Le cours
1. L'intégrale et l'aire
L'intégrale d'une fonction positive sur un intervalle [a ; b] représente l'aire du domaine compris entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites verticales x = a et x = b. C'est l'interprétation géométrique fondamentale de l'intégrale, notée ∫ₐᵇ f(x) dx.
Cette aire se mesure en unités d'aire. L'idée intuitive est d'approcher la surface sous la courbe par de fins rectangles : plus les rectangles sont fins, plus la somme de leurs aires approche l'aire réelle. L'intégrale est la valeur exacte vers laquelle tend cette approximation.
L'intégrale ne se limite pas au calcul d'aires : elle permet de cumuler une grandeur qui varie. Par exemple, si une fonction décrit un débit qui varie dans le temps, son intégrale donne la quantité totale écoulée. Cette notion de « cumul continu » est essentielle en physique (distance à partir d'une vitesse, travail d'une force), en probabilités et en économie. C'est l'un des outils majeurs que l'on développe considérablement dans le supérieur.
L'intégrale d'une fonction positive donne l'aire entre sa courbe et l'axe des abscisses.
2. Primitives
Une primitive d'une fonction f est une fonction F dont la dérivée est f : F' = f. Autrement dit, chercher une primitive, c'est faire l'opération inverse de la dérivation. Cette notion est la clé du calcul des intégrales.
Une fonction admet une infinité de primitives, qui diffèrent toutes d'une constante : si F est une primitive de f, alors F + k en est une aussi, pour n'importe quelle constante k. On dispose de formules de primitives, obtenues en « remontant » les formules de dérivation : par exemple, une primitive de xⁿ est xⁿ⁺¹/(n+1), une primitive de eˣ est eˣ, une primitive de 1/x (pour x > 0) est ln(x).
Exemple : une primitive de f(x) = 2x est F(x) = x², car la dérivée de x² est bien 2x. Savoir trouver une primitive est indispensable pour calculer une intégrale. Cette recherche, parfois simple, parfois délicate, occupe une place importante dans le supérieur scientifique, où l'on développe de nombreuses techniques d'intégration.
Une primitive de la fonction 2x est x² (car la dérivée de x² est 2x).
3. Calculer une intégrale
Le calcul d'une intégrale repose sur un résultat fondamental reliant intégrale et primitive : pour calculer ∫ₐᵇ f(x) dx, on cherche une primitive F de f, puis on calcule F(b) − F(a). Ce résultat, appelé théorème fondamental de l'analyse, unifie les deux notions.
La méthode est donc systématique : trouver une primitive F de la fonction, l'évaluer aux deux bornes, et soustraire. Le résultat est un nombre, qui représente l'aire (si la fonction est positive) ou plus généralement le cumul de la grandeur.
Exemple : pour calculer ∫₀² 2x dx, on prend la primitive F(x) = x², et l'intégrale vaut F(2) − F(0) = 4 − 0 = 4. Ce lien profond entre dérivation et intégration — deux opérations inverses l'une de l'autre — est l'un des sommets des mathématiques du lycée. Il est constamment utilisé dans le supérieur, où l'intégration devient un outil de calcul et de modélisation omniprésent.
On calcule une intégrale en évaluant une primitive aux deux bornes et en faisant la différence.
4. Applications de l'intégrale
L'intégrale dépasse largement le calcul d'aires : c'est un outil pour cumuler et pour moyenner des grandeurs qui varient continûment. Ses applications sont innombrables, ce qui explique son importance.
On l'utilise pour calculer une aire entre deux courbes, une valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle, ou un volume. En physique, l'intégrale d'une vitesse donne une distance parcourue, l'intégrale d'une force le long d'un déplacement donne un travail. En probabilités, l'intégrale permet de calculer des probabilités pour des variables continues. En économie, elle sert à cumuler des flux ou à calculer des surplus.
Ces applications montrent que l'intégrale est un langage pour décrire tout ce qui s'accumule continûment. Cette polyvalence en fait l'un des outils les plus puissants des mathématiques appliquées. Le calcul intégral, introduit en Terminale, est approfondi dès la première année du supérieur et utilisé dans quasiment toutes les disciplines scientifiques.
À partir d'une vitesse variable, l'intégrale permet de calculer la distance parcourue.
Pour approfondir ce chapitrefacultatif
Définitions clés
- Primitive
- Une fonction F dont la dérivée est f (F′ = f) ; c'est l'opération « inverse » de la dérivation.
- Intégrale
- L'intégrale de f entre a et b mesure l'aire sous la courbe de f sur [a ; b].
- Théorème fondamental
- L'intégrale de a à b vaut F(b) − F(a), où F est une primitive de f.
- Aire sous la courbe
- L'interprétation géométrique de l'intégrale d'une fonction positive.
Explications détaillées
Primitives et aires
Intégrer, c'est en quelque sorte « dériver à l'envers » : on cherche une primitive F telle que F′ = f. Par exemple, une primitive de x est x²/2.
Géométriquement, l'intégrale d'une fonction positive entre a et b représente l'aire comprise sous sa courbe. Ce lien entre primitive et aire est l'une des plus belles découvertes des mathématiques.
Le théorème fondamental de l'analyse
Le théorème fondamental relie dérivation et intégration : l'intégrale de a à b de f vaut F(b) − F(a), où F est une primitive de f.
Ainsi, pour calculer une aire, il suffit de trouver une primitive et de faire une soustraction. Ce résultat unifie deux notions en apparence très différentes : le calcul des pentes (dérivées) et le calcul des aires (intégrales).
Méthode pas à pas
Calculer une intégrale
- Déterminer une primitive F de la fonction f.
- Calculer F(b), la primitive à la borne supérieure.
- Calculer F(a), la primitive à la borne inférieure.
- L'intégrale vaut F(b) − F(a).
Exemple corrigé pas à pas
L'aire sous une droite
Calculer l'intégrale de f(x) = x entre 0 et 2.
- Une primitive de x est F(x) = x²/2.
- F(2) = 2²/2 = 2.
- F(0) = 0²/2 = 0.
- Intégrale = F(2) − F(0) = 2 − 0 = 2. (C'est bien l'aire du triangle de base 2 et de hauteur 2.)
Erreurs fréquentes à éviter
- Confondre primitive et dérivée.La primitive F vérifie F′ = f : c'est l'opération inverse de la dérivation.
- Oublier que la primitive est définie à une constante près.Toutes les primitives diffèrent d'une constante ; mais dans F(b) − F(a), la constante s'élimine.
- Ignorer le signe de l'aire.Sous l'axe des abscisses, l'intégrale compte négativement : l'aire « algébrique » peut être négative.
Pour aller plus loin
L'intégrale, un outil universel
Le calcul intégral est partout dans les sciences : en physique (calculer une distance à partir d'une vitesse, un travail, une énergie), en probabilités (aires sous des courbes de densité), en économie. Reliant les aires aux primitives, il est l'un des piliers des mathématiques appliquées et l'aboutissement de l'analyse au lycée.
Ce qu'il faut absolument retenir
Ce qu'il faut absolument retenir
- L'intégrale d'une fonction positive sur un intervalle représente l'aire entre la courbe et l'axe des abscisses.
- Une primitive de f est une fonction dont la dérivée est f (opération inverse de la dérivation).
- Une fonction admet une infinité de primitives, qui diffèrent d'une constante.
- On calcule une intégrale à l'aide d'une primitive : différence de ses valeurs aux deux bornes.
- L'intégrale permet aussi de cumuler une grandeur variable (distance à partir d'une vitesse), de calculer des moyennes, etc.
Vérifie ta compréhension
Exercice 1Que représente l'intégrale d'une fonction positive sur un intervalle ?
L'intégrale d'une fonction positive représente l'aire comprise entre la courbe et l'axe des abscisses.
Exercice 2Qu'est-ce qu'une primitive d'une fonction f ?
Une primitive de f est une fonction dont la dérivée est f (l'opération inverse de la dérivation).
Exercice 3Quelle est une primitive de la fonction 2x ?
x² est une primitive de 2x, car la dérivée de x² est 2x.
Exercice 4Intégrer est l'opération inverse de dériver.
Vrai : la primitive (base du calcul intégral) est l'inverse de la dérivée.
Exercice 5Explique le lien entre primitive et calcul d'une intégrale.
Pour calculer l'intégrale d'une fonction sur un intervalle, on détermine d'abord une primitive de cette fonction (une fonction dont la dérivée redonne la fonction de départ). L'intégrale est ensuite égale à la différence des valeurs de cette primitive aux deux bornes de l'intervalle. La primitive est donc l'outil central du calcul intégral, ce qui illustre que l'intégration est l'opération inverse de la dérivation.
L'essentiel en images
