Le cours
1. Définition du logarithme népérien
La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction réciproque de l'exponentielle : elle « défait » exactement ce que fait l'exponentielle. Ainsi ln(eˣ) = x, et réciproquement e^(ln x) = x pour x > 0.
Elle n'est définie que pour les nombres strictement positifs (x > 0) : on ne peut pas calculer le logarithme de 0 ni d'un nombre négatif.
Quelques valeurs à connaître : ln(1) = 0 (car e⁰ = 1) et ln(e) = 1 (car e¹ = e). Le logarithme répond à la question : « à quelle puissance faut-il élever e pour obtenir ce nombre ? »
Comme ln est l'inverse de exp, on a ln(e) = 1 et ln(1) = 0.
2. Les propriétés algébriques
La propriété fondamentale du logarithme est de transformer les produits en sommes : ln(a × b) = ln(a) + ln(b), pour a et b strictement positifs. C'est la propriété symétrique de celle de l'exponentielle (qui transforme les sommes en produits).
Quelques conséquences très utiles : ln(a/b) = ln(a) − ln(b) (le quotient devient une différence), et ln(aⁿ) = n × ln(a) (l'exposant devient un facteur).
Exemple : ln(8) = ln(2³) = 3 ln(2). Ces règles simplifient énormément les calculs et sont au cœur des applications historiques du logarithme (transformer des multiplications compliquées en additions).
ln(a × b) = ln(a) + ln(b) : le produit devient une somme.
3. Variations et courbe
La fonction ln est définie et strictement croissante sur l'intervalle des réels strictement positifs : plus x augmente, plus ln(x) augmente. Sa dérivée est particulièrement simple : (ln x)′ = 1/x.
Sa courbe passe par le point (1 ; 0), croît de plus en plus lentement, et n'est jamais bornée (elle tend vers +∞, mais très doucement). Du côté de 0, elle plonge vers −∞.
Comme ln est strictement croissante, elle conserve l'ordre : si a < b alors ln(a) < ln(b). Cette propriété est précieuse pour comparer des nombres ou résoudre des inéquations. Le logarithme croît, mais de plus en plus lentement — d'où son utilité pour « compresser » de très grandes échelles.
La fonction ln passe par (1 ; 0) et croît de plus en plus lentement.
4. Résoudre des équations
Le logarithme est l'outil idéal pour résoudre les équations où l'inconnue se trouve en exposant : en appliquant ln aux deux membres, on « fait descendre » l'exposant grâce à la règle ln(aⁿ) = n ln(a).
Exemple : résoudre 2ˣ = 10. On applique ln : ln(2ˣ) = ln(10), soit x ln(2) = ln(10), d'où x = ln(10) / ln(2) ≈ 3,32.
Cela permet de résoudre de nombreux problèmes concrets de croissance ou de décroissance : temps de doublement d'un placement, demi-vie d'un élément radioactif, évolution d'une population. Le logarithme est ainsi le langage naturel de tous les phénomènes exponentiels.
Pour résoudre 2ˣ = 10, on applique le logarithme pour faire descendre l'exposant x.
Pour approfondir ce chapitrefacultatif
Définitions clés
- Logarithme népérien (ln)
- La fonction, définie pour x > 0, qui est la « réciproque » de l'exponentielle : ln(exp(x)) = x.
- Propriété fondamentale
- Pour a et b strictement positifs : ln(a × b) = ln(a) + ln(b). Le logarithme transforme les produits en sommes.
- Valeurs de référence
- ln(1) = 0 et ln(e) = 1, où e ≈ 2,718.
- Domaine de définition
- ln n'est définie que pour les nombres strictement positifs (x > 0).
Explications détaillées
Le logarithme, réciproque de l'exponentielle
Le logarithme népérien « défait » l'exponentielle : ln(exp(x)) = x et exp(ln(x)) = x. Il n'est défini que pour x > 0, et il est strictement croissant.
Grâce à cette relation, ln permet de résoudre des équations où l'inconnue est en exposant : c'est son usage le plus fréquent.
Transformer les produits en sommes
La propriété reine du logarithme : ln(a × b) = ln(a) + ln(b). On en déduit ln(a/b) = ln(a) − ln(b) et ln(aⁿ) = n × ln(a).
Le logarithme transforme ainsi multiplications en additions et puissances en produits — une propriété qui a révolutionné le calcul et qui est au cœur des échelles logarithmiques.
Méthode pas à pas
Résoudre une équation avec l'exponentielle grâce à ln
- Isoler l'exponentielle d'un côté de l'équation.
- Appliquer le logarithme aux deux membres.
- Utiliser ln(exp(x)) = x pour « libérer » l'inconnue.
- Résoudre l'équation obtenue.
Exemple corrigé pas à pas
Résoudre exp(x) = 5
Résoudre l'équation exp(x) = 5.
- L'exponentielle est déjà isolée.
- On applique ln aux deux membres : ln(exp(x)) = ln(5).
- Or ln(exp(x)) = x.
- Donc x = ln(5) (≈ 1,61). C'est la solution.
Erreurs fréquentes à éviter
- Écrire ln(a + b) = ln(a) + ln(b).C'est le PRODUIT que ln transforme en somme : ln(a × b) = ln(a) + ln(b).
- Calculer ln d'un nombre négatif ou nul.ln n'est définie que pour x > 0 : ln(0) et ln(−3) n'existent pas.
- Confondre logarithme et exponentielle.Ce sont des fonctions réciproques : ln défait ce que exp fait, et inversement.
Pour aller plus loin
Les échelles logarithmiques
Le logarithme est partout dans les sciences : l'échelle de Richter (séismes), les décibels (son), le pH (chimie) sont des échelles logarithmiques. Elles permettent de représenter des grandeurs qui varient sur d'immenses plages. Comprendre le logarithme, c'est comprendre comment la science apprivoise l'infiniment grand et l'infiniment petit.
Ce qu'il faut absolument retenir
Ce qu'il faut absolument retenir
- La fonction logarithme népérien (ln) est la réciproque de l'exponentielle : ln(eˣ) = x ; définie pour les nombres strictement positifs.
- Valeurs clés : ln(1) = 0 et ln(e) = 1.
- Propriété fondamentale : ln(a × b) = ln(a) + ln(b) (et ln(a/b) = ln(a) − ln(b)) : le logarithme transforme produits en sommes.
- La fonction ln est strictement croissante sur les réels strictement positifs ; sa dérivée est 1/x ; elle croît lentement.
- Le logarithme permet de résoudre les équations où l'inconnue est en exposant (en « faisant descendre » l'exposant).
Vérifie ta compréhension
Exercice 1De quelle fonction le logarithme népérien est-il la réciproque ?
Le logarithme népérien (ln) est la fonction réciproque de l'exponentielle : ln(eˣ) = x.
Exercice 2Que vaut ln(a × b) ?
Le logarithme transforme les produits en sommes : ln(a × b) = ln(a) + ln(b).
Exercice 3Que vaut ln(1) ?
ln(1) = 0 (et ln(e) = 1).
Exercice 4La fonction logarithme népérien n'est définie que pour les nombres strictement positifs.
Vrai : ln n'est définie que pour les nombres strictement positifs.
Exercice 5Explique pourquoi le logarithme est utile pour résoudre une équation comme 2ˣ = 10.
Dans l'équation 2ˣ = 10, l'inconnue x est en exposant, ce qui empêche de la calculer directement. En appliquant le logarithme aux deux membres, on peut « faire descendre » l'exposant (grâce aux propriétés du logarithme), ce qui transforme l'équation en une équation simple à résoudre. Le logarithme libère ainsi l'inconnue placée en exposant.
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