Le cours
1. L'intégrale et l'aire
L'intégrale d'une fonction positive sur un intervalle représente l'aire comprise entre la courbe et l'axe des abscisses. Elle permet de mesurer une surface délimitée par une courbe, ce que la géométrie élémentaire ne sait pas faire pour des formes courbes.
L'intégrale mesure une aire sous la courbe.
L'intégrale d'une fonction positive donne l'aire entre sa courbe et l'axe des abscisses.
2. Primitives
Une primitive d'une fonction f est une fonction dont la dérivée est f : c'est l'opération inverse de la dérivation. Trouver une primitive est l'étape clé pour calculer une intégrale. Une fonction admet une infinité de primitives, qui diffèrent d'une constante.
La primitive est l'inverse de la dérivée.
Une primitive de la fonction 2x est x² (car la dérivée de x² est 2x).
3. Calculer une intégrale
Pour calculer l'intégrale d'une fonction sur un intervalle, on utilise une primitive : l'intégrale est la différence des valeurs de la primitive aux deux bornes. C'est le lien fondamental entre intégration et dérivation.
Le calcul d'intégrale repose sur les primitives.
On calcule une intégrale en évaluant une primitive aux deux bornes et en faisant la différence.
4. Applications de l'intégrale
L'intégrale sert à bien plus que les aires : elle permet de cumuler une grandeur qui varie (une distance à partir d'une vitesse, une quantité à partir d'un débit), de calculer des valeurs moyennes, et intervient dans de nombreux domaines (physique, économie).
L'intégrale cumule les variations d'une grandeur.
À partir d'une vitesse variable, l'intégrale permet de calculer la distance parcourue.
Pour approfondir ce chapitrefacultatif
Définitions clés
- Primitive
- Une fonction F dont la dérivée est f (F′ = f) ; c'est l'opération « inverse » de la dérivation.
- Intégrale
- L'intégrale de f entre a et b mesure l'aire sous la courbe de f sur [a ; b].
- Théorème fondamental
- L'intégrale de a à b vaut F(b) − F(a), où F est une primitive de f.
- Aire sous la courbe
- L'interprétation géométrique de l'intégrale d'une fonction positive.
Explications détaillées
Primitives et aires
Intégrer, c'est en quelque sorte « dériver à l'envers » : on cherche une primitive F telle que F′ = f. Par exemple, une primitive de x est x²/2.
Géométriquement, l'intégrale d'une fonction positive entre a et b représente l'aire comprise sous sa courbe. Ce lien entre primitive et aire est l'une des plus belles découvertes des mathématiques.
Le théorème fondamental de l'analyse
Le théorème fondamental relie dérivation et intégration : l'intégrale de a à b de f vaut F(b) − F(a), où F est une primitive de f.
Ainsi, pour calculer une aire, il suffit de trouver une primitive et de faire une soustraction. Ce résultat unifie deux notions en apparence très différentes : le calcul des pentes (dérivées) et le calcul des aires (intégrales).
Méthode pas à pas
Calculer une intégrale
- Déterminer une primitive F de la fonction f.
- Calculer F(b), la primitive à la borne supérieure.
- Calculer F(a), la primitive à la borne inférieure.
- L'intégrale vaut F(b) − F(a).
Exemple corrigé pas à pas
L'aire sous une droite
Calculer l'intégrale de f(x) = x entre 0 et 2.
- Une primitive de x est F(x) = x²/2.
- F(2) = 2²/2 = 2.
- F(0) = 0²/2 = 0.
- Intégrale = F(2) − F(0) = 2 − 0 = 2. (C'est bien l'aire du triangle de base 2 et de hauteur 2.)
Erreurs fréquentes à éviter
- Confondre primitive et dérivée.La primitive F vérifie F′ = f : c'est l'opération inverse de la dérivation.
- Oublier que la primitive est définie à une constante près.Toutes les primitives diffèrent d'une constante ; mais dans F(b) − F(a), la constante s'élimine.
- Ignorer le signe de l'aire.Sous l'axe des abscisses, l'intégrale compte négativement : l'aire « algébrique » peut être négative.
Pour aller plus loin
L'intégrale, un outil universel
Le calcul intégral est partout dans les sciences : en physique (calculer une distance à partir d'une vitesse, un travail, une énergie), en probabilités (aires sous des courbes de densité), en économie. Reliant les aires aux primitives, il est l'un des piliers des mathématiques appliquées et l'aboutissement de l'analyse au lycée.
Ce qu'il faut absolument retenir
Ce qu'il faut absolument retenir
- L'intégrale d'une fonction positive sur un intervalle représente l'aire entre la courbe et l'axe des abscisses.
- Une primitive de f est une fonction dont la dérivée est f (opération inverse de la dérivation).
- Une fonction admet une infinité de primitives, qui diffèrent d'une constante.
- On calcule une intégrale à l'aide d'une primitive : différence de ses valeurs aux deux bornes.
- L'intégrale permet aussi de cumuler une grandeur variable (distance à partir d'une vitesse), de calculer des moyennes, etc.
Vérifie ta compréhension
Exercice 1Que représente l'intégrale d'une fonction positive sur un intervalle ?
L'intégrale d'une fonction positive représente l'aire comprise entre la courbe et l'axe des abscisses.
Exercice 2Qu'est-ce qu'une primitive d'une fonction f ?
Une primitive de f est une fonction dont la dérivée est f (l'opération inverse de la dérivation).
Exercice 3Quelle est une primitive de la fonction 2x ?
x² est une primitive de 2x, car la dérivée de x² est 2x.
Exercice 4Intégrer est l'opération inverse de dériver.
Vrai : la primitive (base du calcul intégral) est l'inverse de la dérivée.
Exercice 5Explique le lien entre primitive et calcul d'une intégrale.
Pour calculer l'intégrale d'une fonction sur un intervalle, on détermine d'abord une primitive de cette fonction (une fonction dont la dérivée redonne la fonction de départ). L'intégrale est ensuite égale à la différence des valeurs de cette primitive aux deux bornes de l'intervalle. La primitive est donc l'outil central du calcul intégral, ce qui illustre que l'intégration est l'opération inverse de la dérivation.
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