CoursMathématiques · 3e
Et si un nombre dépendait d'un autre ? C'est l'idée des fonctions, l'une des grandes nouveautés de la 3ᵉ. Comprendre les fonctions linéaires et affines, c'est apprendre à décrire et à prévoir comment une grandeur varie.
Le cours
Une fonction est un procédé qui, à un nombre, associe un autre nombre (son image). On la note souvent f. Écrire f(3) = 7 signifie que la fonction f associe 7 au nombre 3.
Une fonction décrit une dépendance : une grandeur qui varie en fonction d'une autre.
Si f(x) = 2x, alors f(3) = 6 : à 3, la fonction associe 6.
Une fonction linéaire s'écrit f(x) = a × x, où a est un nombre fixe (le coefficient). Elle traduit exactement une situation de proportionnalité : multiplier par a.
Sa représentation graphique est une droite qui passe par l'origine du repère.
f(x) = 3x est linéaire : c'est la proportionnalité de coefficient 3 (droite passant par l'origine).
Une fonction affine s'écrit f(x) = a × x + b. Le nombre a est le coefficient directeur (la « pente »), et b l'ordonnée à l'origine (la valeur de départ, quand x = 0).
Sa représentation graphique est une droite, qui ne passe pas par l'origine si b n'est pas nul.
f(x) = 2x + 1 est affine : pente 2, et la droite coupe l'axe vertical à 1.
La représentation graphique d'une fonction permet de lire une image : pour une valeur de x, on lit la valeur de f(x) sur la droite. On peut aussi faire l'inverse (trouver x connaissant f(x)).
Une fonction linéaire donne une droite passant par l'origine ; une fonction affine, une droite quelconque.
Sur le graphique de f, au-dessus de x = 2, on lit la hauteur f(2).
Ce qu'il faut absolument retenir
Vérifie ta compréhension
Exercice 1Si f(x) = 2x, combien vaut f(3) ?
f(3) = 2 × 3 = 6 : la fonction associe 6 au nombre 3.
Exercice 2Quelle fonction est linéaire ?
Une fonction linéaire est de la forme a x sans terme constant : f(x) = 3x.
Exercice 3Dans la fonction affine f(x) = 2x + 1, que représente le nombre 1 ?
Dans f(x) = a x + b, b (ici 1) est l'ordonnée à l'origine : la valeur quand x = 0.
Exercice 4La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite qui passe par l'origine.
Vrai : une fonction linéaire (proportionnalité) a pour graphique une droite passant par l'origine.
Exercice 5Quelle est la forme générale d'une fonction affine ?
Une fonction affine s'écrit f(x) = a x + b (avec a le coefficient directeur et b l'ordonnée à l'origine).