Le cours
1. La notion de fonction
Une fonction est un procédé qui, à un nombre, associe un autre nombre appelé son image. On la note souvent par une lettre comme f. L'écriture f(3) = 7 signifie que la fonction f associe 7 au nombre 3 : on dit que 7 est l'image de 3 par f.
Une fonction décrit une dépendance entre deux grandeurs : le prix total dépend du nombre d'articles, la distance dépend du temps, l'aire d'un carré dépend de son côté.
On peut représenter une fonction de plusieurs façons : par une formule (f(x) = 2x + 1), par un tableau de valeurs, ou par une courbe. Ces représentations décrivent toutes la même relation.
Si f(x) = 2x, alors f(3) = 6 : à 3, la fonction associe 6.
2. Les fonctions linéaires
Une fonction linéaire s'écrit f(x) = a × x, où a est un nombre fixe appelé le coefficient. Elle traduit EXACTEMENT une situation de proportionnalité : à chaque valeur, on applique la même multiplication par a.
Exemple : f(x) = 3x (chaque nombre est multiplié par 3). Si un stylo coûte 3 €, le prix de x stylos est f(x) = 3x.
Sa représentation graphique est une droite qui passe par l'origine (0 ; 0) : c'est la signature visuelle de la proportionnalité. Le coefficient a indique la « pente » : plus il est grand, plus la droite monte vite. Connaître une seule valeur (autre que 0) suffit à tracer toute la droite.
f(x) = 3x est linéaire : c'est la proportionnalité de coefficient 3 (droite passant par l'origine).
3. Les fonctions affines
Une fonction affine s'écrit f(x) = a × x + b. Le nombre a est le coefficient directeur (la « pente » de la droite) et b est l'ordonnée à l'origine (la valeur de départ, obtenue quand x = 0).
Exemple concret : un abonnement à 5 € par mois avec 10 € de frais d'inscription se modélise par f(x) = 5x + 10 (où x est le nombre de mois).
Sa représentation graphique est une droite, qui ne passe PAS par l'origine (sauf si b = 0, où l'on retrouve une fonction linéaire). La droite coupe l'axe vertical à la hauteur b. La fonction linéaire est donc un cas particulier de fonction affine (celui où b = 0).
f(x) = 2x + 1 est affine : pente 2, et la droite coupe l'axe vertical à 1.
4. Lire et utiliser un graphique
La représentation graphique d'une fonction permet de lire directement des informations, sans calcul. Pour lire une image : on part d'une valeur de x sur l'axe horizontal, on monte jusqu'à la courbe, et on lit f(x) sur l'axe vertical.
On peut aussi faire l'inverse : connaissant f(x), retrouver la valeur (ou les valeurs) de x correspondante(s).
Une fonction linéaire donne une droite passant par l'origine ; une fonction affine, une droite décalée. Savoir lire un graphique est une compétence très concrète : courbes de croissance, évolution d'une température, tarifs… On rencontre ces représentations partout, bien au-delà des mathématiques.
Sur le graphique de f, au-dessus de x = 2, on lit la hauteur f(2).
Pour approfondir ce chapitrefacultatif
Définitions clés
- Fonction
- Un procédé qui, à un nombre (l'antécédent), associe un unique nombre (son image).
- Image / Antécédent
- Si f(3) = 7, alors 7 est l'image de 3, et 3 est un antécédent de 7.
- Fonction linéaire
- Une fonction de la forme f(x) = ax. Elle traduit une proportionnalité ; sa représentation est une droite passant par l'origine.
- Fonction affine
- Une fonction de la forme f(x) = ax + b. Sa représentation est une droite ; a est le coefficient directeur, b l'ordonnée à l'origine.
Explications détaillées
Linéaire et affine : quelle différence ?
Une fonction linéaire f(x) = ax traduit une situation de proportionnalité : doubler x double f(x). Sa droite passe par l'origine (0 ; 0).
Une fonction affine f(x) = ax + b ajoute une valeur de départ b. Sa droite ne passe plus par l'origine (sauf si b = 0). Une fonction linéaire est donc un cas particulier de fonction affine.
Lire une droite : pente et ordonnée à l'origine
Dans f(x) = ax + b : le coefficient a est la pente (la droite monte si a > 0, descend si a < 0) ; le nombre b est l'ordonnée à l'origine (la valeur de la fonction quand x = 0), c'est-à-dire là où la droite coupe l'axe vertical.
Méthode pas à pas
Calculer l'image d'un nombre par une fonction
- Repérer l'expression de la fonction (par exemple f(x) = 2x + 3).
- Remplacer x par le nombre choisi.
- Effectuer le calcul en respectant les priorités.
- Le résultat est l'image de ce nombre.
Exemple corrigé pas à pas
Image par une fonction affine
Soit f(x) = 2x + 3. Calculer l'image de 4.
- On remplace x par 4 : f(4) = 2 × 4 + 3.
- On calcule la multiplication d'abord : 2 × 4 = 8.
- Puis l'addition : 8 + 3 = 11.
- L'image de 4 par f est 11 : f(4) = 11.
Erreurs fréquentes à éviter
- Confondre image et antécédent.L'image est le résultat (ce que « sort » la fonction) ; l'antécédent est le nombre de départ.
- Confondre fonction linéaire et affine.Linéaire : f(x) = ax (droite par l'origine) ; affine : f(x) = ax + b (droite décalée de b).
- Oublier le nombre b dans une fonction affine.f(x) = 2x + 3 : le « + 3 » compte et décale toute la droite vers le haut.
Pour aller plus loin
Les fonctions, pour modéliser le monde
Les fonctions décrivent comment une grandeur dépend d'une autre : un tarif selon la durée, une distance selon le temps, une température selon l'altitude. C'est l'un des outils les plus puissants des mathématiques. Au lycée, tu découvriras bien d'autres fonctions (carré, inverse, exponentielle…) pour modéliser des phénomènes de plus en plus riches.
Ce qu'il faut absolument retenir
Ce qu'il faut absolument retenir
- Une fonction associe à un nombre une image : f(3) = 7 signifie que f associe 7 à 3.
- Fonction linéaire : f(x) = a x (proportionnalité) ; sa droite passe par l'origine.
- Fonction affine : f(x) = a x + b ; a est le coefficient directeur (pente), b l'ordonnée à l'origine.
- Toute fonction linéaire est affine (avec b = 0), mais l'inverse est faux.
- Le graphique permet de lire l'image d'un nombre (et inversement).
Vérifie ta compréhension
Exercice 1Si f(x) = 2x, combien vaut f(3) ?
f(3) = 2 × 3 = 6 : la fonction associe 6 au nombre 3.
Exercice 2Quelle fonction est linéaire ?
Une fonction linéaire est de la forme a x sans terme constant : f(x) = 3x.
Exercice 3Dans la fonction affine f(x) = 2x + 1, que représente le nombre 1 ?
Dans f(x) = a x + b, b (ici 1) est l'ordonnée à l'origine : la valeur quand x = 0.
Exercice 4La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite qui passe par l'origine.
Vrai : une fonction linéaire (proportionnalité) a pour graphique une droite passant par l'origine.
Exercice 5Quelle est la forme générale d'une fonction affine ?
Une fonction affine s'écrit f(x) = a x + b (avec a le coefficient directeur et b l'ordonnée à l'origine).
L'essentiel en images
