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Comment calculer l'aire sous une courbe, ou cumuler une grandeur qui varie ? Le calcul intégral répond à ces questions et complète la dérivation, dont il est l'opération inverse. Un sommet du programme de terminale.
Le cours
L'intégrale d'une fonction positive sur un intervalle représente l'aire comprise entre la courbe et l'axe des abscisses. Elle permet de mesurer une surface délimitée par une courbe, ce que la géométrie élémentaire ne sait pas faire pour des formes courbes.
L'intégrale mesure une aire sous la courbe.
L'intégrale d'une fonction positive donne l'aire entre sa courbe et l'axe des abscisses.
Une primitive d'une fonction f est une fonction dont la dérivée est f : c'est l'opération inverse de la dérivation. Trouver une primitive est l'étape clé pour calculer une intégrale. Une fonction admet une infinité de primitives, qui diffèrent d'une constante.
La primitive est l'inverse de la dérivée.
Une primitive de la fonction 2x est x² (car la dérivée de x² est 2x).
Pour calculer l'intégrale d'une fonction sur un intervalle, on utilise une primitive : l'intégrale est la différence des valeurs de la primitive aux deux bornes. C'est le lien fondamental entre intégration et dérivation.
Le calcul d'intégrale repose sur les primitives.
On calcule une intégrale en évaluant une primitive aux deux bornes et en faisant la différence.
L'intégrale sert à bien plus que les aires : elle permet de cumuler une grandeur qui varie (une distance à partir d'une vitesse, une quantité à partir d'un débit), de calculer des valeurs moyennes, et intervient dans de nombreux domaines (physique, économie).
L'intégrale cumule les variations d'une grandeur.
À partir d'une vitesse variable, l'intégrale permet de calculer la distance parcourue.
Ce qu'il faut absolument retenir
Vérifie ta compréhension
Exercice 1Que représente l'intégrale d'une fonction positive sur un intervalle ?
L'intégrale d'une fonction positive représente l'aire comprise entre la courbe et l'axe des abscisses.
Exercice 2Qu'est-ce qu'une primitive d'une fonction f ?
Une primitive de f est une fonction dont la dérivée est f (l'opération inverse de la dérivation).
Exercice 3Quelle est une primitive de la fonction 2x ?
x² est une primitive de 2x, car la dérivée de x² est 2x.
Exercice 4Intégrer est l'opération inverse de dériver.
Vrai : la primitive (base du calcul intégral) est l'inverse de la dérivée.
Exercice 5Explique le lien entre primitive et calcul d'une intégrale.
Pour calculer l'intégrale d'une fonction sur un intervalle, on détermine d'abord une primitive de cette fonction (une fonction dont la dérivée redonne la fonction de départ). L'intégrale est ensuite égale à la différence des valeurs de cette primitive aux deux bornes de l'intervalle. La primitive est donc l'outil central du calcul intégral, ce qui illustre que l'intégration est l'opération inverse de la dérivation.