les équations exponentielles, qui apparaissent dans de nombreux problèmes (par exemple, des problèmes de croissance ou de décroissance, en sciences, en économie). La résolution d'équations à l'aide du logarithme est l'une des applications majeures de cette fonction. Comprendre comment utiliser le logarithme pour résoudre des équations, c'est maîtriser une application essentielle de cette fonction, qui montre son utilité concrète et conclut l'étude du logarithme népérien, fonction fondamentale des mathématiques de Terminale.

Comprendre comment résoudre des équations avec le logarithme est essentiel, car c'est l'une de ses applications majeures. Cette compétence est fondamentale en mathématiques. Elle est approfondie dans le supérieur, en analyse et dans les sciences, où le logarithme est utilisé pour résoudre de nombreux problèmes.

Exemple

Pour résoudre 2ˣ = 10, on applique le logarithme pour faire descendre l'exposant x.

Pour approfondir ce chapitrefacultatif

Définitions clés

Logarithme népérien (ln): La fonction, définie pour x > 0, qui est la « réciproque » de l'exponentielle : ln(exp(x)) = x.
Propriété fondamentale: Pour a et b strictement positifs : ln(a × b) = ln(a) + ln(b). Le logarithme transforme les produits en sommes.
Valeurs de référence: ln(1) = 0 et ln(e) = 1, où e ≈ 2,718.
Domaine de définition: ln n'est définie que pour les nombres strictement positifs (x > 0).

Explications détaillées

Le logarithme, réciproque de l'exponentielle

Le logarithme népérien « défait » l'exponentielle : ln(exp(x)) = x et exp(ln(x)) = x. Il n'est défini que pour x > 0, et il est strictement croissant.

Grâce à cette relation, ln permet de résoudre des équations où l'inconnue est en exposant : c'est son usage le plus fréquent.

Transformer les produits en sommes

La propriété reine du logarithme : ln(a × b) = ln(a) + ln(b). On en déduit ln(a/b) = ln(a) − ln(b) et ln(aⁿ) = n × ln(a).

Le logarithme transforme ainsi multiplications en additions et puissances en produits — une propriété qui a révolutionné le calcul et qui est au cœur des échelles logarithmiques.

Méthode pas à pas

Résoudre une équation avec l'exponentielle grâce à ln

Isoler l'exponentielle d'un côté de l'équation.
Appliquer le logarithme aux deux membres.
Utiliser ln(exp(x)) = x pour « libérer » l'inconnue.
Résoudre l'équation obtenue.

Exemple corrigé pas à pas

Résoudre exp(x) = 5

Résoudre l'équation exp(x) = 5.

L'exponentielle est déjà isolée.
On applique ln aux deux membres : ln(exp(x)) = ln(5).
Or ln(exp(x)) = x.
Donc x = ln(5) (≈ 1,61). C'est la solution.

Erreurs fréquentes à éviter

Écrire ln(a + b) = ln(a) + ln(b).C'est le PRODUIT que ln transforme en somme : ln(a × b) = ln(a) + ln(b).
Calculer ln d'un nombre négatif ou nul.ln n'est définie que pour x > 0 : ln(0) et ln(−3) n'existent pas.
Confondre logarithme et exponentielle.Ce sont des fonctions réciproques : ln défait ce que exp fait, et inversement.

Pour aller plus loin

Les échelles logarithmiques

Le logarithme est partout dans les sciences : l'échelle de Richter (séismes), les décibels (son), le pH (chimie) sont des échelles logarithmiques. Elles permettent de représenter des grandeurs qui varient sur d'immenses plages. Comprendre le logarithme, c'est comprendre comment la science apprivoise l'infiniment grand et l'infiniment petit.

Ce qu'il faut absolument retenir

La fonction logarithme népérien (ln) est la réciproque de l'exponentielle : ln(eˣ) = x ; définie pour les nombres strictement positifs.
Valeurs clés : ln(1) = 0 et ln(e) = 1.
Propriété fondamentale : ln(a × b) = ln(a) + ln(b) (et ln(a/b) = ln(a) − ln(b)) : le logarithme transforme produits en sommes.
La fonction ln est strictement croissante sur les réels strictement positifs ; sa dérivée est 1/x ; elle croît lentement.
Le logarithme permet de résoudre les équations où l'inconnue est en exposant (en « faisant descendre » l'exposant).

Vérifie ta compréhension

Exercice 1De quelle fonction le logarithme népérien est-il la réciproque ?

Exercice 2Que vaut ln(a × b) ?

Exercice 3Que vaut ln(1) ?

Exercice 4La fonction logarithme népérien n'est définie que pour les nombres strictement positifs.

Exercice 5Explique pourquoi le logarithme est utile pour résoudre une équation comme 2ˣ = 10.

Source officielle Ministère de l'Éducation nationale — Programme officiel · FR-2019

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