Le cours
1. Variable aléatoire et loi de probabilité
Une variable aléatoire associe un nombre au résultat d'une expérience aléatoire. Sa loi de probabilité indique la probabilité de chaque valeur possible. On peut calculer son espérance (la valeur moyenne attendue) et sa variance (la dispersion).
La variable aléatoire chiffre le hasard.
Le nombre de « pile » obtenus en lançant plusieurs pièces est une variable aléatoire.
2. L'épreuve de Bernoulli
Une épreuve de Bernoulli est une expérience à deux issues seulement : succès (avec une probabilité p) ou échec. C'est le modèle de base : pile ou face, gagné ou perdu, conforme ou défectueux. La loi binomiale repose sur la répétition de cette épreuve.
Une épreuve de Bernoulli n'a que deux issues : succès ou échec.
Lancer une pièce (pile = succès, face = échec) est une épreuve de Bernoulli.
3. La loi binomiale
La loi binomiale modélise le nombre de succès lors de la répétition, de façon indépendante, d'une même épreuve de Bernoulli. Elle dépend de deux paramètres : le nombre de répétitions n et la probabilité de succès p. Elle permet de calculer la probabilité d'obtenir un nombre donné de succès.
La loi binomiale compte les succès sur n répétitions.
La probabilité d'obtenir exactement 3 « pile » en 5 lancers suit une loi binomiale.
4. Espérance et applications
Pour une loi binomiale de paramètres n et p, l'espérance (le nombre moyen de succès attendu) est n × p. La loi binomiale sert dans de nombreux domaines : contrôle qualité, sondages, jeux, biologie. Elle permet d'estimer et de décider.
L'espérance d'une loi binomiale est n × p.
Sur 100 lancers d'une pièce équilibrée, on attend en moyenne 50 « pile » (100 × 0,5).
Pour approfondir ce chapitrefacultatif
Définitions clés
- Épreuve de Bernoulli
- Une expérience à deux issues : « succès » (probabilité p) ou « échec » (probabilité 1 − p).
- Schéma de Bernoulli
- La répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
- Loi binomiale
- La loi du nombre de succès dans un schéma de Bernoulli de paramètres n et p.
- Espérance
- La valeur moyenne d'une variable aléatoire ; pour la loi binomiale, E(X) = n × p.
Explications détaillées
Le schéma de Bernoulli et la loi binomiale
On répète n fois la même épreuve à deux issues (succès/échec), de façon indépendante. Le nombre de succès X suit alors une loi binomiale de paramètres n (nombre d'épreuves) et p (probabilité de succès).
La probabilité d'obtenir exactement k succès combine le nombre de façons d'ordonner ces succès et les probabilités de succès et d'échec. Les arbres pondérés aident à visualiser ce mécanisme.
Espérance et dispersion
Pour une variable aléatoire, l'espérance E(X) est la valeur moyenne attendue sur un grand nombre de répétitions. Pour la loi binomiale, elle est simple : E(X) = n × p.
Par exemple, sur 100 lancers d'une pièce équilibrée (p = 0,5), on attend en moyenne 100 × 0,5 = 50 « pile ». L'espérance et l'écart-type permettent de prévoir et d'analyser les résultats aléatoires.
Méthode pas à pas
Reconnaître et utiliser une loi binomiale
- Vérifier qu'on répète n épreuves identiques, indépendantes, à deux issues.
- Identifier les paramètres : n (nombre d'épreuves) et p (probabilité de succès).
- Utiliser la loi binomiale pour calculer une probabilité (souvent à la calculatrice).
- Calculer l'espérance E(X) = n × p si besoin.
Exemple corrigé pas à pas
Espérance d'un nombre de succès
On lance 20 fois un dé équilibré. En moyenne, combien de fois obtient-on un « six » ?
- Chaque lancer est une épreuve de Bernoulli : succès = « six », p = 1/6.
- On répète n = 20 épreuves indépendantes : loi binomiale de paramètres 20 et 1/6.
- Espérance : E(X) = n × p = 20 × 1/6.
- ≈ 3,33 : on obtient en moyenne environ 3,3 « six » sur 20 lancers.
Erreurs fréquentes à éviter
- Appliquer la loi binomiale à des épreuves non indépendantes.La loi binomiale exige des épreuves identiques ET indépendantes.
- Confondre les paramètres n et p.n est le nombre d'épreuves ; p, la probabilité de succès à chaque épreuve.
- Oublier qu'un tirage sans remise n'est pas binomial.Sans remise, les épreuves ne sont plus indépendantes : la loi binomiale ne s'applique pas.
Pour aller plus loin
Des probabilités à la statistique
La loi binomiale est la porte d'entrée vers la statistique inférentielle : à partir d'un échantillon, on estime et on teste des hypothèses sur une population (sondages, contrôle qualité, essais cliniques). Comprendre le hasard de façon rigoureuse est essentiel dans un monde qui s'appuie de plus en plus sur les données.
Ce qu'il faut absolument retenir
Ce qu'il faut absolument retenir
- Une variable aléatoire associe un nombre au résultat d'une expérience ; sa loi donne la probabilité de chaque valeur (espérance = valeur moyenne).
- Une épreuve de Bernoulli a deux issues : succès (probabilité p) ou échec.
- La loi binomiale modélise le nombre de succès lors de n répétitions indépendantes d'une épreuve de Bernoulli.
- Elle dépend de deux paramètres : le nombre de répétitions n et la probabilité de succès p.
- L'espérance d'une loi binomiale de paramètres n et p est n × p (nombre moyen de succès attendu).
Vérifie ta compréhension
Exercice 1Qu'est-ce qu'une épreuve de Bernoulli ?
Une épreuve de Bernoulli est une expérience à deux issues : succès (probabilité p) ou échec.
Exercice 2Que modélise la loi binomiale ?
La loi binomiale modélise le nombre de succès lors de n répétitions indépendantes d'une même épreuve de Bernoulli.
Exercice 3Quelle est l'espérance d'une loi binomiale de paramètres n et p ?
L'espérance d'une loi binomiale de paramètres n et p est n × p.
Exercice 4La loi binomiale suppose que les répétitions de l'épreuve sont indépendantes.
Vrai : la loi binomiale repose sur la répétition indépendante d'une même épreuve de Bernoulli.
Exercice 5On lance 100 fois une pièce équilibrée. Combien de « pile » peut-on attendre en moyenne, et pourquoi ?
Le nombre de « pile » suit une loi binomiale de paramètres n = 100 (répétitions) et p = 0,5 (probabilité de succès à chaque lancer). L'espérance, c'est-à-dire le nombre moyen de succès attendu, est n × p = 100 × 0,5 = 50. On peut donc attendre en moyenne 50 « pile ».
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