Le cours
1. Qu'est-ce qu'une équation ?
Une équation est une égalité contenant un nombre inconnu, désigné par une lettre (souvent x). Résoudre l'équation, c'est trouver la ou les valeurs de x qui rendent l'égalité vraie : ce sont les solutions.
Exemple : dans 2x + 3 = 11, la solution est x = 4, car 2 × 4 + 3 = 11. ✓
Vérifier une solution est toujours possible : on remplace x par la valeur trouvée et on regarde si l'égalité est vraie. C'est un réflexe précieux, notamment au brevet, pour s'assurer qu'on ne s'est pas trompé. Une équation peut avoir une solution, plusieurs, ou aucune.
Dans 2x + 3 = 11, la solution est x = 4 (car 2 × 4 + 3 = 11).
2. Résoudre une équation du premier degré
Pour résoudre une équation du premier degré, on isole x en effectuant les MÊMES opérations des deux côtés du signe « = » : on garde ainsi l'équilibre, comme sur une balance.
La méthode : on regroupe d'abord les termes en x d'un côté et les nombres de l'autre, puis on divise pour obtenir x seul.
Exemple : 5x − 4 = 3x + 8. On retire 3x des deux côtés → 2x − 4 = 8 ; on ajoute 4 → 2x = 12 ; on divise par 2 → x = 6. Chaque opération faite d'un côté doit être faite de l'autre : c'est la règle d'or qui garantit que l'égalité reste vraie.
2x + 3 = 11 → 2x = 11 − 3 = 8 → x = 8 ÷ 2 = 4.
3. Mettre un problème en équation
L'intérêt majeur des équations est de résoudre des problèmes concrets. La méthode se déroule en étapes : on choisit l'inconnue (« soit x le nombre cherché »), on traduit l'énoncé par une équation, on la résout, puis on vérifie et on rédige clairement la réponse.
Exemple : « Je pense à un nombre, je le multiplie par 3 et j'ajoute 5 ; j'obtiens 26. » On traduit : 3x + 5 = 26 ; on résout : 3x = 21, donc x = 7. Le nombre cherché est 7 (vérification : 3 × 7 + 5 = 26 ✓).
Traduire un énoncé en équation, puis revenir au sens concret, est une compétence essentielle — au brevet comme dans la vie courante (calculs de prix, de partages, de distances…).
« Un nombre augmenté de 5 donne 12 » se traduit par x + 5 = 12, donc x = 7.
4. Les équations-produits
Quand un produit de facteurs est nul, on utilise une règle essentielle : un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul.
Cela permet de résoudre des équations-produits comme (x − 2)(x + 3) = 0. On cherche alors quand chaque facteur s'annule : x − 2 = 0 donne x = 2 ; x + 3 = 0 donne x = −3. L'équation a donc deux solutions : 2 et −3.
Cette méthode est très puissante, car elle transforme une équation compliquée en deux équations simples. C'est aussi pourquoi la factorisation est si utile : une expression comme x² − 5x, factorisée en x(x − 5), permet de résoudre x² − 5x = 0 d'un coup (x = 0 ou x = 5).
(x − 2)(x + 3) = 0 → x − 2 = 0 ou x + 3 = 0 → x = 2 ou x = −3.
Pour approfondir ce chapitrefacultatif
Définitions clés
- Équation
- Une égalité contenant une inconnue (souvent x). La résoudre, c'est trouver la ou les valeurs qui rendent l'égalité vraie.
- Solution
- Une valeur de l'inconnue qui vérifie l'équation.
- Identités remarquables
- Trois égalités utiles : (a + b)² = a² + 2ab + b² ; (a − b)² = a² − 2ab + b² ; (a + b)(a − b) = a² − b².
- Développer / Factoriser
- Développer : transformer un produit en somme ; factoriser : transformer une somme en produit.
Explications détaillées
Les identités remarquables
Ces trois formules évitent de longs calculs. La plus fréquente : (a + b)² = a² + 2ab + b². Le piège classique est d'oublier le « double produit » 2ab.
La troisième, (a + b)(a − b) = a² − b², est très utile pour factoriser une différence de deux carrés. Ces identités servent à développer plus vite et à factoriser des expressions.
Résoudre une équation du premier degré
Le principe : on isole l'inconnue en gardant l'égalité équilibrée. Tout ce qu'on fait d'un côté du signe « = », on le fait de l'autre.
Exemple : 3x + 5 = 20. On soustrait 5 des deux côtés : 3x = 15. On divise les deux côtés par 3 : x = 5. On peut vérifier en remplaçant x par 5 dans l'équation de départ.
Méthode pas à pas
Résoudre une équation du premier degré
- Regrouper les termes avec l'inconnue d'un côté, les nombres de l'autre.
- Effectuer les additions/soustractions des deux côtés.
- Diviser les deux côtés par le coefficient de l'inconnue.
- Vérifier en remplaçant l'inconnue par la valeur trouvée.
Exemple corrigé pas à pas
Développer (x + 4)²
Développer (x + 4)² à l'aide d'une identité remarquable.
- On reconnaît (a + b)² avec a = x et b = 4.
- Formule : (a + b)² = a² + 2ab + b².
- On remplace : x² + 2 × x × 4 + 4².
- Résultat : x² + 8x + 16 (ne pas oublier le double produit 8x !).
Erreurs fréquentes à éviter
- Écrire (a + b)² = a² + b².Il manque le double produit : (a + b)² = a² + 2ab + b².
- Oublier de faire la même opération des deux côtés de l'équation.Une équation reste vraie si l'on fait la même chose de chaque côté du signe « = ».
- Se tromper de signe en changeant un terme de côté.Un terme qui « change de côté » change de signe : x + 5 = 20 devient x = 20 − 5.
Pour aller plus loin
Les équations, un langage universel
Résoudre une équation, c'est traduire un problème en langage mathématique pour trouver une inconnue : un prix, une durée, une longueur. Cet outil est partout — en physique, en économie, en informatique. Au lycée, tu résoudras des équations plus complexes (second degré), mais la logique restera la même : équilibrer et isoler.
Ce qu'il faut absolument retenir
Ce qu'il faut absolument retenir
- Une équation est une égalité avec une inconnue (x) ; résoudre = trouver les valeurs qui rendent l'égalité vraie (les solutions).
- Pour résoudre, on effectue les mêmes opérations des deux côtés du « = » jusqu'à isoler x.
- Mettre en équation : choisir l'inconnue, traduire l'énoncé, résoudre, vérifier, répondre.
- Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.
- Une équation-produit (x − a)(x − b) = 0 a pour solutions x = a et x = b.
Vérifie ta compréhension
Exercice 1Quelle est la solution de l'équation 2x + 3 = 11 ?
2x = 11 − 3 = 8, donc x = 8 ÷ 2 = 4.
Exercice 2« Un nombre augmenté de 5 est égal à 12. » Quelle équation traduit cette phrase ?
Le nombre cherché x, augmenté de 5, donne 12 : x + 5 = 12 (donc x = 7).
Exercice 3Les solutions de (x − 2)(x + 3) = 0 sont…
Un produit est nul si un facteur est nul : x − 2 = 0 (x = 2) ou x + 3 = 0 (x = −3).
Exercice 4Pour résoudre une équation, on peut faire une opération d'un seul côté du signe égal.
Faux : pour garder l'égalité (l'équilibre), on doit faire la même opération des DEUX côtés.
Exercice 5Un produit de deux facteurs est nul…
Un produit est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul.
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