CoursMathématiques · 3e
Après Pythagore en 4ᵉ, la géométrie de 3ᵉ apporte deux outils puissants : le théorème de Thalès (pour les longueurs dans des configurations de droites parallèles) et la trigonométrie (pour relier angles et longueurs dans le triangle rectangle).
Le cours
Le théorème de Thalès s'applique dans une configuration où deux droites sécantes sont coupées par deux droites parallèles. Il affirme alors que les longueurs des segments correspondants sont proportionnelles.
Il permet de calculer une longueur inconnue grâce à l'égalité de rapports (des fractions égales).
Avec des parallèles, on obtient une égalité de rapports du type AM/AB = AN/AC.
Grâce à l'égalité des rapports, on calcule une longueur manquante par un produit en croix. Thalès est aussi lié aux agrandissements et réductions : multiplier toutes les longueurs d'une figure par un même nombre (le rapport) la transforme à l'identique, en plus grand ou plus petit.
Les angles, eux, ne changent pas.
Un agrandissement de rapport 2 double toutes les longueurs, mais garde les mêmes angles.
La trigonométrie relie les angles et les longueurs d'un triangle rectangle. On définit trois rapports pour un angle aigu : le cosinus, le sinus et la tangente. Chacun est un rapport entre deux côtés (le côté adjacent, le côté opposé et l'hypoténuse).
Ces rapports permettent de calculer un angle ou un côté manquant.
cos, sin et tan relient un angle aigu et deux côtés d'un triangle rectangle.
Pour un angle aigu : le cosinus est le rapport côté adjacent sur hypoténuse ; le sinus, côté opposé sur hypoténuse ; la tangente, côté opposé sur côté adjacent.
À l'aide de la calculatrice, on peut alors trouver une longueur connaissant un angle, ou un angle connaissant deux longueurs.
cos(angle) = adjacent / hypoténuse ; sin = opposé / hypoténuse ; tan = opposé / adjacent.
Ce qu'il faut absolument retenir
Vérifie ta compréhension
Exercice 1Dans quel cas peut-on appliquer le théorème de Thalès ?
Thalès s'applique avec deux droites parallèles coupant deux sécantes : les longueurs deviennent proportionnelles.
Exercice 2Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu est égal à…
CAH : Cosinus = Adjacent / Hypoténuse.
Exercice 3Que rappelle le moyen mnémotechnique « SOH » ?
SOH : Sinus = Opposé / Hypoténuse.
Exercice 4Lors d'un agrandissement de figure, les angles changent en même temps que les longueurs.
Faux : un agrandissement multiplie les longueurs, mais les angles restent identiques.
Exercice 5Dans un triangle rectangle, la tangente d'un angle aigu est égale à…
TOA : Tangente = Opposé / Adjacent.